2023年全國高考新課標(biāo)3卷理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

高考真題高三數(shù)學(xué)第6頁共6頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)3卷理科數(shù)學(xué)考前須知：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．答復(fù)選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，答復(fù)非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，那么A∩B=()A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}解析：選C2．(1+i)(2-i)=()A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i解析：選D3．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出局部叫棒頭，凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭．假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，那么咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：選A4．假設(shè)sinα=eq\f(1,3)，那么cos2α=()A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9) C．-eq\f(7,9) D．-eq\f(8,9)解析：選Bcos2α=1-2sin2α=1-eq\f(1,9)=eq\f(8,9)5．(x2+eq\f(2,x))5的展開式中x4的系數(shù)為()A．10 B．20 C．40 D．80解析：選C展開式通項為Tr+1=C5rx10-2r(eq\f(2,x))r=C5r2rx10-3r，r=2,T3=C5222x4，應(yīng)選C6．直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點，點P在圓(x-2)2+y2=2上，那么ΔABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8] C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]解析：選A，線心距d=2eq\r(2),P到直線的最大距離為3eq\r(2)，最小距離為eq\r(2)，|AB|=2eq\r(2),Smin=2,Smax=67．函數(shù)y=-x4+x2+2的圖像大致為()解析：選D原函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)t=x2，t≥0，f(t)=-t2+t+2,應(yīng)選D8．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4，P(X=4)<P(X=6)，那么p=()A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3解析：選BX～B(10,p),DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6，p=0.4時，p(X=4)=C104(0.4)4(0.6)6>P(X=6)=C106(0.4)6(0.6)4，不合。9．ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)ΔABC的面積為eq\f(a2+b2-c2,4)，那么C=()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)解析：選Ca2+b2-c2=2abcosC,S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(a2+b2-c2,4)=eq\f(1,2)abcosCtanC=110．設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ΔABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，那么三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3) C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)解析：選B，ΔABC的邊長為a=6,ΔABC的高為3eq\r(3)，球心O到ΔABC的距離=eq\r(42-(2eq\r(3))2)=2,當(dāng)D到ΔABC的距離為R+2=6時，D-ABC體積的最大，最大值=eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6=18eq\r(3)11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P．假設(shè)|PF1|=eq\r(6)|OP|，那么C的離心率為()A．eq\r(5) B．2 C．eq\r(3) D．eq\r(2)解析：選C設(shè)P(t,-eq\f(b,a)t),∵PF2與y=-eq\f(b,a)x垂直，∴eq\f(-bt,a(t-c))=eq\f(a,b)解得t=eq\f(a2,c)即P(eq\f(a2,c),-eq\f(ab,c))∴|OP|=eq\r((\f(a2,c))2+(-\f(ab,c))2)=a，|PF1|=eq\r((\f(a2,c)+c)2+(-\f(ab,c))2)，依題有(eq\f(a2,c)+c)2+(-eq\f(ab,c))2=6a2，化簡得c2=3a2，應(yīng)選C12．設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，那么()A．a(chǎn)+b<ab<0 B．a(chǎn)b<a+b<0C．a(chǎn)+b<0<ab D．a(chǎn)b<0<a+b解析：選B0<a<1，b<-1,a+b<0，ab<0，0<eq\f(a+b,ab)=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1+log20.2,log20.3)=eq\f(log22+log20.2,log20.3)=eq\f(log20.4,log20.3)<1,a+b>ab二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．假設(shè)c//(2a+b)，那么λ=________．解析：2a+b=(4,2),c//(2a+b)那么4λ=2，λ=eq\f(1,2)14．曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2，那么a=________．解析：f′(x)=(ax+a+1)ex，f′(0)=a+1=-2,a=-315．函數(shù)f(x)=cos(3x+eq\f(π,6))在[0,π]的零點個數(shù)為________．解析：由3x+eq\f(π,6)=kπ+eq\f(π,2)得x=eq\f(kπ,3)+eq\f(π,9),k∈Z，eq\f(π,9)，eq\f(4π,9)，eq\f(7π,9)為[0,π]的零點16．點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點．假設(shè)∠AMB=900，那么k=________．解析：k=2三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17．〔12分〕等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕記Sn為{an}的前n項和．假設(shè)Sm=63，求m．解：〔1〕設(shè){an}的公比為q，由得q4=4q2，解得q=0〔舍去〕，q=-2或q=2．故an=(-2)n-1或an=2n-1．〔2〕假設(shè)an=(-2)n-1，那么Sm=eq\f(1-(-2)m,3)．由Sm=63得(-2)m=-188，此方程沒有正整數(shù)解．假設(shè)an=2n-1，那么Sm=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．綜上，m=6．18．〔12分〕某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比擬兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間〔單位：min〕繪制了如下莖葉圖：〔1〕根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；〔2〕求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式〔3〕根據(jù)〔2〕中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d))，臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：〔1〕第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：〔i〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔ii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73．5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iv〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．※以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．〔2〕由莖葉圖知m=eq\f(79+81,2)=80．列聯(lián)表如下：超過80不超過80第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515〔3〕由于K2=eq\f(40(15×15-5×5)2,20×20×20×20)=10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．19．〔12分〕如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up6(?))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up6(?))上異于C，D的點．〔1〕證明：平面AMD⊥平面BMC；〔2〕當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．19．解：〔1〕由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因為M為eq\o\ac(CD,\s\up6(?))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．〔2〕以D為坐標(biāo)原點，eq\o(DA,\s\up5(→))的方向為x軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D?xyz．當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，M為eq\o\ac(CD,\s\up6(?))的中點．由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),eq\o(AM,\s\up5(→))=(-2,1,1)，eq\o(AB,\s\up5(→))=(0,2,0)，eq\o(DA,\s\up5(→))=(2,0,0)設(shè)n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，那么eq\b\lc\{(\a\al\co2(-2x+y+z=0,,2y=0,))可取n=(1,0,2)．eq\o(DA,\s\up5(→))是平面MCD的法向量，因此cos<n,eq\o(DA,\s\up5(→))>=eq\f(\r(5),5)，sin<n,eq\o(DA,\s\up5(→))>=eq\f(2\r(5),5)所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是eq\f(2\r(5),5)．20．〔12分〕斜率為k的直線l與橢圓C:eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點．線段AB的中點為M(1,m)(m>0)．〔1〕證明：k<-eq\f(1,2)；〔2〕設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且eq\o(FP,\s\up5(→))+eq\o(FA,\s\up5(→))+eq\o(FB,\s\up5(→))=0．證明：|eq\o(FA,\s\up5(→))|,|eq\o(FP,\s\up5(→))|,|eq\o(FB,\s\up5(→))|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．解：〔1〕設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么eq\f(x12,4)＋eq\f(y12,3)＝1，eq\f(x22,4)＋eq\f(y22,3)＝1．兩式相減，并由k=eq\f(y1-y2,x1-x2)得eq\f(x1+x2,4)+eq\f(y1+y2,3)k=0由題設(shè)知eq\f(x1+x2,2)=1，eq\f(y1+y2,2)=m，于是k=-eq\f(3,4m)．①由題設(shè)得0<m<eq\f(3,2)，故k<-eq\f(1,2)．〔2〕由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3,y3)，那么(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)由〔1〕及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m<0．又點P在C上，所以m=eq\f(3,4)，從而P(1,-eq\f(3,2))，|eq\o(FP,\s\up5(→))|=eq\f(3,2)．于是|eq\o(FA,\s\up5(→))|=eq\r((x1-1)2+y12)=eq\r((x1-1)2+3(1-\f(x12,4)))=2-eq\f(x1,2)同理|eq\o(FB,\s\up5(→))|=2-eq\f(x2,2)．所以|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|=3．故2|eq\o(FP,\s\up5(→))|=|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|，即|eq\o(FA,\s\up5(→))|,|eq\o(FP,\s\up5(→))|,|eq\o(FB,\s\up5(→))|成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為d，那么2|d|=eq\f(1,2)|x1-x2|=eq\f(1,2)eq\r((x1+x2)2-4x1x2)②將m=eq\f(3,4)代入①得k=-1．所以l的方程為y=-x+eq\f(7,4)，代入C的方程，并整理得7x2-14x+eq\f(1,4)=0．故x1+x2=2,x1x2=eq\f(1,28)，代入②解得|d|=eq\f(3\r(21),28)．所以該數(shù)列的公差為eq\f(3\r(21),28)或-eq\f(3\r(21),28)．21．〔12分〕函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．〔1〕假設(shè)a=0，證明：當(dāng)-1<x<0時，f(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)>0；〔2〕假設(shè)x=0是f(x)的極大值點，求a．解：〔1〕當(dāng)a=0時，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，f′(x)=ln(1+x)-eq\f(x,1+x)．設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)=ln(1+x)-eq\f(x,1+x)，那么g′(x)=eq\f(x,(1+x)2)．當(dāng)-1<x<0時，g′(x)<0；當(dāng)x>0時，g′(x)>0．故當(dāng)x>-1時，g(x)≥g(0)=0，且僅當(dāng)x=0時，g(x)=0，從而f′(x)≥0，且僅當(dāng)x=0時，f′(x)=0．所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增．又f(0)=0，故當(dāng)-1<x<0時，f(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)>0．〔2〕〔i〕假設(shè)a≥0，由(1)知，當(dāng)x>0時，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，與x=0是f(x)的極大值點矛盾．〔ii〕假設(shè)a<0，設(shè)函數(shù)h(x)=eq\f(f(x),2+x+ax2)=ln(1+x)-eq\f(2x,2+x+ax2)由于當(dāng)|x|<min{1,eq\r(\f(1,|a|))}時，2+x+ax2>0，故h(x)與f(x)符號相同．又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點．h′(x)=eq\f(1,1+x)-eq\f(2(2+x+ax2)-2x(1+2ax),(2+x+ax2)2)=eq\f(x2(a2x2+4ax+6a+1),(x+1)(2+x+ax2)2)如果6a+1>0，那么當(dāng)0<x<-eq\f(6a+1,4a)，且|x|<min{1,eq\r(\f(1,|a|))}時，h′(x)>0，故x=0不是h(x)的極大值點．如果6a+1<0，那么a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當(dāng)x∈(x1,0)，且|x|<min{1,eq\r(\f(1,|a|))}時，h′(x)<0，所以x=0不是h(x)的極大值點．如果6a+1=0，那么h′(x)=eq\f(x3(x-24),(x+1)(-12-6x+x2)2)．那么當(dāng)x∈(-1,0)時，h′(x)>0；當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)<0．所以x=0是h(x)的極大值點，從而x=0是f(x)的極大值點綜上，a=-eq\f(1,6)．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=cosθ,y=sinθ))〔θ為參數(shù)〕，過點(0,-eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點．〔1〕求α的取值范圍；〔2〕求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．解：〔1〕⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1．當(dāng)α=eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當(dāng)α=eq\f(π,2)時，記tanα=k，那么l的方程為y=kx-eq\