2023年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽A題全國(guó)一等獎(jiǎng)?wù)撐?

2023高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)那么.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等〕與隊(duì)外的任何人〔包括指導(dǎo)教師〕研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)那么的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)那么，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是〔從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)〕：我們的參賽報(bào)名號(hào)為〔如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話〕：所屬學(xué)校〔請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名〕：參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：日期：年月日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：2023高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：賽區(qū)評(píng)閱記錄〔可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用〕：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)〕：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)〔由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響摘要車(chē)道被占用會(huì)對(duì)車(chē)輛的通行有一定的影響，所以要建立模型正確估算車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，為交通部門(mén)采取措施提供理論依據(jù)。查閱資料對(duì)通行能力進(jìn)行修正，用t檢驗(yàn)判定占道不同對(duì)通行能力的影響，然后進(jìn)行擬合回歸求排隊(duì)長(zhǎng)度與其他因素的關(guān)系，最后建立微分方程求解隊(duì)長(zhǎng)達(dá)140m所需時(shí)間。針對(duì)問(wèn)題一，首先查閱資料得出根本通行能力的計(jì)算公式，然后統(tǒng)計(jì)或者查資料求出平均車(chē)頭時(shí)距，行駛速度，連續(xù)車(chē)流的車(chē)頭間距等參數(shù)，計(jì)算得根本通行能力。然后對(duì)根本通行能力進(jìn)行乘法修正，考慮車(chē)道的寬度，公交車(chē)的數(shù)量，道路數(shù)等因素，在公式前乘以各修正系數(shù)，最后按起始時(shí)間開(kāi)始，每隔1min為單位計(jì)算每個(gè)時(shí)段的通行能力，并繪制統(tǒng)計(jì)圖。針對(duì)問(wèn)題二，首先對(duì)2個(gè)視頻中顯示的交通事故所在橫斷面的交通量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到原始數(shù)據(jù)，用折算系數(shù)換算標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量交通量，然后用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化并判斷數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，接著畫(huà)出正態(tài)分布擬合圖。最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)換算得出的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行t檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異較大。針對(duì)問(wèn)題三，首先根據(jù)公式[3]，得出每個(gè)時(shí)段排隊(duì)長(zhǎng)度，然后將排隊(duì)長(zhǎng)度作為因變量，事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間和路段上游車(chē)流量作為自變量建立回歸方程。最后用最小二乘法對(duì)該回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)并進(jìn)行分析說(shuō)明。針對(duì)問(wèn)題四，首先根據(jù)題目中的道路交通狀況，做出車(chē)長(zhǎng)與車(chē)距為定值的假設(shè)，簡(jiǎn)化問(wèn)題。題中規(guī)定橫斷面上流進(jìn)車(chē)量為1500pcu/h，橫斷面出車(chē)量我們近似的看做事故橫斷面各時(shí)段車(chē)流量的均值，由進(jìn)車(chē)量與出車(chē)量的差值作為微分方程的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)初始隊(duì)長(zhǎng)為零的條件，建立車(chē)長(zhǎng)關(guān)于時(shí)間的微分方程，求得所需時(shí)間為3.1min。關(guān)鍵詞：乘法修正t檢驗(yàn)線性回歸最小二乘法微分方程問(wèn)題重述車(chē)道被占用是指因交通事故、路邊停車(chē)、占道施工等因素，導(dǎo)致車(chē)道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強(qiáng)等特點(diǎn)，一條車(chē)道被占用，也可能降低路段所有車(chē)道的通行能力，即使時(shí)間短，也可能引起車(chē)輛排隊(duì)，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當(dāng)，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。車(chē)道被占用的情況種類繁多、復(fù)雜，正確估算車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門(mén)正確引導(dǎo)車(chē)輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車(chē)位和設(shè)置非港灣式公交車(chē)站等提供理論依據(jù)。視頻1〔附件1〕和視頻2〔附件2〕中的兩個(gè)交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車(chē)道。請(qǐng)研究以下問(wèn)題：1.根據(jù)視頻1〔附件1〕，描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實(shí)際通行能力的變化過(guò)程。2.根據(jù)問(wèn)題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2〔附件2〕，分析說(shuō)明同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異。3.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析視頻1〔附件1〕中交通事故所影響的路段車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量間的關(guān)系。4.假設(shè)視頻1〔附件1〕中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車(chē)流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時(shí)車(chē)輛初始排隊(duì)長(zhǎng)度為零，且事故持續(xù)不撤離。請(qǐng)估算，從事故發(fā)生開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度將到達(dá)上游路口。模型假設(shè)假設(shè)當(dāng)視頻中的車(chē)輛車(chē)頭通過(guò)橫斷面那么算作該車(chē)已通行；我們假設(shè)此次交通事故發(fā)生點(diǎn)的遷移對(duì)事故所處橫斷面車(chē)流量的影響可以忽略；問(wèn)題四中的事故所處橫斷面的車(chē)流量可以近似為某一定值；在統(tǒng)計(jì)車(chē)流量時(shí)，因自行車(chē)、電瓶車(chē)等小車(chē)型對(duì)整體交通通行能力的影響太小，故我們忽略不計(jì)；5.將所有非公交車(chē)的四輪車(chē)都算作標(biāo)準(zhǔn)車(chē)。符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義符號(hào)意義一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的路段根本通行能力〔veh/h〕飽和連續(xù)車(chē)流的平均車(chē)頭時(shí)距〔s〕行駛速度(km/h)連續(xù)車(chē)流的車(chē)頭間距〔m〕停車(chē)時(shí)的車(chē)輛平安車(chē)間距〔m〕車(chē)輛的車(chē)身長(zhǎng)度〔m〕行駛速度〔km/h〕與車(chē)重、路段阻力系數(shù)、黏著系數(shù)及坡度相關(guān)的系數(shù)駕駛員在反響時(shí)間內(nèi)車(chē)輛行駛的距離〔m〕車(chē)道數(shù)n條車(chē)道的道路根本通行能力車(chē)道寬度和路肩寬度對(duì)通行能力的修正系數(shù)電動(dòng)車(chē)影響的修正系數(shù)客車(chē)影響的修正系數(shù)一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的寬度〔m〕大車(chē)的修正系數(shù)為大車(chē)占交通總量的百分比初始時(shí)刻上、下游斷面之間的車(chē)輛數(shù)t時(shí)刻通過(guò)上游斷面的車(chē)輛累計(jì)數(shù)t時(shí)刻通過(guò)下游斷面的車(chē)輛累計(jì)數(shù)t時(shí)刻上、下游斷面之間的車(chē)輛數(shù)。t時(shí)刻上、下游斷面之間的當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度下游斷面之間的距離上、下游斷面之間的交通流最正確密度上、下游斷面之間的交通流阻塞密度。進(jìn)車(chē)量出車(chē)量車(chē)距問(wèn)題分析問(wèn)題1：為了描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實(shí)際通行能力的變化過(guò)程，我們首先查閱資料了解車(chē)道的根本通行能力的計(jì)算公式，然后對(duì)該公式進(jìn)行乘法修正，然后我們應(yīng)該按照公式中的參數(shù)，查閱資料或者統(tǒng)計(jì)出車(chē)輛的車(chē)身長(zhǎng)度，車(chē)道數(shù)，車(chē)主的反響時(shí)間等參數(shù)，最后代入公式，求解出每個(gè)時(shí)間段的通行能力，最后畫(huà)出統(tǒng)計(jì)圖并進(jìn)行分析。問(wèn)題2：為了求解同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異，結(jié)合問(wèn)題1統(tǒng)計(jì)出的交通事故橫斷面的交通量，再根據(jù)視頻2中監(jiān)控畫(huà)面，可以統(tǒng)計(jì)出第二個(gè)交通事故橫斷面的交通量。采用問(wèn)題一給出的折算系數(shù)，將交通量換算為標(biāo)準(zhǔn)交通當(dāng)量。再用MATLAB對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并判斷其服從的分布，最后得到擬合正態(tài)分布圖。用t檢驗(yàn)判斷兩組結(jié)果有無(wú)顯著性差異，可以最終分析得到影響能力的差異。問(wèn)題3：為了分析視頻中交通事故所影響的路段車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量間的關(guān)系，我們查閱資料可通過(guò)流量守恒和二流理論等求解排隊(duì)長(zhǎng)度的計(jì)算公式，然后通過(guò)線性擬合回歸求解出關(guān)于輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量間的回歸方程，最后對(duì)該回歸函數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，并判定其擬合的程度。問(wèn)題4：為了估算從事故發(fā)生開(kāi)始，車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度將到達(dá)上游路口的所需時(shí)間，假設(shè)車(chē)長(zhǎng)與車(chē)距為定值，簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解。題目中規(guī)定橫斷面上流進(jìn)車(chē)量為1500pcu/h，橫斷面出車(chē)量我們近似的看做事故橫斷面各時(shí)段車(chē)流量的均值，將兩者的差值作為微分方程的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)初始隊(duì)長(zhǎng)為零的條件，建立車(chē)長(zhǎng)關(guān)于時(shí)間的微分方程，求得所需時(shí)間。模型建立與求解5.1問(wèn)題一5.1.1模型分析題目要求描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實(shí)際通行能力的變化過(guò)程，所以我們查閱資料得出根本通行能力的求解公式，并且根據(jù)各項(xiàng)修正系數(shù)對(duì)通行能力進(jìn)行乘法修正，最后列出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖。5.1.2數(shù)據(jù)處理在交通調(diào)查中，為了確定其通行能力，應(yīng)該將不同車(chē)型的交通量換算成標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量數(shù)。根據(jù)交通量主要指標(biāo)解釋[附錄一]，我們選取大車(chē)的折算系數(shù)為1.5，小車(chē)的折算系數(shù)為1，電瓶車(chē)的折算系數(shù)為0.2，其他車(chē)輛暫不考慮，將各時(shí)間段的總交通量和大車(chē)交通量標(biāo)準(zhǔn)化后得到一組新的數(shù)據(jù)。然后我們從事故發(fā)生時(shí)間開(kāi)始每隔1min對(duì)事故所處橫斷面、通行量與在該時(shí)段內(nèi)大車(chē)的通行量的比例做統(tǒng)計(jì)分析，其中在時(shí)間段49:32~50:32中視頻有缺失我們不采用該時(shí)段的信息，所統(tǒng)計(jì)得10組數(shù)據(jù)如[附錄二]，[附錄三]所示。5.1.3模型建立與求解(1)根本通行能力車(chē)道的根本通行能力，可按車(chē)頭間距和車(chē)頭時(shí)距兩種方法計(jì)算，其計(jì)算公式為：或〔1-1〕式中：——一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的路段根本通行能力〔veh/h〕；——飽和連續(xù)車(chē)流的平均車(chē)頭時(shí)距〔s〕；——行駛速度(km/h);——連續(xù)車(chē)流的車(chē)頭間距〔m〕。連續(xù)車(chē)流條件下的車(chē)頭間距可按下式計(jì)算：〔1-2〕式中：——停車(chē)時(shí)的車(chē)輛平安車(chē)間距〔m〕；——車(chē)輛的車(chē)身長(zhǎng)度〔m〕；——行駛速度〔km/h〕；——與車(chē)重、路段阻力系數(shù)、黏著系數(shù)及坡度相關(guān)的系數(shù)；——駕駛員在反響時(shí)間內(nèi)車(chē)輛行駛的距離〔m〕，，左右。由于根本通行能力計(jì)算時(shí)不需要考慮道路和交通條件的影響，因此多車(chē)道的根本通行能力可按照下式計(jì)算：〔1-3〕式中：——車(chē)道數(shù)；——n條車(chē)道的道路根本通行能力；——一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的道路根本能力。為停車(chē)時(shí)的車(chē)輛平安車(chē)間距，一般取2m；為輛的車(chē)車(chē)身長(zhǎng)度，我們現(xiàn)取標(biāo)準(zhǔn)車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為5m；在發(fā)生擁堵的城市道路中，將平均速度取為20km/h；最后將系數(shù)設(shè)定為0.02。將各項(xiàng)數(shù)據(jù)代入式〔1-2〕，并將式〔1-2〕所求得的數(shù)據(jù)代入式〔1-1〕得一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的道路根本能力?！?〕基于根本通行能力修正的乘法模型〔1-4〕式中：——車(chē)道被占用后的實(shí)際通行能力；——n條車(chē)道的道路根本通行能力；——車(chē)道寬度和路肩寬度對(duì)通行能力的修正系數(shù)；——電動(dòng)車(chē)影響的修正系數(shù)；——客車(chē)影響的修正系數(shù)。由于在發(fā)生事故后車(chē)道數(shù)從3個(gè)減少為1個(gè)，所以n=1;在城市道路設(shè)計(jì)中，標(biāo)準(zhǔn)車(chē)道寬度為3.50m，當(dāng)車(chē)道寬度大于該值時(shí)，不影響通行能力；當(dāng)車(chē)道寬度小于該值時(shí)，通行能力減小。車(chē)道寬度對(duì)通行能力的修正系數(shù)可按下式確定：[1](1-5)式中：——一條機(jī)動(dòng)車(chē)道的寬度〔m〕。將W=3.25代入式〔1-4〕得車(chē)道寬度對(duì)通行能力的修正系數(shù)；電動(dòng)車(chē)對(duì)通行能力的影響較小，所以我們?cè)诖巳∑湎禂?shù)為1；客車(chē)對(duì)通行能力修正的計(jì)算公式為[2]：〔1-6〕式中——大車(chē)的折算系數(shù)為1.5；——大車(chē)占交通總量的百分比[附錄三]；最后將每個(gè)時(shí)段的代入式〔1-4〕得最后的結(jié)果如下表1.1所示。表1.1：事故所處橫斷面實(shí)際通行能力時(shí)段12345678910時(shí)間42:32-43:3243:32-44:3244:32-45:3245:32-46:3246:32-47:3247:32-48:3248:32-49:3250:32-51:3251:32-52:3252:32-53:32實(shí)際通行能力310.80333.65340.32333.65340.32333.65340.32333.65333.65333.65根據(jù)上表給的數(shù)據(jù)用excel做出實(shí)際通行能力與時(shí)間的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖1.1所示。圖1.1：5.1.4結(jié)果分析與模型評(píng)價(jià)由上統(tǒng)計(jì)圖可得，事故發(fā)生后的1min內(nèi)所處斷面的實(shí)際通行能力最小，而從第2min開(kāi)始后，事故所處斷面實(shí)際通行能力趨于穩(wěn)定。但是由于視頻后半局部時(shí)間段出現(xiàn)了大量的缺失，所以我們并沒(méi)有采用后半局部的數(shù)據(jù)，但是由圖分析趨勢(shì)可得后面時(shí)段的實(shí)際通行能力應(yīng)該也在330左右。視頻最后未給出事故雙方撤離的過(guò)程，所以并不能用統(tǒng)計(jì)圖表示。5.2問(wèn)題二5.2.1問(wèn)題分析問(wèn)題2中題目要求根據(jù)問(wèn)題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2〔附件2〕，分析說(shuō)明同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異。根據(jù)視頻1、2的監(jiān)控畫(huà)面顯示，可以統(tǒng)計(jì)大客車(chē)與小轎車(chē)兩種車(chē)型的交通量，用折算系數(shù)換算為標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量交通量，得到各個(gè)時(shí)間段的通行能力后，用t檢驗(yàn)的方法，判別兩個(gè)交通事故所處橫斷面的通行量是否有顯著性差異。5.2.2數(shù)據(jù)預(yù)處理〔1〕針對(duì)視頻1，將視頻1交通事故發(fā)生時(shí)間16:42:32為開(kāi)始時(shí)間，以1min為組距，交通事故撤離時(shí)間為結(jié)束時(shí)間，劃分為14組。統(tǒng)計(jì)視頻中的大、小車(chē)的通行數(shù)量，因?yàn)殡娖寇?chē)、自行車(chē)的體積太小，對(duì)交通狀況不易造成影響，故我們此處忽略不計(jì)。得到初始數(shù)據(jù)后，我們由折算系數(shù)把不同車(chē)型的交通量轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量交通量，進(jìn)而得到各個(gè)時(shí)間段的交通通行能力?！?〕針對(duì)視頻2，將視頻2交通事故發(fā)生時(shí)間為17:34:17開(kāi)始時(shí)間，以1min為組距，交通事故撤離時(shí)間為結(jié)束時(shí)間，劃分為20組。同視頻1的處理，得出各個(gè)時(shí)間段的交通通行能力。5.2.3模型的建立與求解——擬合與t檢驗(yàn)〔1〕對(duì)交通通行能力進(jìn)行正態(tài)擬合經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)的預(yù)處理后，得到視頻1與視頻2的交通通行能力如下表所示：表2-1：視頻1交通通行能力視頻1事故所處橫斷面實(shí)際通行能力時(shí)段1234567891011121314通行能力310.80333.65340.32333.65340.32333.65340.32333.65333.65333.65316.58327.72309.38316.58表2-2：視頻2交通通行能力視頻2事故所處橫斷面實(shí)際通行能力時(shí)段12345678910通行能力312.22309.38328.81307.98328.81312.22318.06328.81319.55316.58時(shí)段11121314151617181920通行能力327.23340.32321.06302.51327.23330.41327.23325.67327.23315.11正態(tài)分布檢驗(yàn)：用SPSS進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)性的要求。首先數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后求得漸近顯著性(雙側(cè))分別為0.128和0.502，均大于0.05，那么不能拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)都服從正態(tài)分布。用MATLAB對(duì)視頻1中得到的交通通行能力首先進(jìn)行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化并且判斷標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)符合何種分布，接著進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合，得到的擬合圖形如下列圖所示：圖2-1：視頻1通行能力正態(tài)擬合圖：同理，對(duì)視頻2所得的交通通行能力的結(jié)果進(jìn)行同樣的標(biāo)準(zhǔn)化與擬合，得到結(jié)果見(jiàn)、圖2-2：圖2-2：視頻2通行能力正態(tài)擬合圖：用EXCEL軟件統(tǒng)計(jì)兩個(gè)視頻得出的樣本容量、均值、方差，歸納如下：表2-3：t檢驗(yàn)所需統(tǒng)計(jì)量：N均值方差視頻1通行能力14328.85118.49視頻2通行能力20321.3288.71〔2〕t檢驗(yàn)=1\*GB3①做出假設(shè)：原假設(shè)：備擇假設(shè)：=2\*GB3②選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)備擇假設(shè)確定拒絕域：統(tǒng)計(jì)量：〔2-1〕拒絕域：〔2-2〕其中〔2-3〕=3\*GB3③確定顯著性水平，這里選取=4\*GB3④確定臨界值，定出拒絕域：由，結(jié)合上表給出的統(tǒng)計(jì)量值可以得出0.0013。=5\*GB3⑤根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)量值得出結(jié)果：利用SPSS求得顯著性水平取95%時(shí)，漸近顯著性(雙側(cè))的值均小于0.05，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)車(chē)輛的通行能力影響有顯著性差異又由于視頻1的交通事故發(fā)生后的通行能力均值328.85比視頻2的通行能力均值321.32大所以視頻1所處的交通事故發(fā)生橫斷面對(duì)交通通行能力的影響較小5.3問(wèn)題三5.3.1問(wèn)題分析問(wèn)題要求分析視頻1中交通事故所影響的路段車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量間的關(guān)系，根據(jù)查資料可通過(guò)流量守恒和二流理論等求解排隊(duì)長(zhǎng)度的計(jì)算公式，然后通過(guò)線性擬合回歸求解出關(guān)于輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量間的回歸方程。5.3.2模型建立與求解5.3.2.1根據(jù)二流理論計(jì)算當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度[3]首先來(lái)討論單入口單出口不可超車(chē)的單車(chē)道路段，根據(jù)流量守恒原理，可知〔3-1〕式中：為初始時(shí)刻〔即〕上、下游斷面之間的車(chē)輛數(shù)；為t時(shí)刻通過(guò)上游斷面的車(chē)輛累計(jì)數(shù)；為t時(shí)刻通過(guò)下游斷面的車(chē)輛累計(jì)數(shù)；為t時(shí)刻上、下游斷面之間的車(chē)輛數(shù)。根據(jù)二流理論(3-2)式中：為t時(shí)刻上、下游斷面之間的當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度；為上、下游斷面之間的距離；為上、下游斷面之間的交通流最正確密度；為上、下游斷面之間的交通流阻塞密度。將式〔3-2〕代入式〔3-1〕，得〔3-3〕式〔3-3〕即為基于二流理論的單車(chē)道當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型。為上、下游斷面之間的交通流阻塞密度，取為150輛/km；為上、下游斷面之間的交通流最正確密度為25輛/km；為上、下游斷面之間的距離，我們?cè)诖巳≈禐?20m；通過(guò)視頻一中采集到的數(shù)據(jù)代入式〔3-3〕中，可得每個(gè)時(shí)段車(chē)輛的排隊(duì)長(zhǎng)度如下表3.1所示：表3.1：時(shí)段初始車(chē)輛數(shù)通過(guò)上游斷面車(chē)輛通過(guò)下游斷面的車(chē)輛當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度42:32~43:321316195643:32~44:321412.519.53244:32~45:32815172445:32~46:3281517.52046:32~47:3291015847:32~48:32720.520.53248:32~49:321015192449:32~50:32該段視頻有缺失，信息不采用50:32~51:321717.521.58051:32~52:3219.523.518.517252:32~53:3226.517.518.51805.3.2.2多元線性回歸分析將每個(gè)時(shí)段的當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度，事故斷面實(shí)際通行能力，事故持續(xù)時(shí)間，上游車(chē)流量等信息做計(jì)算與統(tǒng)計(jì)并將其計(jì)入表3.2所示表3.2：各時(shí)段的當(dāng)量排隊(duì)度，事故斷面實(shí)際通行能力，持續(xù)時(shí)間，上游段流量參數(shù)時(shí)段當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度〔min〕事故橫斷面實(shí)際通行能力事故持續(xù)時(shí)間〔min〕路段上游車(chē)流量〔輛/min〕42:32~43:3256310.811643:32~44:3232333.65212.544:32~45:3224340.3231545:32~46:3220333.6541546:32~47:328340.3251047:32~48:3232333.65620.548:32~49:3224340.3271549:32~50:32該段視頻有缺失，信息不采用50:32~51:3280333.65917.551:32~52:32172333.651023.552:32~53:32180333.651117.5〔1〕理論模型建立假設(shè)因變量排隊(duì)長(zhǎng)度為y，事故橫斷面實(shí)際通行能力，能力事故持續(xù)時(shí)間，路段上游車(chē)流量為自變量，共有10組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)。是均值為零，方差為的不可觀測(cè)的隨機(jī)變量，稱為誤差項(xiàng)，我們通常假定。對(duì)于10次獨(dú)立觀測(cè)，我們得到32組獨(dú)立觀測(cè)樣本，那么有：其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且服從。令那么上式表示為：〔2〕參數(shù)的最小二乘估計(jì)與誤差方差的估計(jì)設(shè)那么為誤差平方和，表示在10次試驗(yàn)中誤差的平方和，那么越小越好，由于是未知函數(shù)非負(fù)的二次函數(shù)，因此取到達(dá)最小值時(shí)的的估計(jì)值作為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。將對(duì)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，可得：可以解出對(duì)于剩余向量，那么剩余平方和為：由于,由此可得：〔2〕多元線性回歸方程的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?1\*GB3①?gòu)?fù)相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)是測(cè)量一個(gè)變量與其他多個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)。它不能直接測(cè)算，只能采取一定的方法進(jìn)行間接測(cè)算。為了測(cè)定一個(gè)變量y與其他多個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)，可以考慮構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的線性組合，通過(guò)計(jì)算該線性組合與y之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)作為變量y與之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)。具體計(jì)算過(guò)程如下：第一步，用y對(duì)作回歸，得：第二步，計(jì)算簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)即為y與之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)。復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：之所以用R表示復(fù)相關(guān)系數(shù)，是因?yàn)镽的平方恰好就是線性回歸方程的決定系數(shù)。這種關(guān)系的簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下：在上面的式子中，分子可化為：復(fù)相關(guān)系數(shù)與簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的區(qū)別是簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1,1]，而復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[0,1]。這是因?yàn)?，在兩個(gè)變量的情況下，回歸系數(shù)有正負(fù)之分，所以在研究相關(guān)時(shí)，也有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)之分；但在多個(gè)變量時(shí)，偏回歸系數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上，其符號(hào)有正有負(fù)，不能按正負(fù)來(lái)區(qū)別，所以復(fù)相關(guān)系數(shù)也就只取正值。=2\*GB3②顯著性檢驗(yàn)是事先對(duì)總體〔隨機(jī)變量〕的參數(shù)或總體分布形式做出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷這個(gè)假設(shè)〔備那么假設(shè)〕是否合理，即判斷總體的真實(shí)情況與原假設(shè)是否有顯著性差異?；蛘哒f(shuō)，顯著性檢驗(yàn)要判斷樣本與我們對(duì)總體所做的假設(shè)之間的差異是純屬時(shí)機(jī)變異，還是由我們所做的假設(shè)與總體真實(shí)情況之間不一致所引起的。顯著性檢驗(yàn)是針對(duì)我們對(duì)總體所做的假設(shè)做檢驗(yàn)，其原理就是“小概率事件實(shí)際不可能性原理〞來(lái)接受或否認(rèn)假設(shè)。為了檢驗(yàn)自變量與因變量之間有無(wú)顯著的線性關(guān)系，我們提出原假設(shè)與備擇假設(shè)：假設(shè)成立，那么x與y之間沒(méi)有顯著的線性關(guān)系。基于方差分析，構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量：表示一個(gè)元素全為1的n階矩陣。是回歸平方和，反響線性擬合值與均值的偏差，即由變量變化引起因變量的波動(dòng)。越大，說(shuō)明因變量與自變量之間的線性關(guān)系就越顯著，其自由度是m-1。是殘差平方和，反映其他變量引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)，越大，說(shuō)明觀測(cè)值和線性擬合之間的偏差就越大,其自由度是n-m。當(dāng)為真時(shí)，可以證明，當(dāng)為假，F(xiàn)值有偏大的趨勢(shì)，因此給定顯著性水平，查F分布表的臨界值，接受,即顯著性水平下，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著；假設(shè)大于或等于，那么拒絕原假設(shè)。=3\*GB3③模型求解與檢驗(yàn)將表3.2中的排隊(duì)長(zhǎng)度為因變量，事故橫斷面實(shí)際通行能力，能力事故持續(xù)時(shí)間，路段上游車(chē)流量為自變量，用spss進(jìn)行線性回歸求解，并繪制效果圖如圖3-1所示=-3.140+15.281+1.956+989.195〔3-4〕圖4.1：多元線性回歸效果圖回歸方程方程所對(duì)應(yīng)的復(fù)相關(guān)系數(shù)、均方誤差、顯著性檢驗(yàn)F值和回歸方程的顯著程度如下表：表3.1：復(fù)相關(guān)系數(shù)均方誤差顯著性檢驗(yàn)F值回歸方程是否顯著0.8730.6646.416顯著5.3.2結(jié)果分析對(duì)于上述得到的多元線性回歸方程，我們可以看到復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.873說(shuō)明變量之間的線性相關(guān)程度越密；均方誤差RMSE反響回歸的殘差大小，數(shù)值越小表示回歸的越好。根據(jù)顯著性分析，可以看出上述多元線性回歸方程的擬合效果較好。5.4問(wèn)題四5.4.1問(wèn)題四的分析問(wèn)題四的題目中要求估算從事故發(fā)生開(kāi)始，車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度將到達(dá)上游路口所必須的時(shí)間。對(duì)題目中給出的信息，首先做出假定，令車(chē)輛長(zhǎng)度與車(chē)輛距離均為定值，由此簡(jiǎn)化問(wèn)題。建立微分方程求解得到所需時(shí)間。5.4.2模型準(zhǔn)備因?yàn)閱?wèn)題四的題目中要求交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，即要求自交通事故的橫斷面起車(chē)輛的排隊(duì)長(zhǎng)度為140米，故我們建立微分方程。假設(shè)道路上車(chē)身長(zhǎng)度為定值米，車(chē)輛之間的距離也為定值米。車(chē)道數(shù)。各車(chē)近似的看做依次進(jìn)入車(chē)道。由于進(jìn)車(chē)量是路段上游的車(chē)流量是一個(gè)定值1500pcu/h,路段下游方向需求不變，出車(chē)量是事故發(fā)生橫斷面的車(chē)流量。我們假設(shè)此次交通事故發(fā)生點(diǎn)的遷移對(duì)事故所處橫斷面車(chē)流量的影響可以忽略，且事故所處橫斷面的車(chē)流量可以近似為某一定值。根據(jù)問(wèn)題一可得各個(gè)時(shí)間段的車(chē)流量，將所有時(shí)間段的車(chē)流量相加求得平均，便可以近似的求得事故發(fā)生橫斷面的出車(chē)量為：328.855.4.3模型的建立與求解我們建立如下模型：〔4-1〕式中：為排隊(duì)長(zhǎng)度，為t時(shí)刻斷面之間的車(chē)輛數(shù)，即塞車(chē)數(shù)量，為車(chē)身長(zhǎng)度，為車(chē)距，為車(chē)道數(shù)量。阻塞車(chē)輛數(shù)=進(jìn)車(chē)量-出車(chē)量〔4-2〕〔4-2〕式中為t時(shí)刻斷面之間的車(chē)輛數(shù)，為進(jìn)車(chē)量，為出車(chē)量。設(shè)t時(shí)刻的車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度為y(t)，于是，在時(shí)間間隔為[t，t+dt]的時(shí)間內(nèi)，有：進(jìn)車(chē)量：出車(chē)量：328.85從而，車(chē)輛的排隊(duì)長(zhǎng)度為：〔4-3〕又因?yàn)轭}目中說(shuō)明事故發(fā)生時(shí)車(chē)輛初始排隊(duì)長(zhǎng)度為零，故，帶入這個(gè)條件得到車(chē)輛長(zhǎng)度隨排隊(duì)時(shí)間的變化規(guī)律：，最后帶入，可以解得：。5.4.4結(jié)果分析根據(jù)上述求解結(jié)果，從事故發(fā)生開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度將到達(dá)上游路口。結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行可行性分析，結(jié)論與實(shí)際相符合，在可以接受的合理范圍內(nèi)。六、模型評(píng)價(jià)6.1模型的評(píng)價(jià)1.模型的優(yōu)點(diǎn)：①在第一問(wèn)建立模型的過(guò)程中，首先確立根本通行能力，然后對(duì)其進(jìn)行修正，使模型更加符合實(shí)際情況；②在分析問(wèn)題及建立模型過(guò)程中，我們比擬了多種建模的方法，對(duì)我們的模型進(jìn)行逐步優(yōu)化，使我們的模型更加全面，也更符合客觀實(shí)際；③在模型求解和分析的過(guò)程中，我們運(yùn)用了多種編程軟件和繪圖工具，使我們的模型更加直觀、具體。2.模型的缺點(diǎn)：=1\*GB3①在觀察視頻做出統(tǒng)計(jì)時(shí)，由于視頻的畫(huà)質(zhì)與連續(xù)性性問(wèn)題，對(duì)于跳過(guò)的片段我們直接忽略，結(jié)果可能有一定誤差。6.2模型的進(jìn)一步討論我們模型是對(duì)交通事故所處的橫斷面的通行能力進(jìn)行討論的，但是如果時(shí)間充裕，我們會(huì)對(duì)交通事故發(fā)生路段上游的兩個(gè)岔路口和前方的十字路口處的交通狀況以及信號(hào)燈引起交通流量改變的情況作進(jìn)一步的討論。并且，根據(jù)我們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)上查到的其余算法，例如退火算法、遺傳序列算法等可以對(duì)我們的模型作進(jìn)一步的優(yōu)化。參考文獻(xiàn)[1]陳寬民，嚴(yán)寶杰，道路通行能力分析[M].北京:人民交通出版社,2003[2]王煒，過(guò)秀成.交通工程學(xué)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2023.[3]姚榮涵,王殿海,曲昭偉.基于二流理論的擁擠交通流當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,03:521-526.[4]陳靜.混合交通條件下交叉口通行能力的分析與仿真[D].西南交通大學(xué),2023.[5]盧智軍.高速公路混合車(chē)流車(chē)速及通行能力的仿真研究[D].湖南大學(xué),2023.附錄附錄一：交通量主要指標(biāo)解釋附錄二：事故所處橫斷面單位時(shí)間通行量時(shí)段12345678910時(shí)間42:32-43:3243:32-44:3244:32-45:3245:32-46:3246:32-47:3247:32-48:3248:32-49:3250:32-51:3251:32-52:3252:32-53:32車(chē)輛總數(shù)1919.51717.51520.51921.518.518.5附錄三：事故所處橫斷面單位時(shí)間大車(chē)占交通總量的百分比時(shí)段12345678910時(shí)間42:32-43:3243:32-44:3244:32-45:3245:32-46:3246:32-47:3247:32-48:3248:32-49:3250:32-51:3251:32