D對坐標(biāo)曲面積分ok

會(huì)計(jì)學(xué)1D對坐標(biāo)曲面積分ok其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定第1頁/共31頁二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面

的流量

.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第2頁/共31頁對一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得,則第3頁/共31頁設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義：第4頁/共31頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式第5頁/共31頁3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用

ˉ

表示的反向曲面,則第6頁/共31頁三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側(cè),第7頁/共31頁

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面取下側(cè),則第8頁/共31頁例1.

計(jì)算其中

是以原點(diǎn)為中心,邊長為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式的頂部取上側(cè)

的底部取下側(cè)第9頁/共31頁解:

把分為上下兩部分例2.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.第10頁/共31頁第11頁/共31頁例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對稱性,有第12頁/共31頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系對于有向曲面如果取上側(cè)則曲面在任意點(diǎn)處的法向量為其中而第13頁/共31頁因此，有即第14頁/共31頁如果曲面取下側(cè)，則曲面上任意一點(diǎn)處的單位法向量為其中第15頁/共31頁因此，有因此，無論曲面取哪側(cè)，我們總是有第16頁/共31頁同理可得因此有第17頁/共31頁令向量形式(A在

n上的投影)第18頁/共31頁例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:第19頁/共31頁例6.

計(jì)算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).第20頁/共31頁∴原式=原式=第21頁/共31頁內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

第22頁/共31頁性質(zhì):聯(lián)系:第23頁/共31頁2.常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分轉(zhuǎn)化(1)當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)第24頁/共31頁(2)當(dāng)時(shí)，（前側(cè)取“+”,后側(cè)取“”)(3)當(dāng)時(shí)，（右側(cè)取“+”,左側(cè)取“”)第25頁/共31頁第26頁/共31頁思考與練習(xí)1.P227題2提示:

設(shè)則

取上側(cè)時(shí),

取下側(cè)時(shí),2.P244題13.P227題3(3)第27頁/共31頁是平面在第四卦限部分的上側(cè),計(jì)算提示:求出的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P227題3(3).

設(shè)作業(yè)

P2273