2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試-北京卷數(shù)學(xué)理科試題及詳細(xì)解析

2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試北京卷數(shù)學(xué)理科試題及詳細(xì)解析第一局部〔選擇題共40分〕一、選擇題共8小題。每題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的一項(xiàng)。1.集合A=，，那么=()A.B.C.D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.“〞是“曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的〞〔〕A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的S值為〔〕A.1B.C.D.5.函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，那么〔〕A.B.C.D.6.假設(shè)雙曲線的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕A.B.C.D.7.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直，那么與所圍成的圖形的面積等于〔〕A.B.2C.D.8.設(shè)關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，求得的取值范圍是〔〕A.B.C.D.第二局部〔非選擇題共110分〕二、填空題共6題，每題5分，共30分.9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于10.假設(shè)等比數(shù)列滿足，，那么公比；前項(xiàng)和。.11.如圖，為圓的直徑，為圓的切線，與圓相交于，，，那么，.12.將序號(hào)分別為，，，，的張參觀券全局部給人，每人至少一張，如果分給同一人的兩張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是.13.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如下圖，假設(shè)c=λa＋μb(λ，μ∈R)，那么=。14.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.三、解答題共6小題，共80分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15.(本小題共13分)在中，，2，.(=1\*ROMANI)求值。(=2\*ROMANII)求的值。16.(本小題共13分)下列圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天〔Ⅰ〕求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率〔Ⅱ〕設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望。〔Ⅲ〕由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？〔結(jié)論不要求證明〕17.(本小題共14分)如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正方形.平面平面，，.〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值；〔Ⅲ〕證明：在線段存在點(diǎn)，使得，并求的值.18.(本小題共13分)設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線.(=1\*ROMANI)求的方程；(=2\*ROMANII)證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方.19.(本小題共14分)、、是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(=1\*ROMANI)當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn)，且四邊形為菱形時(shí)，求此菱形的面積.(=2\*ROMANII)當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.20.(本小題共13分)是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為，(〔1〕假設(shè)為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意，)，寫(xiě)出，，，的值；(=2\*ROMANII)設(shè)為非負(fù)整數(shù)，證明：的充分必要條件為為公差為的等差數(shù)列；(=3\*ROMANIII)證明：假設(shè)，，那么的項(xiàng)只能是或，且