2023年全國Ⅱ高考數(shù)學(xué)試題(理)

2001年普通高等數(shù)學(xué)招生全國統(tǒng)一考試〔全國Ⅱ〕理科數(shù)學(xué)參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式：正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長．球的體積公式：，其中表示球的半徑．第一卷〔選擇題共60分〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．假設(shè)，那么在A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、四象限2．過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A．B．C．D．3．設(shè)是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，那么它的首項(xiàng)是A．1B．2C．4D．64．假設(shè)定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，那么的取值范圍是A．B．C．D．Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1A．B．C．D．6．函數(shù)的反函數(shù)是A．B．C．D．7．假設(shè)橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為，，那么其離心率為A．B．C．D．8．假設(shè)，，，那么A．B．C．D．9．在正三棱柱中，假設(shè)，那么與所成的角的大小為A．60°B．90°C．105°D．75°10．設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①假設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，那么單調(diào)遞增；②假設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，那么單調(diào)遞增；③假設(shè)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，那么單調(diào)遞減；④假設(shè)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，那么單調(diào)遞減．其中，正確的命題是A．①③B．①④C．②③D．②④11．一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為，，．假設(shè)屋頂斜面與水平面所成的角都是，那么A．B．C．D．①②③①②③34768612126347686121265A．26B．24C．20D．19第二卷〔非選擇題共90分〕考前須知：用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卡上．二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共20分，把答案填在題中橫線上．13．假設(shè)一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是．14．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上．假設(shè)，那么點(diǎn)到的距離為．15．設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和．假設(shè)是等差數(shù)列，那么＝．16．圓周上有個(gè)等分點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．SADCB17．〔本小題總分值10分〕如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，，面，，．SADCB〔1〕求四棱錐的體積；〔2〕求面與面所成的二面角的正切值．18．〔本小題總分值12分〕復(fù)數(shù)．〔1〕求及；〔2〕當(dāng)復(fù)數(shù)滿足，求的最大值．19．〔本小題總分值12分〕設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∥軸．證明：直線經(jīng)過原點(diǎn)．20．〔本小題總分值12分〕，，是正整數(shù)，且．〔1〕證明：；〔2〕證明：．21．〔本小題總分值12分〕從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)收入每年會比上年增加．〔1〕設(shè)年內(nèi)〔本年度為第一年〕總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元．寫出，的表達(dá)式；〔2〕至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？22．〔本小題總分值12分〕設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，對任意，都有．〔1〕求及；〔2〕證明是周期函數(shù)；〔3〕記，求．?dāng)?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題，此題考查根底知識，根本概念和根本運(yùn)算能力題號１23456789101112答案二、填空題．此題考查根底知識,根本概念和根本運(yùn)算技巧13．14．15．16．三、解答題17．?dāng)?shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題：此題考查根本知識和根本運(yùn)算．每題5分，總分值60分．(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D(12)D二．填空題：此題考查根本知識和根本運(yùn)算．每題4分．總分值16分．(13)2π(14)(15)1(16)2n(n－1)三．解答題．(17)本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力．總分值12分．解：(I)直角梯形ABCD的面積是M底面=(BC+AD)AB＝……2分∴四棱推S-ABCD的體積是……4分(II)延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD∥BC，BC=2AD∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分即所求二面角的正切值為．……12分(18)本小題考查復(fù)數(shù)的根本性質(zhì)和根本運(yùn)算，以及分析問題和解決問題的能力．總分值12分．(19)本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．總分值12分．證明一：因?yàn)閽佄锞€y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F()，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+代人拋物線方程得y2-2pcmy-p2=0假設(shè)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=-p2因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-，y2)，故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．證明二：如圖，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，D是垂足．那么AD∥FE∥BC．……2分連結(jié)AC，與EF相交手點(diǎn)N，那么根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|……8分即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．……12分(20)本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的根本知識和邏輯推理能力．總分值12分．(21)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等根底知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．總分值12分．解．(I)第1年投入為800萬元．第2年投入為800×(1-)萬元，……，第n年投入為800×(1-)n-1萬元.所以，n年的總收入為第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)萬元，……，第n年旅游業(yè)收人為400×(1