2023年全國碩士研究生入學考試數(shù)學二試題及解析

2023年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題：1-8小題，每題4分，共32分.以下每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸進線的條數(shù)〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3〔2〕設函數(shù)，其中為正整數(shù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕設，，那么數(shù)列有界是數(shù)列收斂的.〔A〕充分必要條件〔B〕充分非必要條件〔C〕必要非充分條件〔D〕非充分也非必要〔4〕設，那么有〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕設函數(shù)為可微函數(shù)，且對任意的都有，，那么使不等式成立的一個充分條件是〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，〔6〕設區(qū)域由曲線，，圍成，那么〔A〕〔B〕2〔C〕〔D〕〔7〕設，，，，其中為任意常數(shù)，那么線性相關的向量組為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題：9-14小題，每題4分。請將答案寫在答題紙指定位置上?！?〕設是由方程所確定的隱函數(shù)，那么____________〔10〕____________〔11〕設，其中函數(shù)可微，那么____________〔12〕微分方程滿足條件的解為____________〔13〕曲線上曲率為的點的坐標是____________〔14〕設為3階矩陣，，為的伴隨矩陣，假設交換的第一行與第二行得到矩陣，那么____________三、解答題：15-23，共94分。請將解答寫在答題紙指定位置上，解容許寫出文字說明、證明過程或者演算步驟?！?5〕〔此題總分值10分〕函數(shù)，記〔Ⅰ〕求的值〔Ⅱ〕假設當時，是的同階無窮小，求。〔16〕〔此題總分值10分〕求的極值〔17〕〔此題總分值12分〕過點作曲線的切線，切點為，又切線與軸交于點，區(qū)域由與線段及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?！?8〕〔此題總分值10分〕計算二重積分，其中區(qū)域為曲線與極軸圍成〔19〕〔此題總分值10分〕函數(shù)滿足方程及，〔Ⅰ〕求的表達式；〔Ⅱ〕求曲線的拐點。〔20〕〔此題總分值10分〕證明：?！?1〕〔此題總分值10分〕〔Ⅰ〕證明方程〔的整數(shù)〕，在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個實根；〔Ⅱ〕記〔Ⅰ〕中的實根為，證明存在，并求此極限。〔22〕〔此題總分值11分〕設，〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕當實數(shù)為何值時，線性方程組有無窮多解，并求其通解?！?3〕〔此題總分值11分〕，二次型的秩為2.〔Ⅰ〕求實數(shù)的值〔Ⅱ〕求利用正交變換將化為標準型。2023年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、選擇題：〔1〕【答案】C【分析】此題考查漸近線的概念與求法.【詳解】水平漸近線：因為，所以該曲線只有一條水平漸近線；垂直漸近線：函數(shù)的定義域為，又因為，，所以該曲線只有一條垂直漸近線；斜漸近線：因為，所以該曲線沒有斜漸近線。故應選(C).〔2〕【答案】A【分析】考查導數(shù)定義或求導公式。此題既可以用導數(shù)定義求，也可求出導函數(shù)再代入點?！驹斀狻糠ㄒ唬河深}設知而法二：因為所以，故應選〔A〕〔3〕【答案】B【分析】此題考查數(shù)列的性質(zhì)和級數(shù)的性質(zhì)?！驹斀狻糠ㄒ唬撼浞中裕阂驗?，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又因為數(shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而。非必要性：令，那么數(shù)列收斂，而數(shù)列無界；故應選〔B〕。法二：充分性：因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又因為數(shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而級數(shù)收斂，有級數(shù)收斂的必要條件可得非必要性：令，那么數(shù)列收斂，而數(shù)列無界；故應選〔B〕?！?〕【答案】D【分析】考查定積分性質(zhì)、定積分換元積分法?！驹斀狻糠ㄒ?先比擬與大小由于〔因為時，〕，所以；再比擬與的大小由于〔因為時，〕，所以；最后比擬與的大小由于，所以；故應選〔D〕。法二:；，因為時，，所以，并且連續(xù)，所以，因此；令，那么從而當時，顯然有，所以，，從而，又因為連續(xù)，所以有，故。綜上，故應選〔D〕?！?〕【答案】A【分析】此題考查偏導數(shù)與導數(shù)關系、單調(diào)的判定定理。【詳解】因為，假設，那么；又因為，假設，那么，所以當，時，，故應選〔A〕〔6〕【答案】D【分析】二重積分的計算，首先應畫出區(qū)域，觀察其是否具有某種對稱性，如具有對稱性,那么應先考慮利用對稱性化簡二重積分，然后選擇適當坐標系化為二次積分計算?！驹斀狻糠ㄒ唬寒嫵龇e分區(qū)域的草圖如右圖所示。用曲線將劃分為如下圖顯然關于軸對稱，關于軸對稱，從而由對稱性可得：故應選〔D〕〔7〕【答案】C【分析】考查向量組線性相關的判定.三個三維向量構成的向量組既可以用行列式是否為零來判是否線性相關，又可以利用矩陣的秩來討論。此題利用行列式判定快速、直接。【詳解】因為；；；。由于為任意常數(shù)，所以線性相關。故應選〔C〕?！?〕【答案】B【分析】考查矩陣的運算。將用表示，即，然后代入計算即可?！驹斀狻坑捎?，所以，那么，故故應選〔B〕。二、填空題〔9〕【答案】1【分析】考查隱函數(shù)求導數(shù)，常用方法是用微商或隱函數(shù)求導法那么完成?！驹斀狻糠ㄒ唬簩⒋敕匠?，可得。方程兩端對導數(shù)，得，所以，故；方程兩端再對求導數(shù)，得，從而可以得到。法二：將代入方程，可得。方程兩端微分得：，從而，且又，從而?！?0〕【分析】考查定積分的概念及項和數(shù)列求極限?！驹斀狻俊?1〕【答案】0【分析】考查多元復合函數(shù)求偏導數(shù)，利用復合函數(shù)的鏈式法那么或微分完成?！驹斀狻糠ㄒ唬河捎?，，于是。法二：，從而，，故?！?2〕【答案】【分析】將變量當做函數(shù)，變量做自變量，那么方程為一階線性微分方程，用公式求出通解，代入初始條件即可?！驹斀狻糠匠炭烧頌?，將看做因變量，為一階線性非齊次微分方程，通解，即。由，解得，所以所求特解為?！?3〕【答案】【分析】考查曲率的概念與計算。代入公式計算便可?！驹斀狻坑捎?，，所以可得，解得，此時，故所求曲線上的點為。〔14〕【答案】【分析】考查伴隨矩陣的性質(zhì)與矩陣行列式的性質(zhì)與運算。【詳解】由于，，所以。三、解答題〔15〕【分析】〔Ⅰ〕求未定式的極限，主要考查等價無窮小代換、洛必達法那么或泰勒公式；〔Ⅱ〕考查無窮小比擬，可用無窮小比擬的定義寫出一個極限式，由極限的逆問題算出?！驹斀狻俊并瘛撤ㄒ唬悍ǘ骸并颉撤ㄒ唬河捎谟深}設〔非零常數(shù)〕，即〔非零常數(shù)〕所以要使上極限存在且非零，必有。法二：由于而，所以，綜上可知：，故〔16〕【分析】二元顯函數(shù)求極值，先求出所有駐點，然后利用無條件極值的充分條件判定每一個駐點是否是極值點，是極大還是極小，并求出極值點的函數(shù)值。【詳解】由于，解方程組：可得：或。所以函數(shù)全部駐點為、。又對駐點，由于，，所以，且，從而為極大值；對駐點，由于，，，所以，且，從而為極小值?！?7〕【分析】此題主要考查導數(shù)的幾何應用與定積分的幾何應用。先根據(jù)題設求出切點，進而寫出切線方程求出點坐標，利用面積和旋轉(zhuǎn)體體積公式求出面積和體積?！驹斀狻吭O切點的坐標為，由于，由題意知曲線在點的切線過點，從而，解得，故切點的坐標是，所以切線方程為，即，易求得切線與軸交點，從而區(qū)域的面積或繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積或〔18〕【分析】考查初等函數(shù)的二重積分，化為極坐標系下的二次積分計算。【詳解】〔19〕【分析】〔Ⅰ〕求出方程的通解代入方程確定任意常數(shù)即可，或方程兩端求導數(shù)與解出〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕中得到的函數(shù)表達式代入，然后利用常規(guī)方法求得拐點?！驹斀狻俊并瘛撤ㄒ唬旱奶卣鞣匠虨?，解得,所以；將代入，得，所以，，故。法二：方程兩端求導數(shù)得將上式代入，可得?！并颉秤捎冢瑥亩鴱亩x域內(nèi)為零或不存在點只有，而當時，，因為，所以，，所以當時，，因為，所以，，所以又，所以是曲線的拐點?！?0〕【分析】證明函數(shù)不等式，由于不等式的形狀為，故用最大最小值法完成?！驹斀狻苛?，那么從而單調(diào)遞增，又因為，所以當時，；當時，，從而是在區(qū)間內(nèi)的最小值，從而當時，恒有，即，亦即〔21〕【分析】〔Ⅰ〕用零點定理證明至少有一個實根，用單調(diào)性證明最多有一個實根；〔Ⅱ〕用單調(diào)有界準那么證明?！驹斀狻俊并瘛沉?，所以函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，又因為，，由零點定理知在內(nèi)至少存在一點，使得，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根；又因為，所以在單調(diào)增加，所以方程在內(nèi)最多有一個實根；綜上可得方程〔的整數(shù)〕，在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個實根?！并颉秤散瘛晨芍?，從而數(shù)列有下界，又因為，，所以從而而所以，即數(shù)列單減。由單調(diào)有界準那么可知極限存在。由可知由于，所以，從而，記，那么，從而?！?2〕【分析】考查行列式的計算、線性方程組解的存在性定理?！并瘛嘲吹谝涣姓归_；〔Ⅱ〕對增廣矩陣進行初等航變換化為階梯型求出，進一步化為行最簡形求通解?！驹斀狻俊并瘛场并颉硨υ鰪V矩陣進行初等行變換，有因為線性方程組有無窮多解，所以，解得。將增廣矩陣進一步化為行最簡形，有從而可知導出組的根底解系為，非齊次方程的特解為，所以通解為，其中為任意常數(shù)。〔23〕【分析】考查矩陣秩的概念與求法及其性質(zhì)、特征值與特征向量的求法?！并瘛忱弥鹊男再|(zhì)得到矩陣的秩為2，再利用初等行變換將化為階梯型即可求出；〔Ⅱ〕求出矩陣的特征值與全部線性無關的特征向量，將他們正交化、單位化可得到正交矩陣。【詳解】〔Ⅰ〕由于，而二次型的秩為，即，故。對矩陣作初等行變換化為階梯型，有從而。此時