題目奶牛場建設(shè)問題模型

2005年同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽第33組試題解答奶牛場承包規(guī)劃問題姓名：學(xué)號(hào)：傅錦霞 023071李婧 020189010181宋文迪010181奶牛場承包規(guī)劃問題摘要本文建立了一個(gè)關(guān)于養(yǎng)牛場承包問題的簡化模型。在詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上，通過合理假設(shè)、適當(dāng)?shù)墓潭承┳兞浚ㄈ缳J款額），這樣在一定程度上簡化建立模型，并運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法對養(yǎng)牛場的相關(guān)決策問題進(jìn)行分析，本著利益最大化原則，利用逆推法，并借助Matlab軟件解決了較復(fù)雜的計(jì)算，方便的確定出每年底應(yīng)保留的小母牛數(shù)，并在此基礎(chǔ)上確定貸款額的最佳值，實(shí)現(xiàn)了最大收益的目標(biāo)。經(jīng)計(jì)算分析可基本得出結(jié)論：承包人要采用適當(dāng)?shù)慕?jīng)營策略可以實(shí)現(xiàn)盈利。當(dāng)承包人第一年底保留的小牛數(shù)為24.45頭，第二年底保留的小牛數(shù)為13.97頭，承包人五年的總收益最大61.2萬元。關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)規(guī)劃最大利潤最優(yōu)決策逆推法奶牛場承包規(guī)劃問題1.問題重述某公司計(jì)劃承包一奶牛場，經(jīng)營期為5年，任何投資將從五年期貸款中獲得，貸款年利率為12%，每年歸還本息總共的1/5，除此還要于每年年底支付6萬元土地承租費(fèi)用。初期要承包原有的120頭牛，分別為從0~11歲各10頭。不到2歲為幼牛，不產(chǎn)奶也不生仔；其余為產(chǎn)奶牛，平均每年產(chǎn)奶收益為3700元/頭，平均每頭每年產(chǎn)仔1.1頭，新生牛中公、母各半，產(chǎn)后不久小公牛全賣掉（300元/頭），小母?？少u掉（400元/頭），也可養(yǎng)成產(chǎn)奶牛;當(dāng)產(chǎn)奶牛養(yǎng)到12歲就賣掉，平均每頭賣出價(jià)為1200元。所養(yǎng)牛每年還有一定的損失，所用飼料是糧食和甜菜（可以由農(nóng)場種植，也可從市場購買，多余還可以賣掉），有關(guān)數(shù)據(jù)見表1和表2。另外，要雇傭工人來維持農(nóng)場運(yùn)轉(zhuǎn)，勞動(dòng)力成本為10元/小時(shí)?？紤]農(nóng)場現(xiàn)有狀況，如果牛的總數(shù)超過130，每增加一頭就要增加2000元投入。到承包期滿，所有牛按原來的承包價(jià)折價(jià)賣出，而且場主不希望第五年末產(chǎn)奶牛的數(shù)量增加超過原來的75%，也不希望減少超過原來的50%。2.變量說明XJ： 第k年初各年齡段（每隔1歲一個(gè)階段，共12段）牛的數(shù)量分布向量Ck1： 當(dāng)糧食或甜菜多于牛的需求量時(shí)，通過售出得到的收益。k1Ck2: 第k年所用掉的飼料費(fèi)。k2Ck3: 第k年用于支付多余130頭的那部分牛的額外總投入。k3A12*12：有關(guān)牛數(shù)量的變化矩陣12*12Sk： 第k年初小牛的數(shù)量kLk： 第k年初奶牛的數(shù)量kQ： 初始貸款額q： 每年需還貸款額Mk: 每年賣出的12歲牛的數(shù)量kuk: 第k年留下的小母牛的數(shù)量（決策變量）kUkT： 由u所決定的決策向量（UkT=（Uk, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0））k k k krk： 第k年的凈收益kR： 5年總的凈收益值a： 幼牛的折價(jià)系數(shù)b： 產(chǎn)奶牛的折價(jià)系數(shù)3.假設(shè)1．所有的土地都可以用于農(nóng)作物（糧食和甜菜）種植,養(yǎng)牛棚及相關(guān)設(shè)施的面積忽略。2．所有工人的工資都在年底支付,養(yǎng)牛和種植等其它費(fèi)用在年初即要支付。3．假設(shè)奶牛的損失都發(fā)生在年末,產(chǎn)仔量由年初的產(chǎn)奶牛數(shù)目計(jì)算；且認(rèn)為牛的損失是在各個(gè)年齡段均勻分布的。相鄰兩年齡組的牛群在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)變化的，即第k年底第i年齡組的牛在第k+1年初進(jìn)入第i+1年齡組（在此之前12歲的牛已于第k年賣掉）。第k年留下的小母牛在第k+1年初全數(shù)進(jìn)入0歲年齡組。每年新生的小牛不計(jì)費(fèi)用和損失。假設(shè)市場銷路良好,五年后所有需賣出的牛都可全數(shù)以理想價(jià)格賣出,最后產(chǎn)奶牛的折價(jià)系數(shù)為0.95。用于多于130的新增牛的2000元投入為一次性的。假定第k年的收入可用于第k+1年初的投入。由于死亡率是一種概率性的計(jì)算,所以假設(shè)在計(jì)算過程中可以對于牛數(shù)量保留小數(shù)問題分析由上述農(nóng)場的狀況（不考慮自然因素等影響）,試分析承包人有無盈利的可能性。若有,怎樣安排5年的計(jì)劃才能使5年的凈收益達(dá)到最大值？并進(jìn)一步討論：若銀行利率波動(dòng),還款方式改變,氣候原因等外因變化引起的農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量與價(jià)格的變化及勞動(dòng)力市場價(jià)格的變動(dòng)等會(huì)對原來制定的五年計(jì)劃及收益產(chǎn)生怎樣的影響。表1糧食甜菜自種年產(chǎn)量（噸/畝）0.91.5所需勞動(dòng)量（時(shí)/畝）2030購入價(jià)格（元/噸）900700售出價(jià)格（元/噸）750500其它年消費(fèi)（元/噸）150100表2幼牛產(chǎn)奶牛承包價(jià)（元/頭）4004000每年所需勞動(dòng)量（小時(shí)/頭）1042每年吃糧食（噸/頭）0.40.6每年吃甜菜（噸/頭）0.7*2/30.7年損失5%2%其它年消費(fèi)（元/頭）5001000建立模型（1）關(guān)于銀行貸款銀行貸款的還款方式選擇為等額還款，計(jì)算公式如下：年利率x（1+年利率）還款總期數(shù)每年還款額=貸款金額X—[（1＋年利率）還款總期數(shù)－1]當(dāng)年利率為12％，還款期數(shù)為5年，則可計(jì)算出每年的還款額：q=Qx0.12x1.125/（1.125-1）=0.277Q由于銀行貸款利率較高，為減少投資成本及利息的支付，在該模型中先考慮貸款額Q可以滿足奶牛場5年的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，建模后期可以再對Q進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)在現(xiàn)有的年利率和還款方式下達(dá)到5年總收益最大，若出現(xiàn)投資不足造成模型不符合實(shí)際或貸款太多導(dǎo)致利潤下降，可以在考慮對模型的修改。（2）土地利用分析：表3種植量（畝）價(jià)格（元）每噸費(fèi)用（兀）售出凈利潤（元）購入售出甜菜f’=200-f2S11=700S12=500(100+30X10)/1.5=267233糧食f2W80?S21=900S”=75022(150+20X10)/0.9=389361由上表發(fā)現(xiàn)：每畝土地?zé)o論生產(chǎn)甜菜或糧食，其費(fèi)用都小于售出價(jià)格，且購入價(jià)格高于售出價(jià)格，所以考慮將所有的土地都投入種植。分析已知條件可知，各年齡段的牛對于甜菜和糧食的需求比例都是7:6，而按土地種植面積計(jì)算的可供給的甜菜與糧食比例大于7:6，且通過表中數(shù)值比較可知，糧食的售出利潤高于甜菜，所以80畝全部種糧食，這樣種甜菜的面積也固定下來，為120畝。這樣就將土地的分配首先確定下來。（3）有關(guān)牛的分析：由已知，牛以1歲的年齡差分為12段，由于生長、損失和出生每年每年齡段的奶牛數(shù)發(fā)生變化。而對于奶牛場，每年的經(jīng)濟(jì)來源主要有：產(chǎn)奶牛的產(chǎn)奶、生仔、12歲牛的賣出以及農(nóng)作物有剩余時(shí)的售出。每年的支出主要有：養(yǎng)牛費(fèi)用（包括人工費(fèi)、飼料費(fèi)及其它）、種菜費(fèi)用和固定費(fèi)用（地租費(fèi)和還款額）。而牛的數(shù)目與分布成為進(jìn)行生產(chǎn)計(jì)劃的關(guān)鍵，因此有必要先建立一個(gè)有關(guān)牛的數(shù)量及分布的模型。

我們這里采用一個(gè)12維向量XkT的形式表達(dá)：kXkT=(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11)T上式中x下標(biāo)代表牛的年齡，對應(yīng)x為屬于該年齡牛的數(shù)量。對于每年牛的變化用一個(gè)變化矩陣A12*12表示：12*12A12*12=A12*12=00.950???000.95???0000.9800000、0.98這樣第k年底牛的狀態(tài)由年初的XkT變?yōu)閄kTA12*12，再經(jīng)過決定留有多少小母牛uk，就確定了第k+1年初牛的分布向量Xk+1T，為了方便，再引入由uk所確定的向量UkT=(比，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0)，為方便下面的數(shù)學(xué)建模。這樣，牛的表示模型確立下來，其它因素變化也就跟牛的數(shù)量聯(lián)系起來，我們就可以考慮本文的模型目標(biāo)了，即如何安排五年生產(chǎn)計(jì)劃，從而達(dá)到總收益最大。利潤分析：經(jīng)分析，每年的幼牛沒有任何產(chǎn)出，對于新增的(上年計(jì)劃留下的小母牛)幼牛，必須經(jīng)過兩年的飼養(yǎng)才能長成產(chǎn)奶牛，獲得收益。如何減少飼養(yǎng)幼牛的成本、以及一批幼牛在整個(gè)的承包期內(nèi)可以在產(chǎn)奶牛群中停留幾年，這些因素將會(huì)大大影響到總收益值。所以可以初步這樣確定：對于1、2、3、4年所留的小母牛數(shù)是依次遞減的。仔細(xì)分析，第3、4年末出生的小母牛到第五年末仍為小母牛，且抵賣價(jià)格低于飼養(yǎng)費(fèi)用，所以會(huì)產(chǎn)生負(fù)收入，應(yīng)決定全數(shù)賣出，即令u3、u4為0,這樣第5年幼牛數(shù)為0,顯然u5也為0，那么需要進(jìn)行決策的問題就簡化成為確定u1、u2。1 2。模型確立因?yàn)轲B(yǎng)牛場規(guī)劃問題是要對每年進(jìn)行規(guī)劃，以實(shí)現(xiàn)5年總收益最大，是一個(gè)明顯的分階段決策問題，所以我們用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的模型進(jìn)行求解。本題經(jīng)營周期為5年，第k年的牛群組成狀態(tài)可以用XkT表示。并且有牛的分布在第一k年初為XT=(10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10)T,第六年初為XT=(0,0,0,0,0,0，160,0,0,0,0,0)T,于是問題時(shí)始末端固定的問題。第k年底牛的狀態(tài)由XkT變?yōu)閄kTA12*12，再經(jīng)過決策變量uk就可以確定第k+1年初的牛群狀態(tài)為Xk+1T=XkTA12*12+ukT，該式即為動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(滿足無后效應(yīng))對應(yīng)第k年的凈收益為rk(XkT，uk)，先看每年的固定收益為：3700Lk+300x1.1Sk/2+400x(1.1Lk/2-uk)k k kk固定消費(fèi)為：60000+Qk+600Sk+1420Lk+1200Mk[Mk=12000*(0.98)k]不確定量分別為：c1k、C2k和C3k1k2k3k因?yàn)閏1k、c2k與牛的數(shù)量和農(nóng)作物有關(guān)，所以結(jié)合表2中牛對兩種不同作物的需求量1k2k和“土地利用分析”一節(jié)進(jìn)行綜合考慮，因?yàn)橛着Ｏ霓r(nóng)作物量為產(chǎn)奶牛的2/3，所以可以等效為有(2/3Sk+Lk)頭產(chǎn)奶牛，經(jīng)過分析可以得出以下3種可能：當(dāng)(2/3Sk+Lk)*0.6W72時(shí)，糧食和甜菜都能自給自足，并且會(huì)有剩余：c1k=[72-0.6*(2/3Sk+Lk)]*361+[180-0.7*(2/3Sk+Lk)]*2331k kk kkc=0.6*(2/3S+L)*389+0.7*(2/3S+L)*2672k kk kk當(dāng)72＜⑵3Sk+Lk)W180時(shí)，糧食不夠，甜菜剩余：kkC1k=[180-0.7*(2/3Sk+Lk)]*2331kkkC2k=72*389+[0.6*(2/3Sk+Lk)-72]*900+0.7*(2/3Sk+Lk)*2672kkkkk3.當(dāng)(2/3Sk+Lk)2180時(shí)，糧食和甜菜都不夠：C1k=0C2k=[0.6*(2/3Sk+Lk)-72]*900+72*389+[0.7*(2/3Sk+Lk)-180]*700+180*2672k kk kk另外，對于C3k，因?yàn)樾略龅呐Ｖ粊碓从诋?dāng)年的x°(即上一年的比),所以分析得出C3k也有3種可能表達(dá)：當(dāng)S+LW130時(shí)：C1=0kk 3k當(dāng)Sk+Lk-xOW13O時(shí)，x0中有一部分多余：C3k=(Sk+Lk-130)當(dāng)Sk+L’xO213O時(shí)，原有數(shù)已經(jīng)大于130,所以：C31=x*2000kk- 3k0綜上分析，rk(XJ,uk)表達(dá)式可寫為：rk(XkT，%)=2665Lk-600Sk-400Uk-60000-Qk+1200Mr+Cik-C2k-C3k需要作出修正的是，第1年年初那部分投入全部來源于銀行貸款，應(yīng)該不算入支出(包括承包牛的費(fèi)用、養(yǎng)牛與種菜的其它費(fèi)用)；第五年還有賣掉所生牛的一筆收益為400a*L*0.95+4000b*0.98。k可見問題的復(fù)雜性在于Ck1、Ck2、Ck3的表達(dá)形式要由第k年的具體狀況決定。所求目標(biāo)函數(shù)為：R=丈rKK=1其含義為5年收益總和，我們就是要找出最大值，以及最大值在什么樣的計(jì)劃下出現(xiàn)。模型求解該模型為動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，應(yīng)用最優(yōu)化原理，當(dāng)?shù)趉年的狀態(tài)已經(jīng)確定后，最優(yōu)決策不受以前的控制，即前面的決策無后效應(yīng)，這樣我們可以通過逆推法求得最優(yōu)規(guī)劃方案。分析上述建立的模型，描述牛的數(shù)量及分布的向量XkT即為第k階段的狀態(tài)量，Uk為該階段的決策變量，因此凈收益函數(shù)rk即受這兩個(gè)變量控制。k設(shè)fk(XkT)為在第k年的初始條件為XkT時(shí)，按最優(yōu)計(jì)劃得到的到承包結(jié)束的總凈收益[max(rk+rk廣…+叩，所以該題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程為：fk(XkT)=max{r(XkT,Uk)+fk+1(Xk+1T)}

rk(XkT,Uk)=2665Lk-600Sk-400Uk-60000-q+1200Mk+(C1k-C2k-C3k)(第1、5年例外)1、第五年的推算：f(X)=max{r(XT)+f(XT)}5 5 5 5 6 6???第五初將牛全部賣出，所以認(rèn)為第六年不繼續(xù)經(jīng)營，也就是f(X6T)=066.??f5(X5T)=max{r5(XJ)}=max(2665L5-600S5-400u5-60000-q+C51-C52-C53+1200Mk5 5 5 5 5 5 5 51 52 53 k400aXS+4000bXLX0.98)

55此時(shí)只與變量u5相關(guān)，但其前系數(shù)為負(fù)，所以可以直接推出第5年所留小母牛數(shù)u5=0，這也是符合實(shí)際情況的，同理可以得到u4=0，u3=0，此時(shí)我們已基本可以知道承包5年中牛的大體分布情況，如下表表4第k年初牛的分布狀況:第k年0歲1歲2-11歲110101002u19.597.73u20.95u195.2400.95u283.85+0.9025u15000.9025u+0.8845u+72.95所以對應(yīng)第5年時(shí)，S5=0,C53=0按照模型中關(guān)于r』勺計(jì)算公式得r:(下面計(jì)算中為方便起見，L.S,多用u和u表示)k 5 kk 1 2當(dāng)L<120,即0.9025u+0.8845uW47.05,f5(X5T)=1865L-60000-q+1200M+4000b*L5*0.98若120WL<175,即47.05W0.9025u+0.8845u<102.5,5 2 1f(5)=1775L-60000-q+1200M+4000b*L5*0.98552、 第四年推算:f(XT)=max[r(XT)+f(XT)]TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 4 5 5=max[1865L-1133.3S-400u+1200M-60000-q+C-C-C+f(XT)]4 4 4 4 41 42 43 5 5情況與第五年類似,也可確定u4=0現(xiàn)討論(2/3S+L)不同取值范圍時(shí)的C41、C42、C43:4 4 41 42 43由于沒有新增小母牛的加入,所以C43=083.83<(2/3S+L)<120C41-C42=67932-800*(2S4+3L4)/3r(X4T)=2665L4-600S4+1200M-60000-q+67932-800*(2S4+3L4)/3120<(2/3S+L)<150.5C41-C42=78732-890*(2S4+3L4)/3r(X4T)=2665L4-600S4+1200M-60000-q+78732-890*(2S4+3L4)/3???i.(4) r(XT)=1865L-1133.3S+1200M+7932-q4 4 4 4 4ii.(4)r(X4T)=1775L4-1193.3S4+1200M+18732-q修正i.(5)f5(X5T)=1771.75S4+1827.7L4+1200M+4000b*L5*0.98-77158-qii.(5)f5(X5T)=1686.25S4+1739.5L4+1200M+4000b*L5*0.98-76330-q由此可以推出f4(X4T)有四種決策的可能： 5i.(4)~i.(5) f4(X4T)=3692.7L4+638.45S4-69226-2q+1200M+4000b*L5*0.98+1200M(4)~ii.(5) f4(X4T)=3604.5L4+552.95S4-68398-2q+1200M+4000b*L5*0.98+1200M(4)~i.(5)f4(X4T)=3602.7L4+578.45S4-58426-2q+1200M+4000b*L5*0.98+1200Mii.(4)~ii.(5)f4(X4T)=3514.5L4+492.95S4-57598-2q+1200M+4000b*L5*0.98+1200M3、 第三年推算:f (XT)=max[r(XT)+f(XT)]3 3 3 3 4 4同上述兩年推算可類推出第三年的留取小母牛的數(shù)量u3=0.max[r(X3T)]=(1865L3-1133.3S3-400u3+1200M-60000-q+C41-C42-C43)3 3 3 3 3 3 41 42 43現(xiàn)在討論C/C42、C4395.17<(2/3S+L)<120 C41-C42=67932-800*(2S3+3L3)/3120<(2/3S+L)<497.4 C41-C42=78732-890*(2S3+3L3)/3因?yàn)榱粲行略鲂∧概2,所以應(yīng)討論C43的情況：當(dāng)0.95U]+L3>130且U]>36.7時(shí)，C43=2000u2當(dāng)0<u<36.7且u+0.95u+L>130時(shí)， C”,=2000*(u+0.95u+L-130)2 1 3 43 2 1 3當(dāng)u+0.95u+L<130時(shí)，Co=02 1 3 43由于u以36.7為分界點(diǎn)，進(jìn)一步討論OWu+0.95uW88.565 0W2S+3LW462.6312 1 3 3所以仍需劃分區(qū)間.由此可知道,r3(X3T)有6種組合，但經(jīng)過對個(gè)別區(qū)間的進(jìn)一步討論比較可以對某些區(qū)間進(jìn)行合并，從而可簡化為3段，分別為:當(dāng)u三36.7且OWuW105.9-0.95u時(shí)，121r(XT)=187653.5-1133.3u+1193.3u-q+1200MTOC\o"1-5"\h\z3 3 1 2 3當(dāng)OWu<36.7且OWuW37.2-0.95u時(shí)，121r(XT)=185418.5-1077.0u+1133.3u-q+1200M3 3 1 2 3當(dāng)0<u<36.7且37.2-0.95u<u<105.9-0.95u時(shí)，1121r(XT)=257319.4-3033.6u-3193.3u-q+1200M3 1 2 34、 第二年推算:r(XT)=1865L-1133.3S-400u-60000-q+C-C-C+1200M2 2 2 2 2 21 22 23 2104.0<(2/3S+L)<120 C-C=67932-890*(2/3S+L)/34 4 21 22 4 4120<(2/3S+L)<140.7 C-C=78732-890*(2/3S+L)/34 21 22 4 40<u<22.8 C=01322.8<u<55 C=2000u+22803 1由于不同區(qū)間存在，r2(X2t)的有三種表達(dá)形式：0<u<24.5 r(XT)=1865L-1133.3S+7932-400u+1200M122221224.5<u<55r(XT)=267932-135L-400u-q+1200M1222125、 第一年的推算：f(XT)=max[r(XT)+f(XT)];111122r(XT)=2665L-600S-60000-q-400u+(C-C+C)+1200M+TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 11 12 13 1(1000L+500S]+150*80+100*120)(此為修正部分)因?yàn)長=100S=20C=01 1 13C-C=67932-800/3=-22734.712r(X1T)=305763-400u-q+1200M以上5個(gè)過程便是使用逆推法對五年中計(jì)劃安排的大致推算，發(fā)現(xiàn)第4、5年較簡單，第2、3年時(shí)候變得較復(fù)雜，第1年由于初始狀態(tài)是確定的，所以-(XJ)計(jì)算也不難，現(xiàn)在對以上計(jì)劃個(gè)過程再進(jìn)一步簡化如下(式中僅出現(xiàn)u「u2兩個(gè)變量)：第一年凈收益為：r1=305763-400u1-q+1200M 0<u1<55第二年凈收益為：Q0WU]W24.45時(shí)r2=179376-1133.3U]-400u2-q+1200M2Q24.45WU]W55時(shí)r2=226413-3193.3u1-400u2-q+1200M2第三年凈收益為：Qu236.7且0W0.95u+u<105.9112r=187653.4-1133.6u-1193.3u-q+1200MTOC\o"1-5"\h\z1 2 3Q20<u<36.7且0<0.95u+u<37.2112r=185418.5-1077u-1133.3u-q+1200M1 2 3Q30<u<36.7且37.2<0.95u+u3112r=257319.4-3033.6u-3193.3u-q+1200M3 1 2 3第四年底和第五年底的最大總凈收益之和為：Q10<2.7075u+1.9u<108.6且0<0.8845u+0.9025u<47.051212f=r+r=510226.3+6626.5u+3917.4u-2q+1200M+1200M+4000bXLX0.984 5 1 2 4 5 5Q20<2.7075u+1.9u<108.6且47.05<0.8845u+0.9025u1212f=r+r=503702.8+6546.9u+3886.9u-2q+1200M+1200M+4000bXLX0.984 5 1 2 4 5 5Q108.6W2.7075u+1.9uW200且0W0.8845u+0.9025uW47.0531212f=r+r=241859+3251.4u+549.5u-2q+1200M+1200M+4000bXLX0.984 4 5 1 2 4 5 5Q108.6W2.7075u+1.9u<200且47.05W0.8845u+0.9025u41212f=r+r=235335.6+3171.8u+468.3u-2q+1200M+1200M+4000bXLX0.984 4 5 1 2 4 5 5模型求解至此為止，要找到最優(yōu)化狀態(tài)下的片、u2，我們采用Matlab軟件進(jìn)行求解，主要的求解的思想就是劃分區(qū)域，分別優(yōu)化。因?yàn)榕５娘暳瞎?yīng)與牛的數(shù)量直接相關(guān)，而飼料的來源依靠自己種植和市場購進(jìn)，另外還有銷售問題，以及多出130頭牛的新增建設(shè)問題，所以以上限制條件將牛的分布分成不同的區(qū)域，為了方便求解，我們首先利用所有的限制條件編寫程序（程序1）繪制牛的數(shù)量分布圖（圖1）。將牛的分布劃分成小區(qū)域后，在某小一區(qū)域中對利潤的求解公式就確定唯一了，再經(jīng)過簡化處理，問題已經(jīng)成為在線形區(qū)域中求最優(yōu)值，利用matlab中的linprog優(yōu)化函數(shù)，編制決策優(yōu)化求解函數(shù)（程序2），求出最優(yōu)組合，其間有一些不合理的結(jié)果，經(jīng)過人工修正，也可以進(jìn)行進(jìn)一步的分析，最終確定各區(qū)域的優(yōu)化組合。（相關(guān)程序見附錄）由程序得到的相關(guān)數(shù)據(jù)見表5，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了幾對最優(yōu)值，但基于我們的模型是在最初貸款額滿足5年都能正常運(yùn)行的假定下建立的，而表5的數(shù)據(jù)利潤表格一欄的數(shù)字不能真正說明在所有的最優(yōu)值中它就是最佳的。經(jīng)過分析，得出u=24.45、u=13.97是較合理的數(shù)據(jù)，將這一數(shù)據(jù)帶入表4種就可以得到5年里牛的具體數(shù)值如下：第k年0歲1歲2-11歲11010100224.459.597.7313.9723.295.24013.3106500107.2在此情況下，得出如下結(jié)論：根據(jù)假設(shè)，從承包開始要使奶牛場正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需貸款額為542000,經(jīng)過每年的投資額計(jì)算,可以保證奶牛場5年的正常運(yùn)轉(zhuǎn),所以利用表5種數(shù)據(jù)可得到5年的總凈收益為:136.23*10000-542000*0.277*5=611630（元）下面再看一下另外一組數(shù)據(jù)的情況：片=36.7u2=16.16同樣得到5年里牛的具體數(shù)值如下：第k年0歲1歲2-11歲11010100236.79.597.7316.1634.8795.24015.35117500120在此情況下得到如下結(jié)論：因?yàn)樵诘?年留下了較多的小母牛，使該年利潤減少，下年的投入增加，并且導(dǎo)致在第2、3年出現(xiàn)了嚴(yán)重的資金不足，這樣只能通過增加貸款來保證農(nóng)場運(yùn)轉(zhuǎn)，計(jì)算得出要貸款75萬左右，這樣在結(jié)合表5種利潤數(shù)據(jù)就可以得到此情況下5年的總凈收益：139.49*10000-750000*0.277*5=356150（元）比較以上兩種情況，可以說我們可以確定在5年承包期下最優(yōu)規(guī)劃如下：貸款額：542000元；第1年留下24.45頭小母牛、第2年留13.97頭、其余3年不留，這樣可實(shí)現(xiàn)5年最大總收益為61.2萬元。表5各區(qū)域最優(yōu)值u1u2利潤（不計(jì)借款本息）124.4513.97136.23224.4513.97135.36324.4513.97133.924353132.35536.716.16139.49624.4553136.18736.753146.56836.716.16139.49924.4528.17136.671024.4525.87136.57注：利潤以萬元計(jì)靈敏度分析本節(jié)第1年和第2年年底留下的小母牛的數(shù)量（u「u）在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，對問題中承包者五年的最大總收益的影響，進(jìn)行靈敏度分析。總收益的大小受每年底留下的小母牛的數(shù)量的影響：當(dāng)?shù)谝荒旰偷诙甑琢粝碌男∧概５臄?shù)量增加時(shí)，總收益隨之增加，但若留下的小母牛的數(shù)量超過一定的數(shù)量時(shí)，承包者不僅在本年度減少了通過賣掉小母牛得到的收益，另外還需在下一年為超過130頭以上的新增牛支付2000元額外的費(fèi)用，并且因?yàn)榕５臄?shù)量增加使飼料的需求量增加，要通過從市場購買才能滿足所需，這也會(huì)導(dǎo)致總收益的減少。因而在農(nóng)場現(xiàn)有養(yǎng)?？臻g及糧食的限制條件下在不同的條件下五年的總利潤將不同?？紤]到以上因素后發(fā)現(xiàn)U的變動(dòng)比u對總收益影響要更顯著一些，所以在貸款額潤需的條件下我們應(yīng)當(dāng)盡可能增大u。2模型優(yōu)缺點(diǎn)分析及改進(jìn)1．建立了一個(gè)清晰的優(yōu)化模型，給出了一個(gè)關(guān)于養(yǎng)牛場規(guī)劃問題的模型2．因本模型采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，且題目的影響因素及約束條件較多，所以在計(jì)算上有相當(dāng)?shù)碾y度，本文利用Matlab編程求出不同范圍內(nèi)的優(yōu)化組合。3．本模型也有些缺餡，例如該模型是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題，沒有很好的算法，計(jì)算量較大。并且本模型假設(shè)產(chǎn)奶牛每年末才繁殖小牛，這與實(shí)際情況有差異。4．改進(jìn)：進(jìn)行進(jìn)一步討論，降低一些因素的影響，簡化計(jì)算過程。進(jìn)一步討論（1）影響銀行利率變化的因素有：平均利潤率、資金供求狀況、通貨膨脹預(yù)期、中央銀行政策、政府預(yù)算赤字、國際利率水平、外匯儲(chǔ)備、銀行成本、商業(yè)周期、借款期限和風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)銀行利率由于上述因素的變動(dòng)而提高時(shí)，本模型中的農(nóng)場承包者的總收益減少，為了得到最大的收益，承包者應(yīng)減少第一年和第二年年底留下的小母牛的數(shù)量，以保證在銀行利率提高下的總利潤最大。反之，若銀行利率減小，承包者則應(yīng)當(dāng)增加第一年底和第二年底留下的小母牛數(shù)量，以保證五年的總利潤最大。（2）本模型農(nóng)場承包者采用等額還款法償還向銀行借款的本息，則Q1=Q2=Q3=Q4=Q5=Q每年的還款額：q=QX0.12X1.125/（1.125-l）=0.277Q所以有5q=1.385Q若采用等本還款法償還向銀行借款的本息，則總的還款數(shù)額為：Q+Q*0.12+Q*0.8*0.12+Q*0.6*0.12+Q*0.4*0.12+Q*0.2*0.12=1.36Q可見等本還款法需要償還的本息總和小于等額還款法需要償還的資金總額，因而若使用等本還款法，承包者的總利潤將增加，但為了獲取最大收益，承包者將增加第一年底和第二年底留下小母牛的數(shù)量，以實(shí)現(xiàn)本年收益增大，和來年投入減少。（3） 影響基本的產(chǎn)量限制因素有：光照、氣溫、水的利用、氮、磷及相關(guān)的作物管理因素及薄弱的生產(chǎn)投入管理措施。由于雜草、蟲害、疾病等造成的損失，這些因素造成的農(nóng)產(chǎn)品損失在30％-100％左右,這樣就會(huì)導(dǎo)致農(nóng)場自種的農(nóng)作物供不應(yīng)求，而要以較高的價(jià)格向市場購買，是養(yǎng)牛的成本費(fèi)用升高，從而導(dǎo)致承包者總利潤的減少。那么為了在此條件下獲得最大收益，承包者將適當(dāng)減少第一年底和第二年底保留的小母牛的數(shù)量。（4） 當(dāng)國家政策的變化及市場上各種影響因素發(fā)生變動(dòng)時(shí)，使農(nóng)作物的價(jià)格上漲或下降，承包者的總收益的變動(dòng)將不定。（5） 勞動(dòng)力市場的價(jià)格也將影響農(nóng)場承包者的總利潤，當(dāng)勞動(dòng)力的價(jià)格上升時(shí)，原有模型中承包者的總收益將減少，為了在變化的市場條件下獲得最大收益，承包者將減少第一年底和第二年底留下的小母牛的數(shù)量。參考文獻(xiàn)[1]姜啟源謝金星葉俊,《數(shù)學(xué)建?！罚ǖ谌妫?，北京：高等教育出版社，2003.8楊啟帆方道元，《數(shù)學(xué)建?！?，杭州：浙江大學(xué)出版社，1999.8龔之堂，《經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化方法》，北京：北京大學(xué)出版社，2000.5程祖民，《運(yùn)籌學(xué)模型與方法教程》，北京：清華大學(xué)出版社，1998王學(xué)輝張明輝，《Matlab6.1最新應(yīng)用詳解》，北京：中國水利水電出版社，2002附錄：程序1：繪制牛數(shù)量分布圖fprintf('繪制牛數(shù)量分布圖')u1=0:0.01:120;u2=0:0.1:53;u21=37.2-0.95*u1;u22=(108.6-2.7075*u1)/1.9;u23=(47.05-0.8845*u1)/0.9025;u24=(200-2.7075*u1)/1.9;plot(22.4,u2,'b',u1,u21,'r',u1,u22,'g',u1,u23,'m',u1,u24,'k',36.7,u2,'c')axis([055053]);axissquare程序2：分區(qū)域求利潤極值及牛的數(shù)量分配printf('區(qū)域121利潤極值皿)c=-[4016.2;2434.1];a=[1,0;1,0;0.95,1];b=[0;24.45;37.2];u=linprog(c,a,b,[],[],zeros(2,1))bene=-c'*u+1046784.5%手工進(jìn)行修正為：u=[24.45;13.97]bene=-c'*[24.45;13.97]+1046784.5fprintf('區(qū)域131利潤極值\n')c=-[2059.6;374.1];a=[1,0;0.95,1;2.7075,1.9;0.8845,0.9025];b=[24.45;37.2;108.6;47.05];u=linprog(c,a,b)bene=-c'*u+1118685fprintf('區(qū)域132利潤極值\n')c=-[1980.3;293.5];a=[1,0;0,1;2.7075,1.9;0.8845,0.9025];b=[0;53;108.6;47.05];u=linprog(c,a,b)b