上海市靜安區(qū)2023屆九年級(jí)初三數(shù)學(xué)一模試卷及答案

九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)（滿分150分，用卷時(shí)間100分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；2題一律無效；3或計(jì)算的主要步驟．6題，每題4分，滿分24分）相應(yīng)位置上】1．下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（A）；（）；（）；（D）．2．計(jì)算x3?2所得的結(jié)果是（A）x9；（）x6；（）x5；（D）x．3．如果非零向量、互為相反向量，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（A）；（）；（）；（D）．4．如圖，已知△ABC與△DEF，下列條件一定能推得它們相似的是（A）；（）；（）；（D）．5．如果，那么與的差九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第1頁共6頁（A）大于0；（）小于0；（）等于九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第1頁共6頁

6．如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是第6題圖（A）；第6題圖（）；（）；（D）．題，每題4分，滿分48分）7．的倒數(shù)是▲．8．計(jì)算：▲．9．已知，那么的值是▲．10．拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是▲．11．第12題圖的表達(dá)式可以是▲第12題圖12．有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時(shí)，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點(diǎn)O距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標(biāo)平面xOy，那么此拋物線的表達(dá)式為▲．13．一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作BC、，且迎水坡的坡度為1∶2.5，背水坡的坡度為1∶，則迎水坡的坡角▲背水坡的坡14．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC與△A1B1C1的相似比為，△ABC與△A2B2C2的相似比為，九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第2頁共6頁那么△A1B1C1與△A2B2C九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第2頁共6頁15．在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF>FC），且PE=2，那么PF=▲．16．在△ABC中，AB=6AC=5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、上，當(dāng)=4，∠ADE=C第15題圖第17題圖時(shí)，第15題圖第17題圖17．ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°后得△DECDE∠BDC=60°，BE=3D兩點(diǎn)間的距離是▲．18．與（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作．如果二次函數(shù)與（b、c是常數(shù)）（b，c）的坐標(biāo)▲．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計(jì)算：．20．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）第20題圖如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且BD=2第20題圖AE=EC．（1）求證：DE//BC；（2）設(shè)，，試用向量、表九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第3頁共6九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第3頁共6頁21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）第21題圖如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，，AB=13，BC=21第21題圖（1）求AC的長；（2）求∠BAC的正弦值22．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）有一把長為6米的梯子AB，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為α1.一般滿足能安全地使用這架梯子．（1）當(dāng)梯子底端B距離墻面米時(shí)，求全地使用這架梯子？（2）當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高時(shí)，梯子開始下滑，如果梯子頂端A沿著墻面下滑米到墻面上的DB也隨之向后平移到地面上的點(diǎn)E處（如圖2．第第22題圖1第22題圖2九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第4頁共6頁23．（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥，DF分別交對(duì)角線AC、底邊、，且.（1）求證：ABFD；（2G在底邊上，=，3AGC與△EFC的面積第23題圖相等，求FC第23題圖24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）①、②小題各4分）xOyx軸交于點(diǎn)A（點(diǎn)AB的左側(cè)yBC的余切值為AB＝P在拋物線上，且PO=PB.（1）求上述拋物線的表達(dá)式；（2OP新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.第24題圖①求新拋物第24題圖②點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，且∠EOF=∠PCO，求點(diǎn)F的坐標(biāo).九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第5頁共6頁25．（本題滿分14分，第（1）①、②小題各5分，第（2）小題4分）在等腰直角△ABCC=90°AC=4DD不與點(diǎn)B、C重合為腰且在AD的右側(cè)作等腰直角△ADFADF=90°與射線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BF.（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D上時(shí)，①求證：△ACD∽△ABF；②設(shè)CD=，tanBFD=，求yx的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（2AB=BE時(shí)，求的長.九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第6頁共6頁

答案考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；2題一律無效；3或計(jì)算的主要步驟．6題，每題4分，滿分24分）相應(yīng)位置上】1．下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（B）（A）；（）；（）；（D）．【解析】（A），是有理數(shù)，不合題意；（）無法化簡，是無理數(shù)，符合題意；（），是有理數(shù)，不合題意；（D）為分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，不合題意．2．計(jì)算x3?2所得的結(jié)果是（C）（A）x9；（）x6；（）x5；（D）x．【解析】x3?2x（3+2）=x5，C符合.3．如果非零向量、互為相反向量，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（C）（A）；（）；（）；（D）．【解析】∵非零向量、互為相反向量，∴、長度相同、方向相反，∴（A）（B）（D）正確，∴選擇（C）.4．如圖，已知△ABC與△DEF，下列條件一定能推得它們相似的是（A）（A）；（）；（）；（D）．【解析】（A）∵，∴△ABC∽△DEF（A.A.）；（），不符合S.A.S.，故不可證明△ABC與△DEF相似；（），只能推得△ABC與△DEF為等腰三角形,不可證明△ABC與△DEF相似；（D），不符合S.A.S.，故不可證明△ABC與△DEF相似．5．如果，那么與的差（D）（A）大于0；（）小于0；（）等于0；（D）不能確定．【解析】采用賦值法：（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，，，則．（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，，，則．由此可得：不能確定與的差與0之間的大小關(guān)系，∴D符合.【規(guī)律】當(dāng)，<；當(dāng)，.6．如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是（C）（A）；（）；（）；（D）．第6題圖MH【解析】∵中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，∴G第6題圖MH（A）∵G為重心，∴，故（A）不成立；（），，故（B）不成立；（）∵，∴，故（C）成立；（D）在△ABD與△BCE中，，，∴S△ABD=S△BCE，，由（C）可知，．∴可得，故（D）不成立．題，每題4分，滿分48分）7．的倒數(shù)是▲．【解析】的倒數(shù)是3.8．計(jì)算：▲．【解析】.9．已知，那么的值是▲．【解析】∵，∴設(shè)，代入，.10．拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是▲．【解析】，∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）11．的表達(dá)式可以是▲．【解析】∵，∴可知，∵，∴的表達(dá)式可以是：，等（答案不唯一）.第12題圖12．第12題圖位時(shí)，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點(diǎn)O距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標(biāo)平面xOy，那么此拋物線的表達(dá)式為▲．【解析】由題：橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點(diǎn)O距離水面AB為3米，∴，∴可得.13．一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作BC、，且迎水坡的坡度為1∶2.5，背水坡的坡度為1∶，則迎水坡的坡角▲背水坡的坡【解析】設(shè)迎水坡的坡角為，背水坡的坡角為，由題可得，，，∵隨的增大而增大，而，∴，即迎水坡的坡角大于背水坡的坡14．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC與△A1B1C1的相似比為，△ABC與△A2B2C2的相似比為，那么△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為▲．【解析】由△ABC與△A1B1C1的相似比為，可設(shè)△ABC為k，△A1B1C1為5k，同理，由△ABC與△A2B2C2的相似比為，可設(shè)△A2B2C2為1.5k，∴△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為5k：1.5k=.15．在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF>FC），且PE=2，那么PF=▲．第15題圖【解析】∵正方形AEFD，∴DF=第15題圖∵點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)，∴，∵，∴，∵PE=2，∴.16．在△ABC中，AB=6AC=5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、上，當(dāng)=4，∠ADE=C第16題圖時(shí)，▲第16題圖【解析】由題，可畫出圖形（如右圖），∵∠ADE=C，∠A=A，∴△ADE∽△ACB，∴.17．ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°后得△DECDE∠BDC=60°，BE=3D兩點(diǎn)間的距離是▲．第17題圖H45°45°第17題圖H45°45°45°45°15°∵ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°后得△DECRtACD，RtBCE，∵BE=3，∴BH=EH=CH=，在RtCDH中，∠BDC=60°，∴得CD=，∴AD=.18．與（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作．如果二次函數(shù)與（b、c是常數(shù)）（b，c）的坐標(biāo)▲．【解析】，，由此可知，在互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”中：（1）二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)；（2）一次項(xiàng)系數(shù)相同；（3）常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).則在二次函數(shù)與中，，解得，∴.三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計(jì)算：．【解析】原式====.20．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且BD=2AD，第20題圖AE=EC第20題圖（1）求證：DE//BC；（2）設(shè)，，試用向量、表示向量．【解析】（1）∵BD=2AD，∴，∵AE=EC，∴，∴，∴DE//BC．（2）∵，∴，∴21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，，AB=13，BC=21．第21題圖H513第21題圖H513121620（2）求∠BAC的正弦值．【解析】（1）Rt△ABD，，AB=13，∴BD=5，AD=12，∵BC=21，∴CD=BC－BD=21－5=16，∴Rt△ABD，AD=12，CD=16，∴AC=20.第21題圖H513121620第21題圖H513121620∴Rt△BCH，，∴，∴.22．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）有一把長為6米的梯子AB，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為α1.一般滿足能安全地使用這架梯子．（1）當(dāng)梯子底端B距離墻面米時(shí)，求全地使用這架梯子？（2）當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高時(shí)，梯子開始下滑，如果梯子頂端A沿著墻面下滑米到墻面上的DB也隨之向后平移第22題圖21.5第22題圖21.575°62.5第22題圖1【解析】（1），解得，在的范圍內(nèi)，∴能.答：，全地使用這架梯子.（2）由題：人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高，∴，Rt△AOB，，∵AD=1.5m，∴OD=5.8-1.5=4.3m，∴，解得，答：23．（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥，DF分別交對(duì)角線AC、底邊、，且.（1）求證：ABFD；（2G在底邊上，=，3AGC與△EFC的面積第23題圖相等，求FC第23題圖【解析】（1）∵AD∥，∴∠DAE=∠ACB，∵∠ADE=∠ABC，∵AD∥，∴∠ADE=∠EFC，∴∠ABC=∠EFC，∴ABFD.（2）∵△AGC與△ABC同高，∴EFFD，∴AGC與△EFC的面積相等，∴24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）①、②小題各4分）xOyx軸交于點(diǎn)A（點(diǎn)AB的左側(cè)yBC的余切值為AB＝P在拋物線上，且PO=PB.（1）求上述拋物線的表達(dá)式；（2OP新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.第24題圖①求新拋物第24題圖②點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，且∠EOF=∠PCO，求點(diǎn)F的坐標(biāo).【解析】（1）Rt△BOC，，∵AB＝（點(diǎn)AB的左側(cè)①∵PO=PBOP64.②∵∴PC：∠EOF=∠PCO，∴點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，∴△EOF為Rt△，xF=4，∴25．（本題滿分14分，第（1）①、②小題各5分，第（2）小題4分）在等腰直角△ABCC=90°