Probit回歸概率單位回歸

會(huì)計(jì)學(xué)1Probit回歸概率單位回歸Logistic回歸因變量二項(xiàng)Logistic回歸多項(xiàng)Logistic回歸有序回歸Probit回歸第1頁/共29頁第15章Probit回歸（概率單位回歸）15.1Probit回歸的基本原理15.2Probit回歸的案例分析第2頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸即概率單位回歸，主要用來測(cè)試分析刺激強(qiáng)度與反應(yīng)比例之間關(guān)系的關(guān)系。例如，對(duì)于指定數(shù)量的病人，分析他們的給藥劑量與治愈比例之間的關(guān)系。此方法應(yīng)用的典型例子是分析殺蟲劑濃度和殺死害蟲數(shù)量之間的關(guān)系，并據(jù)此判斷什么樣的劑量濃度是最佳的。Probit回歸適用于對(duì)反應(yīng)變量（因變量）為分類變量的資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，也存在反應(yīng)變量為二分類、有序多分類、無序多分類三種情況，但目前最常用的是二分類的情形，SPSS也僅能處理反應(yīng)變量為二分類的資料。第3頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸與Logistic回歸相似，也是擬合0-1型因變量回歸的方法，即把取值分布在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的變量通過累積概率函數(shù)轉(zhuǎn)換成取值分布在（0，1）區(qū)間的概率值。所得概率分布的表達(dá)式為：Probit回歸常用的累積概率函數(shù)有兩個(gè)：（1）logit概率函數(shù)：通過變換可以得到另一種等價(jià)形式：第4頁/共29頁（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)概率函數(shù)：?jiǎn)我唤忉屪兞浚憾嘧兞浚悍謩e為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)與密度函數(shù)。15.1Probit回歸的基本原理據(jù)此建立的Probit回歸模型：或第5頁/共29頁P(yáng)robit模型的邊際分析自變量的變化對(duì)響應(yīng)概率（p）的影響：

一般情況下對(duì)連續(xù)變量，X取樣本均值，指的是X在平均意義上每增加一個(gè)單位會(huì)導(dǎo)致事件發(fā)生的概率將會(huì)變化多少個(gè)單位。第6頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸的數(shù)據(jù)要求因變量（響應(yīng)變量）應(yīng)該是計(jì)數(shù)信息，記錄在指定的自變量條件下，有響應(yīng)的觀測(cè)個(gè)數(shù)。自變量（因子變量）必須是分類變量且須用整數(shù)編碼。觀測(cè)量應(yīng)該是獨(dú)立的。如果自變量值的數(shù)量與觀察值的數(shù)量相比過多，否則卡方檢驗(yàn)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是不適宜的對(duì)Probit過程的參數(shù)估計(jì)同樣采用極大似然估計(jì)法，構(gòu)建Probit過程時(shí)要求樣本采取隨機(jī)抽取方式抽取，即要求樣本分布與總體分布具有同一性。概率回歸時(shí)，最有用的是半數(shù)發(fā)生量。如收入到多少時(shí)，有一半家庭會(huì)購買。毒素濃度達(dá)到多少時(shí)，有一半的小白鼠會(huì)死亡。第7頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸與logistic回歸的關(guān)系當(dāng)Probit回歸過程選擇了Logit變換時(shí)，進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析過程就是Logistic回歸。Logistic模型強(qiáng)調(diào)因變量的最終結(jié)果是發(fā)生還是不發(fā)生，其取值有明顯的0～1分化。而概率回歸研究的是在因變量具有兩種相反屬性時(shí)，隨著自變量的變化，因變量取某屬性的比例變化情況。如家庭購買電腦的比例與家庭人均收入之間的關(guān)系，研究的不是在某各收入水平下是否會(huì)購買，而是在不同的收入水平下購買的比例。一般情況下：Probit回歸更適用于從有計(jì)劃的試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)，而Logistic回歸更適用于直接的觀測(cè)數(shù)據(jù)。Probit回歸輸出對(duì)各種響應(yīng)比例有效值的估計(jì)，Logistic回歸輸出對(duì)自變量發(fā)生比（OR）的估計(jì)。第8頁/共29頁P(yáng)robit曲線和logit曲線很相似。兩條曲線都是在pi=0.5處有拐點(diǎn)，但logit曲線在兩個(gè)尾部要比Probit曲線厚。累積正態(tài)概率分布曲線

Logistic分布函數(shù)第9頁/共29頁實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于同一資料用Probit回歸與Logistic回歸分析的結(jié)果非常接近。但Logistic回歸的應(yīng)用比Probit回歸更廣泛。這是因?yàn)椋篖ogistic回歸中的偏回歸系數(shù)可以計(jì)算其exp(b)，即OR值，可以得到很好的直觀解釋與應(yīng)用。Probit回歸模型中偏回歸系數(shù)的含義為其他自變量取值保持不變時(shí)自變量每改變一個(gè)單位，出現(xiàn)某結(jié)果的概率密度函數(shù)值的改變量。顯然解釋起來比較麻煩，遠(yuǎn)不如Logistic模型中，這也導(dǎo)致了研究者更喜歡使用Logistic模型。目前有很多針對(duì)Logistic回歸模型的診斷及補(bǔ)救措施，而對(duì)于Probit回歸而言而有信方面相對(duì)缺乏。當(dāng)然，這類似"先有雞還是先有蛋"的問題，很難說是因?yàn)槟Ｐ驮\斷措施較多而導(dǎo)致了Logistic回歸的更多應(yīng)用，還是說因?yàn)長(zhǎng)ogistic回歸更多的應(yīng)用促進(jìn)了其模型診斷措施的發(fā)展。第10頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析例1：某醫(yī)師希望研究病人的年齡(歲)、性別co為女性，1為男性)、心電圖檢驗(yàn)是否異常(ST段壓低，0為正常、1為輕度異常、2為重度異常)與患冠心病是否有關(guān)，數(shù)據(jù)文件為“冠心病影響.sav”擬合Logistic回歸模型因變量：ca；協(xié)變量：sex，ecg、ageexp(B)：自變量增加一個(gè)單位，

總體研究對(duì)象患病率與未患病率的比值/倍數(shù)（優(yōu)勢(shì)比的變化率）。第11頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析擬合probit回歸模型SPSS默認(rèn)變量取值=1表示出現(xiàn)陽性結(jié)果（患?。┯捎赟PSS默認(rèn)的是對(duì)頻數(shù)表資料進(jìn)行Probit回歸分析，而本例資料并非各自變量不同取值水平組合的頻數(shù)表資料，每一條記錄表示一個(gè)觀察對(duì)象，此處需指定一個(gè)頻數(shù)變量count=1。其方法有如下幾種：直接定義頻數(shù)變量count，并錄入數(shù)據(jù)1轉(zhuǎn)換——計(jì)算變量：count=1語法：COMPUTEcount=1.

EXECUTE.第12頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析擬合probit回歸模型SPSS操作：分析——回歸——probit前者為用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)概率函數(shù)的反函數(shù)來轉(zhuǎn)換響應(yīng)比例，后者為logit變換代表在自變量的指定水平下，對(duì)有響應(yīng)的觀測(cè)的計(jì)數(shù)信息，取值非負(fù)代表在自變量的指定水平下，總的觀測(cè)計(jì)數(shù)，取值不能小于相應(yīng)的響應(yīng)頻數(shù)變量值須為整數(shù)編碼的分類變量，須指定最大和最小值代表不同的實(shí)驗(yàn)刺激條件設(shè)置變量轉(zhuǎn)換函數(shù)，當(dāng)協(xié)變量與概率之間不存在現(xiàn)行關(guān)系時(shí)，需要選擇對(duì)協(xié)變量的轉(zhuǎn)換方式默認(rèn)為無，自動(dòng)給出控制組第13頁/共29頁輸出觀測(cè)頻數(shù)、預(yù)測(cè)頻數(shù)、觀測(cè)值的殘差等。輸出因素變量水平間的半數(shù)效應(yīng)及其致信區(qū)間對(duì)所有因子水平具有共同的斜率這一假設(shè)的檢驗(yàn)，若沒有因子變量，則相關(guān)中位數(shù)力不可用輸出指定響應(yīng)比例的刺激劑量的置信區(qū)間當(dāng)選入多個(gè)些變量，相關(guān)中位數(shù)力和信仰置信區(qū)間不可用，只有選入一個(gè)因素變量，兩者才可以用指定在沒有刺激的條件下（即劑量為0），是否有一個(gè)自然響應(yīng)率無：沒有自然響應(yīng)率從樣本數(shù)據(jù)估計(jì)其自然響應(yīng)率值：輸入指定的自然響應(yīng)率，取值必須小于1。例如，如果當(dāng)激勵(lì)為0時(shí)響應(yīng)在10%的時(shí)間里發(fā)生，則輸入0.10。第14頁/共29頁共有78條非頻數(shù)表資料記錄納入分析，其中66條記錄出現(xiàn)陰性結(jié)果（ControlGroup)回歸系數(shù)/標(biāo)準(zhǔn)誤，即Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p=Φ（-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.056?

age)或者寫成：probit(p)=-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)顯著！第15頁/共29頁參數(shù)估計(jì)值得協(xié)方差和相關(guān)性卡方檢驗(yàn)：原假設(shè)是模型能很好地?cái)M合數(shù)據(jù)，根據(jù)P>a接受原假設(shè)，故模型擬合較好平行檢驗(yàn):P>a,可以認(rèn)為因素變量個(gè)分組的回歸方程具有相同的斜率。第16頁/共29頁P(yáng)robit回歸系數(shù)的解釋問題：以年齡age為例，其偏回歸系數(shù)為0.056，表示當(dāng)性別、心電圖保持不變時(shí)，年齡每增加一歲，患冠心病的概率密度函數(shù)值增加0.056。進(jìn)一步舉例如下：設(shè)對(duì)于性別為男性、心電圖檢驗(yàn)結(jié)果為輕度異常、年齡30歲的人患冠心病的概率為0.40，則相應(yīng)的概率密度函數(shù)值為-0.253，則相同性別、相同心電圖檢驗(yàn)結(jié)果，年齡為31歲者患冠心病的概率密度函數(shù)值為-0.253+0.056=-0.197，相應(yīng)的概率為0.422。則30歲、31歲時(shí)患病與未患病的比值比分別為0.4/(1-0.4)=0.667、0.422/(1-0.422)=0.729，此時(shí)的OR值為0.729/0.667=1.094，與Logistic回歸分析結(jié)果中的exp(β)=1.097一致。p=Φ（-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)或者寫成：probit(p)=-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)第17頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析例2：某公司在不同營(yíng)業(yè)所（網(wǎng)上、貨架、店鋪）采用了不同的促銷價(jià)格，請(qǐng)使用probit回歸對(duì)不同促銷價(jià)格和對(duì)促銷有反饋的顧客數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行分析，并擬合響應(yīng)模型。數(shù)據(jù)文件為：“促銷效果評(píng)價(jià)數(shù)據(jù).sav”第18頁/共29頁協(xié)變量和三個(gè)截距項(xiàng)對(duì)方程的作用都有顯著意義顯著！由此可得對(duì)三種營(yíng)業(yè)場(chǎng)所的probit回歸方程：網(wǎng)上：probit(p)=-7.219+1.88*ln(促銷價(jià)格)貨架：probit(p)=-7.613+1.88*ln(促銷價(jià)格)店鋪：probit(p)=-7.982+1.88*ln(促銷價(jià)格)第19頁/共29頁自然響應(yīng)率估計(jì)值：在沒有促銷活動(dòng)的情況下，總顧客中仍會(huì)有4.1%的人購買產(chǎn)品。模型擬合非常好，因素變量各分組的回歸方程具有相同的斜率，滿足平行性假設(shè)條件第20頁/共29頁置信區(qū)間表：顯示的是制定銷售地點(diǎn)的相應(yīng)概率。響應(yīng)概率probit=0.5時(shí)，促銷價(jià)格半數(shù)響應(yīng)估計(jì)值：網(wǎng)上為46.518，貨架為57.905，店鋪69.8，可見網(wǎng)上促銷最有效刺激強(qiáng)度反應(yīng)比例第21頁/共29頁相對(duì)中位數(shù)強(qiáng)度估計(jì)值，即相對(duì)半數(shù)效應(yīng)表。以第一行為例說明：第一行為網(wǎng)上促銷（地點(diǎn)取值為1）對(duì)貨架促銷（地點(diǎn)取值為2）的相對(duì)半數(shù)效應(yīng)，網(wǎng)上與貨架半數(shù)效應(yīng)比值的估計(jì)值為0.803，且其95%的直線區(qū)間不包含1，說明兩者是有明顯區(qū)別的，也就是說網(wǎng)上促銷更有效，因?yàn)樗芤暂^小的促銷價(jià)格促使50%的顧客購買產(chǎn)品（即達(dá)到50%的響應(yīng)率。）第22頁/共29頁響應(yīng)概率與對(duì)數(shù)促銷價(jià)格呈明顯的現(xiàn)行趨勢(shì)，說明對(duì)促銷價(jià)格選擇自然對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換是比較合適的。如果不呈現(xiàn)明顯線性趨勢(shì)，可以嘗試其他轉(zhuǎn)換方法分析。網(wǎng)上促銷的probit普遍大于其他兩種方式第23頁/共29頁第24頁/共29頁序號(hào)性別年齡（歲）月收入（千元）序號(hào)性別年齡（歲）月收入（千元）10183.850151204.00020214.200161254.20030233.851171274.30040233.951181284.50050284.201191303.95160313.850201324.00070364.501211334.80080424.001221334.00090463.951231384.200100484.200241414.500110554.801251454.801120565