帶有約束條件的排列組合問題

會計(jì)學(xué)1帶有約束條件的排列組合問題在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；一題多變(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；第1頁/共70頁在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加；一題多變第2頁/共70頁在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(5)甲、乙、丙三人至少1人參加．一題多變第3頁/共70頁排列組合中的分組分配問題一、提出分組與分配問題，澄清模糊概念n個不同元素按照某些條件分配給k個不同得對象，稱為分配問題，分定向分配和不定向分配兩種問題；將n個不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題.分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的.對于后者必須先分組后排列。第4頁/共70頁二、基本的分組問題

例1六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

(1)每組兩本.

(2)一組一本，一組二本，一組三本.

(3)一組四本，另外兩組各一本.第5頁/共70頁三、基本的分配的問題(一)定向分配問題例2六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲兩本、乙兩本、丙兩本.(2)甲一本、乙兩本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.第6頁/共70頁(二)不定向分配問題例3六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每人兩本.(2)一人一本、一人兩本、一人三本.(3)一人四本、一人一本、一人一本.第7頁/共70頁在今年國家公務(wù)員錄用中，某市農(nóng)業(yè)局準(zhǔn)備錄用文秘人員二名、農(nóng)業(yè)企業(yè)管理人員和農(nóng)業(yè)法制管理人員各一名，報(bào)考農(nóng)業(yè)局公務(wù)人員的考生有10人，則可能出現(xiàn)的錄用情況有____種.解法1:解法2:第8頁/共70頁馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法插空法第9頁/共70頁某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種A插空法第10頁/共70頁例4.有10個運(yùn)動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為隔板法第11頁/共70頁10個優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個隔板插入10個指標(biāo)中的9個空隙，即有種方法。按照第一個隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個隔板與第二個隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類推，因此共有種分法.隔板法第12頁/共70頁例7、從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當(dāng)于把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理.解:采用“隔板法”得:隔板法第13頁/共70頁混合問題，先“組”后“排”對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有：種可能。次1正3次第14頁/共70頁練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競賽活動，每項(xiàng)活動至少有1人參加，則有不同參賽方法______種.解：采用先組后排方法:2、3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士.混合問題，先“組”后“排”第15頁/共70頁例3:

4名男生5名女生，一共9名實(shí)習(xí)生分配到高一的四個班級擔(dān)任見習(xí)班主任，每班至少有男、女實(shí)習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？

解：由題意可知，有且僅有2名女生要分在同一個班，混合問題，先“組”后“排”第16頁/共70頁例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語、4名僅通法語，還有2名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？多面手問題第17頁/共70頁例5.

有12名劃船運(yùn)動員,其中3人只會劃左舷,4人只會劃右舷,其它5人既會劃左舷,又會劃右舷,現(xiàn)要從這12名運(yùn)動員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?多面手問題分析：設(shè)集合A={只會劃左舷的3個人}，B={只會劃右舷的4個人}，C={既會劃左舷又會劃右舷的5個人}先分類，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①類，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在B,C中選3人，有種,以下類同第18頁/共70頁例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；(1)因?yàn)?只鞋來自2雙鞋,所以有組對問題第19頁/共70頁例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（2）4只鞋子沒有成雙的；(2)因?yàn)?只鞋來自4雙不同的鞋,而從10雙鞋中取4雙有種方法,每雙鞋中可取左邊一只也可取右邊一只,各有種取法,所以一共有種取法.第20頁/共70頁例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（3）4只鞋子只有一雙。(3)因?yàn)?只鞋來自3雙鞋,而從10雙鞋中取3雙有種取法,3雙鞋中取出1雙有種方法,另2雙鞋中各取1只有種方法故共有種取法.第21頁/共70頁8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2）4只鞋子沒有成雙的；（3）4只鞋子只有一雙。第22頁/共70頁注意區(qū)別“恰好”與“至少”例2

從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（）

(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思?！爸辽儆幸粋€”則是“有一個或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面，故可用“排除法”。解：第23頁/共70頁練習(xí):從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有____種解：第24頁/共70頁第25頁/共70頁把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1、如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路,其中有6個焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點(diǎn)脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）

(A)63種（B）64種（C）6種（D）36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63第26頁/共70頁特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例3將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：練習(xí)3從7盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有_____種不同的擺放方法。解：C第27頁/共70頁“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例4七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”。“插空”有同時(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.第28頁/共70頁8.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，一共有+＝602種方法課堂練習(xí)：第29頁/共70頁例6：（1）平面內(nèi)有9個點(diǎn)，其中4個點(diǎn)在一條直線上，此外沒有3個點(diǎn)在一條直線上，過這9個點(diǎn)可確定多少條直線？可以作多少個三角形？（2）空間12個點(diǎn)，其中5個點(diǎn)共面，此外無任何4個點(diǎn)共面，這12個點(diǎn)可確定多少個不同的平面？第30頁/共70頁例8、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5人參加支邊醫(yī)療隊(duì)，至少要有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？例9:某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語與日語的各1人,有多少種不同的選法？解：由于7＋3=10＞9，所以9人中必有1人既會英語又會日語．(1)從只會英語的6人中選1人，只會日語的2人中選1人，有N1=6×2=12(2)既會英語又會日語的那位選定，其余8人中選1人，有N2=1×8=8由分類計(jì)數(shù)原理得N=N1+N2=20.選人問題：第31頁/共70頁課堂練習(xí)：2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為

。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊(duì)，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（）4、從7人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（）1、把6個學(xué)生分到一個工廠的三個車間實(shí)習(xí)，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有

種。99CD第32頁/共70頁如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有（）

（A）25（B）15（C）13（D）10總共需6步到達(dá)，其中2步向北或者4步向東或B第33頁/共70頁5、如圖,某市有7條南北向街道，5條東西向街道（每小方格均為正方形）（1）其中有多少個矩形？（2）其中有多少個正方形？（3）從A點(diǎn)到B點(diǎn)最短路線的走法有多少種？首先，只由一個小正方形組成的有7*4

由2*2小正方形組成的有6*3

由3*3小正方形組成的有5*2

由4*4小正方形組成的有4*1

所以7*4＋6*3＋5*2＋4*1=60第34頁/共70頁(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個四面體？(2)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個四棱錐？第35頁/共70頁排列與組合應(yīng)用題的技巧匯總在解決一個實(shí)際問題的過程中，常常遇到排列、組合的綜合性問題．而解決問題的第一步是審題，只有認(rèn)真審題，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，分清是排列問題、組合問題，還是綜合問題，分清分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式，并且要遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．第36頁/共70頁解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類，準(zhǔn)確分步；(2)特殊優(yōu)先，一般在后；(3)先取后排，間接排除；(4)集團(tuán)捆綁，間隔插空；(5)抽象問題，構(gòu)造模型；(6)均分除序，定序除序．第37頁/共70頁用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2,3相鄰的偶數(shù)有________個．(用數(shù)字作答)例1【解析】

數(shù)字2和3相鄰的偶數(shù)有兩種情況．第一種情況，當(dāng)數(shù)字2在個位上時(shí)，則3必定在十位上，此時(shí)這樣的五位數(shù)共有6個；第二種情況，當(dāng)數(shù)字4在個位上時(shí)，且2,3必須相鄰，此時(shí)滿足要求的五位數(shù)有AA＝12(個)，則一共有6＋12＝18(個)．【答案】

18【題后小結(jié)】

“個位”是特殊位置或“偶數(shù)數(shù)字”是特殊元素，應(yīng)優(yōu)先考慮．第38頁/共70頁從1,3,5,7,9五個數(shù)字中選2個，0,2,4,6,8五個數(shù)字中選3個，能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？例2【題后小結(jié)】對于組合、排列的綜合問題，一般采取先取元素后排列的方法．第39頁/共70頁某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(

)A．80B．90C．100D．120例3【答案】

B【題后小結(jié)】本題是平均分組再分配問題．平均分組是組合數(shù)除以“組數(shù)”的排列數(shù)，分配就是排列．第40頁/共70頁2521440302402880

1.

2.第41頁/共70頁例5．（1）四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法（2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？第42頁/共70頁①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；③分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；④分為甲、乙、丙三組，每組4人；⑤分為三組，每組4人。例1：12人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33第43頁/共70頁1.高二要從全級10名獨(dú)唱選手中選出6名在歌詠會上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？練習(xí)：第44頁/共70頁

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？一題多變

解：①（解題思路）分兩步完成，把a(bǔ),e排在首末兩端有A22種，再把其余3個元素排在中間3個位置有A33種。由乘法共有A22.A33=12(種)排法。優(yōu)先法第45頁/共70頁

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。②a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？一題多變

解：②先從b,c,d三個選其中兩個排在首末兩位，有A32種，然后把剩下的一個與a,e排在中間三個位置有A33種，由乘法原理:

共有A32.A33=36種排列.間接法：

A55-4A44+2A33（種）排法。第46頁/共70頁

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。③a,e排在一起多少種排法？一題多變

解：③捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成一個整體,作為一個元素與其它3個元素全排列，有A44種；a,e兩個元素的全排列數(shù)為A22種，由乘法原理共有A44.A22(種)排列。第47頁/共70頁

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。④a,e不相鄰有多少種排法？一題多變

解：④排除法：即用5個元素的全排列數(shù)A55，扣除a,e排在一起排列數(shù)A44.A22，則a,e不相鄰的排列總數(shù)為A55-A44.A22（種）插空法：即把a(bǔ),e以外的三個元素全排列有A33種，再把a(bǔ),e插入三個元素排定后形成的4個空位上有A42種，由乘法原理共有A33.A42

(種)第48頁/共70頁

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。⑤a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？一題多變

解:

⑤a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有一種順序，但a,e間的排列數(shù)為A22，所以，可把5個元素全排列得排列數(shù)A55，然后再除以a,e的排列數(shù)A22。所以共有排列總數(shù)為A55/A22（種）

注意：若是3個元素按一定順序，則必須除以排列數(shù)P33。第49頁/共70頁

例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)。解法1：5個元素中至少有兩個是偶數(shù)可分成三類：①2個偶數(shù)，3個奇數(shù)；②3個偶數(shù)，2個奇數(shù)；③4個偶數(shù)，1個奇數(shù)。所以共有子集個數(shù)為

C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：從反面考慮，全部子集個數(shù)為P95，而不符合條件的有兩類：①5個都是奇數(shù)；②4個奇數(shù)，1個偶數(shù)。所以共有子集個數(shù)為C95-C55-C54.C41=105第50頁/共70頁（三）排列組合混合問題：

例3：從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作。一共有多少種分配方案。

解1：分三步完成，1.選3名男同學(xué)有C63種，2.選2名女同學(xué)有C42種，3.對選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種).第51頁/共70頁

例3：從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作。一共有多少種分配方案。

解2：把工作當(dāng)作元素，同學(xué)看作位置，1.從5種工作中任選3種（組合問題）分給6個男同學(xué)中的3人（排列問題）有C53.A63種,第二步,將余下的2個工作分給4個女同學(xué)中的2人有A42種.根據(jù)乘法原理共有C53.A63.A42=14400(種).

亦可先分配給女同學(xué)工作,再給男同學(xué)分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(種).第52頁/共70頁例4.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有+＝602種方法第53頁/共70頁典型例題

1.4名優(yōu)等生被保送到3所學(xué)校，每所學(xué)校至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)為（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（）（A)20(B)19(C)10(D)69

3.小于50000且含有兩個5，而其它數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)有（）個。（A)(B)(C)(D)

ABB第54頁/共70頁練習(xí)

3.15人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。(1)分為三組，每組5人,共有______________種不同的分法。（2）分為甲、乙、丙三組，一組7人，另兩組各4人，共有___________________種不同的分法。（3）分為甲、乙、丙三組，一組6人，一組5人，一組4人，共有___________________種不同的分法。4.8名同學(xué)選出4名站成一排照相，其中甲、乙兩人都不站中間兩位的排法有______________________種。

5.某班有27名男生13女生，要各選3人組成班委會和團(tuán)支部每隊(duì)3人，3人中2男1女，共有_____________________種不同的選法。第55頁/共70頁1.(2011·大綱全國卷)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有(

)A．4種B．10種C．18種 D．20種練習(xí):解析：

分兩種情況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有種方法，所以不同的贈送方法共有6＋4＝10(種)，故選B.第56頁/共70頁[解題過程]

需分兩步：第1步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在12種股票中選8種，共有C128種選法；第2步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在7種債券中選4種，共有C74種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此人有C128·C74＝17325種不同的投資方式．2.某人決定投資于8種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他推薦了12種股票和7種債券．問：此人有多少種不同的投資方式？第57頁/共70頁例4.(2011·北京高考)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答)解析：

數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C41＝4(個)四位數(shù)．“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C42＝6(個)四位數(shù)．“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C43＝4(個)四位數(shù)．綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù)．答案：

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例5.“抗震救災(zāi)，眾志成城”，在我國甘肅舟曲的抗震救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴某災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？[規(guī)范解答]

(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有種選法，所以共有種抽調(diào)方法.第59頁/共70頁(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有C42·C64種選法；②選3名外科專家，共有C43·C63種選法；③選4名外科專家，共有C44·C62種選法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185種抽調(diào)方法.方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有種選法，考慮選取1名外科專家參加，有種選法；沒有外科專家參加，有種選法，所以共有：種抽調(diào)方法.第60頁/共70頁(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答．①沒有外科專家參加，有C66種選法；②有1名外科專家參加，有C41·C65種選法；③有2名外科專家參加，有C42·C64種選法.所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115種抽調(diào)方法.第61頁/共70頁[題后感悟]解答有限制條件的組合問題的基本方法：第62頁/共70頁某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，鑒定結(jié)果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中