2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo))

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕集合A={x∈R||x|≤2}}，，那么A∩B=〔〕A．〔0，2〕 B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．〔5分〕復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，那么=〔〕A． B． C．1 D．23．〔5分〕曲線y=在點〔﹣1，﹣1〕處的切線方程為〔〕A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．〔5分〕如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0〔，﹣〕，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為〔〕A． B． C． D．5．〔5分〕命題p1：函數(shù)y=2x﹣2﹣x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2﹣x在R為減函數(shù)，那么在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：〔￢p1〕∨p2和q4：p1∧〔￢p2〕中，真命題是〔〕A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．〔5分〕某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，那么X的數(shù)學(xué)期望為〔〕A．100 B．200 C．300 D．4007．〔5分〕如果執(zhí)行右面的框圖，輸入N=5，那么輸出的數(shù)等于〔〕A． B． C． D．8．〔5分〕設(shè)偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x〕=2x﹣4〔x≥0〕，那么{x|f〔x﹣2〕＞0}=〔〕A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．〔5分〕假設(shè)，α是第三象限的角，那么=〔〕A． B． C．2 D．﹣210．〔5分〕設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，那么該球的外表積為〔〕A．πa2 B． C． D．5πa211．〔5分〕函數(shù)，假設(shè)a，b，c互不相等，且f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕，那么abc的取值范圍是〔〕A．〔1，10〕 B．〔5，6〕 C．〔10，12〕 D．〔20，24〕12．〔5分〕雙曲線E的中心為原點，P〔3，0〕是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N〔﹣12，﹣15〕，那么E的方程式為〔〕A． B． C． D．二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕設(shè)y=f〔x〕為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f〔x〕≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組〔每組N個〕區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個點〔xi，yi〕〔i=1，2，…，N〕，再數(shù)出其中滿足yi≤f〔xi〕〔i=1，2，…，N〕的點數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為．14．〔5分〕正視圖為一個三角形的幾何體可以是〔寫出三種〕15．〔5分〕過點A〔4，1〕的圓C與直線x﹣y=1相切于點B〔2，1〕，那么圓C的方程為．16．〔5分〕在△ABC中，D為邊BC上一點，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，假設(shè)△ADC的面積為，那么∠BAC=．三、解答題〔共8小題，總分值90分〕17．〔12分〕設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．18．〔12分〕如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點〔1〕證明：PE⊥BC〔2〕假設(shè)∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．19．〔12分〕為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：性別是否需要志愿男女需要4030不需要160270〔1〕估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；〔2〕能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？〔3〕根據(jù)〔2〕的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由．附：P〔k2＞k〕0.00.0100.001k3.8416.63510.82820．〔12分〕設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，過F1斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．〔1〕求E的離心率；〔2〕設(shè)點P〔0，﹣1〕滿足|PA|=|PB|，求E的方程．21．〔12分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=ex﹣1﹣x﹣ax2．〔1〕假設(shè)a=0，求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)當(dāng)x≥0時f〔x〕≥0，求a的取值范圍．22．〔10分〕如圖：圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：〔Ⅰ〕∠ACE=∠BCD．〔Ⅱ〕BC2=BE?CD．23．〔10分〕直線C1〔t為參數(shù)〕，C2〔θ為參數(shù)〕，〔Ⅰ〕當(dāng)α=時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；〔Ⅱ〕過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．24．〔10分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=|2x﹣4|+1．〔Ⅰ〕畫出函數(shù)y=f〔x〕的圖象：〔Ⅱ〕假設(shè)不等式f〔x〕≤ax的解集非空，求a的取值范圍．2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕〔2023?寧夏〕集合A={x∈R||x|≤2}}，，那么A∩B=〔〕A．〔0，2〕 B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】先化簡集合A和B，注意集合B中的元素是整數(shù)，再根據(jù)兩個集合的交集的意義求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．應(yīng)選D．2．〔5分〕〔2023?寧夏〕復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，那么=〔〕A． B． C．1 D．2【分析】因為，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：應(yīng)選A．3．〔5分〕〔2023?寧夏〕曲線y=在點〔﹣1，﹣1〕處的切線方程為〔〕A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在點〔﹣1，﹣1〕處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；所以曲線y=f〔x〕在點〔﹣1，﹣1〕處的切線方程為：y+1=2×〔x+1〕，即y=2x+1．應(yīng)選A．4．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0〔，﹣〕，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為〔〕A． B． C． D．【分析】此題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時刻點P的位置到到x軸距離來確定答案．【解答】解：通過分析可知當(dāng)t=0時，點P到x軸距離d為，于是可以排除答案A，D，再根據(jù)當(dāng)時，可知點P在x軸上此時點P到x軸距離d為0，排除答案B，故應(yīng)選C．5．〔5分〕〔2023?寧夏〕命題p1：函數(shù)y=2x﹣2﹣x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2﹣x在R為減函數(shù)，那么在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：〔￢p1〕∨p2和q4：p1∧〔￢p2〕中，真命題是〔〕A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判斷命題p1是真命題，P2是假命題，故p1∨p2為真命題，〔﹣p2〕為真命題，p1∧〔﹣p2〕為真命題．【解答】解：易知p1是真命題，而對p2：y′=2xln2﹣ln2=ln2〔〕，當(dāng)x∈[0，+∞〕時，，又ln2＞0，所以y′≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；同理得當(dāng)x∈〔﹣∞，0〕時，函數(shù)單調(diào)遞減，故p2是假命題．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．應(yīng)選C．6．〔5分〕〔2023?寧夏〕某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，那么X的數(shù)學(xué)期望為〔〕A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析題目某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，即不發(fā)芽率為0.1，故沒有發(fā)芽的種子數(shù)ξ服從二項分布，即ξ～B〔1000，0.1〕．又沒發(fā)芽的補(bǔ)種2個，故補(bǔ)種的種子數(shù)記為X=2ξ，根據(jù)二項分布的期望公式即可求出結(jié)果．【解答】解：由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)ξ服從二項分布，即ξ～B〔1000，0.1〕．而每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X故X=2ξ，那么EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．應(yīng)選B．7．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕如果執(zhí)行右面的框圖，輸入N=5，那么輸出的數(shù)等于〔〕A． B． C． D．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值．∵S==1﹣=應(yīng)選D．8．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕設(shè)偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x〕=2x﹣4〔x≥0〕，那么{x|f〔x﹣2〕＞0}=〔〕A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x〕=2x﹣4〔x≥0〕，可得f〔x〕=f〔|x|〕=2|x|﹣4，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x〕=2x﹣4〔x≥0〕，可得f〔x〕=f〔|x|〕=2|x|﹣4，那么f〔x﹣2〕=f〔|x﹣2|〕=2|x﹣2|﹣4，要使f〔|x﹣2|〕＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．應(yīng)選：B．9．〔5分〕〔2023?寧夏〕假設(shè)，α是第三象限的角，那么=〔〕A． B． C．2 D．﹣2【分析】將欲求式中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角α與待求式中角的差異，注意消除它們之間的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，那么，應(yīng)選A．10．〔5分〕〔2023?寧夏〕設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，那么該球的外表積為〔〕A．πa2 B． C． D．5πa2【分析】由題意可知上下底面中心連線的中點就是球心，求出球的半徑，即可求出球的外表積．【解答】解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，那么其外接球的半徑為，球的外表積為，應(yīng)選B．11．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕函數(shù)，假設(shè)a，b，c互不相等，且f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕，那么abc的取值范圍是〔〕A．〔1，10〕 B．〔5，6〕 C．〔10，12〕 D．〔20，24〕【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕，不妨a＜b＜c，求出abc的范圍即可．【解答】解：作出函數(shù)f〔x〕的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，那么ab=1，那么abc=c∈〔10，12〕．應(yīng)選C．12．〔5分〕〔2023?寧夏〕雙曲線E的中心為原點，P〔3，0〕是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N〔﹣12，﹣15〕，那么E的方程式為〔〕A． B． C． D．【分析】條件易得直線l的斜率為1，設(shè)雙曲線方程，及A，B點坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得x1+x2=﹣24，根據(jù)=，可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù)c=3，求得a和b，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由條件易得直線l的斜率為k=kPN=1，設(shè)雙曲線方程為，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有，兩式相減并結(jié)合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，從而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，應(yīng)選B．二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕〔2023?寧夏〕設(shè)y=f〔x〕為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f〔x〕≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組〔每組N個〕區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個點〔xi，yi〕〔i=1，2，…，N〕，再數(shù)出其中滿足yi≤f〔xi〕〔i=1，2，…，N〕的點數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為．【分析】要求∫f〔x〕dx的近似值，利用幾何概型求概率，結(jié)合點數(shù)比即可得．【解答】解：由題意可知得，故積分的近似值為．故答案為：．14．〔5分〕〔2023?寧夏〕正視圖為一個三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐〔其他正確答案同樣給分〕〔寫出三種〕【分析】三棱錐一個側(cè)面的在正視圖為一條線段的情形；圓錐；四棱錐有兩個側(cè)面在正視圖為線段的情形，即可答復(fù)此題．【解答】解：正視圖為一個三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱〔放倒的情形〕、圓錐、四棱錐等等．故答案為：三棱錐、圓錐、三棱柱．15．〔5分〕〔2023?寧夏〕過點A〔4，1〕的圓C與直線x﹣y=1相切于點B〔2，1〕，那么圓C的方程為〔x﹣3〕2+y2=2．【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用過點A〔4，1〕，過B，兩點坐標(biāo)適合方程，圓和直線相切，圓心到直線的距離等于半徑，求得圓的方程．【解答】解：設(shè)圓的方程為〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2=r2，那么，解得，故所求圓的方程為〔x﹣3〕2+y2=2．故答案為：〔x﹣3〕2+y2=2．16．〔5分〕〔2023?寧夏〕在△ABC中，D為邊BC上一點，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，假設(shè)△ADC的面積為，那么∠BAC=60°．【分析】先根據(jù)三角形的面積公式利用△ADC的面積求得DC，進(jìn)而根據(jù)三角形ABC的面積求得BD和BC，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面積為可得解得，那么．AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos120°=，，那么=．故∠BAC=60°．三、解答題〔共8小題，總分值90分〕17．〔12分〕〔2023?寧夏〕設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【分析】〔Ⅰ〕由題意得an+1=[〔an+1﹣an〕+〔an﹣an﹣1〕+…+〔a2﹣a1〕]+a1=3〔22n﹣1+22n﹣3+…+2〕+2=22〔n+1〕﹣1．由此可知數(shù)列{an}的通項公式為an=22n﹣1．〔Ⅱ〕由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：〔Ⅰ〕由，當(dāng)n≥1時，an+1=[〔an+1﹣an〕+〔an﹣an﹣1〕+…+〔a2﹣a1〕]+a1=3〔22n﹣1+22n﹣3+…+2〕+2=3×+2=22〔n+1〕﹣1．而a1=2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=22n﹣1．〔Ⅱ〕由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1①從而22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1②①﹣②得〔1﹣22〕?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1．即．18．〔12分〕〔2023?寧夏〕如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點〔1〕證明：PE⊥BC〔2〕假設(shè)∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系．〔1〕表示，，計算，就證明PE⊥BC．〔2〕∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐標(biāo)，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，那么A〔1，0，0〕，B〔0，1，0〕〔Ⅰ〕設(shè)C〔m，0，0〕，P〔0，0，n〕〔m＜0，n＞0〕那么．可得．因為所以PE⊥BC．〔Ⅱ〕由條件可得m=，n=1，故C〔﹣〕，設(shè)=〔x，y，z〕為平面PEH的法向量那么即因此可以取，由，可得所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．19．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：性別是否需要志愿男女需要4030不需要160270〔1〕估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；〔2〕能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？〔3〕根據(jù)〔2〕的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由．附：P〔k2＞k〕0.00.0100.001k3.8416.63510.828【分析】〔1〕由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值．〔2〕根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．〔3〕從樣本數(shù)據(jù)老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調(diào)查時，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．【解答】解：〔1〕∵調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，∴該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值為．〔2〕根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．〔3〕由〔2〕的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．20．〔12分〕〔2023?寧夏〕設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，過F1斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．〔1〕求E的離心率；〔2〕設(shè)點P〔0，﹣1〕滿足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】〔I〕根據(jù)橢圓的定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進(jìn)而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進(jìn)而可知直線l的方程，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2進(jìn)而根據(jù)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得．〔II〕設(shè)AB的中點為N〔x0，y0〕，根據(jù)〔1〕那么可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PN的斜率，根據(jù)求得c，進(jìn)而求得a和b，橢圓的方程可得．【解答】解：〔I〕由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程為y=x+c，其中．設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡的〔a2+b2〕x2+2a2cx+a2〔c2﹣b2〕=0那么因為直線AB斜率為1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的離心率〔II〕設(shè)AB的中點為N〔x0，y0〕，由〔I〕知，．由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，即得c=3，從而故橢圓E的方程為．21．〔12分〕〔2023?寧夏〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=ex﹣1﹣x﹣ax2．〔1〕假設(shè)a=0，求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)當(dāng)x≥0時f〔x〕≥0，求a的取值范圍．【分析】〔1〕先對函數(shù)f〔x〕求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．〔2〕根據(jù)ex≥1+x可得不等式f′〔x〕≥x﹣2ax=〔1﹣2a〕x，從而可知當(dāng)1﹣2a≥0，即時，f′〔x〕≥0判斷出函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性，得到答案．【解答】解：〔1〕a=0時，f〔x〕=ex﹣1﹣x，f′〔x〕=ex﹣1．當(dāng)x∈〔﹣∞，0〕時，f'〔x〕＜0；當(dāng)x∈〔0，+∞〕時，f'〔x〕＞0．故f〔x〕在〔﹣∞，0〕單調(diào)減少，在〔0，+∞〕單調(diào)增加〔II〕f′〔x〕=ex﹣1﹣2ax由〔I〕知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立．故f′〔x〕≥x﹣2ax=〔1﹣2a〕x，從而當(dāng)1﹣2a≥0，即時，f′〔x〕≥0〔x≥0〕，而f〔0〕=0，于是當(dāng)x≥0時，f〔x〕≥0．由ex＞1+x〔x≠0〕可得e﹣x＞1﹣x〔x≠0〕．從而當(dāng)時，f′〔x〕＜ex﹣1+2a〔e﹣x﹣1〕=e﹣x〔ex﹣1〕〔ex﹣2a〕，故當(dāng)x∈〔0，ln2a〕時，f'〔x〕＜0，而f〔0〕=0，于是當(dāng)x∈〔0，ln2a〕時，f〔x〕＜0．綜合得a的取值范圍為．22．〔10分〕〔2023?新課標(biāo)〕如圖：圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：〔Ⅰ〕∠ACE=∠BCD