初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽習(xí)題和

初中數(shù)學(xué)奧林匹克比賽題及答案奧數(shù)題一一、選擇題〔每題1分，共10分〕1．假如a，b都代表有理數(shù)，而且a＋b=0，那么()A．a(chǎn)，b都是0B．a(chǎn)，b之一是0C．a(chǎn)，b互為相反數(shù)D．a(chǎn)，b互為倒數(shù)答案：C分析：令a=2，b=－2，知足2+(－2)=0，由此a、b互為相反數(shù)。2．下邊的說法中正確的選項(xiàng)是()A．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式B．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式C．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式D．整式與整式的和是整式答案：D分析：x2，x3都是單項(xiàng)式．兩個(gè)單項(xiàng)式x3，x2之和為x3+x2是多項(xiàng)式，清除A。兩個(gè)單項(xiàng)式x2，2x2之和為3x2是單項(xiàng)式，清除B。兩個(gè)多項(xiàng)式x3+x2與x3－x2之和為2x3是個(gè)單項(xiàng)式，清除C，所以選D。3．下邊說法中不正確的選項(xiàng)是()A.有最小的自然數(shù)B．沒有最小的正有理數(shù)C．沒有最大的負(fù)整數(shù)D．沒有最大的非負(fù)數(shù)答案：C分析：最大的負(fù)整數(shù)是-1，故C錯(cuò)誤。4．假如a，b代表有理數(shù)，而且a＋b的值大于a－b的值，那么()A．a(chǎn)，b同號B．a(chǎn)，b異號C．a(chǎn)＞0D．b＞0答案：D5．大于－π而且不是自然數(shù)的整數(shù)有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無數(shù)個(gè)答案：C分析：在數(shù)軸上簡單看出：在－π右側(cè)0的左側(cè)〔包含0在內(nèi)〕的整數(shù)只有－3，－2，－1，0共4個(gè)．選C。6．有四種說法：甲．正數(shù)的平方不必定大于它自己；乙．正數(shù)的立方不必定大于它自己；丙．負(fù)數(shù)的平方不必定大于它自己；?。?fù)數(shù)的立方不必定大于它自己。這四種說法中，不正確的說法的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案：B分析：負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，所以必定大于它自己，故C錯(cuò)誤。7．a(chǎn)代表有理數(shù)，那么，a和－a的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)大于－aB．a(chǎn)小于－aC．a(chǎn)大于－a或a小于－aD．a(chǎn)不必定大于－a答案：D分析：令a=0，立刻能夠清除A、B、C，應(yīng)選D。8．在解方程的過程中，為了使獲取的方程和原方程同解，能夠在原方程的兩邊()A．乘以同一個(gè)數(shù)B．乘以同一個(gè)整式C．加上同一個(gè)代數(shù)式D．都加上1答案：D分析：對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)，所以清除A。我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．假定該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，清除B。同理應(yīng)清除C．事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對D，這里所加常數(shù)為1，所以選D．9．杯子中有大部分杯水，次日較第一天減少了10%，第三天又較次日增添了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量對比的結(jié)果是()A．同樣多B．多了C．少了D．多少都可能答案：C分析：設(shè)杯中原有水量為a，依題意可得，次日杯中水量為a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量為(0.9a)×××a；第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C。10．輪船來回于一條河的兩碼頭之間，假如船自己在靜水中的速度是固定的，那么，當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船來回一次所用的時(shí)間將()A．增加B．減少C．不變D．增加、減少都有可能答案：A二、填空題〔每題1分，共10分〕1．198919902－198919892=______。答案：2－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979。分析：利用公式a2-b2=〔a+b〕(a-b)計(jì)算。2．1－2＋3－4+5－6+7－8+?+4999－5000=______。答案：1－2+3－4+5－6+7－8+?+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+?+(4999－5000)=－2500。分析：本題運(yùn)用了運(yùn)算中間的聯(lián)合律。3．當(dāng)a=－，時(shí)，代數(shù)式a2-b的值是______。答案：0分析：原式==(－0.2)2－0.04=0。把條件代入代數(shù)式計(jì)算即可。4．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重是______克。答案：45000〔克〕分析：食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60×30%〔千克〕，設(shè)蒸發(fā)變?yōu)楹}為40%的水重x克，即0.001x千克，此時(shí)，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000〔克〕。碰到這一類問題，我們要找不變量，本題中鹽的含量是一個(gè)不變量，經(jīng)過它列出等式進(jìn)行計(jì)算。三、解答題1.甲乙兩人每年收入相等，甲每年積蓄整年收入的1，乙每個(gè)月比甲多開銷100元，5三年后欠債600元，求每人每年收入多少？答案：：解得，x=5000答：每人每年收入5000元。所以S的末四位數(shù)字的和為1＋9＋9＋5=24。4．一個(gè)人以3千米/小時(shí)的速度上坡，以6千米/小時(shí)的速度下坡，行程12千米共用了3小時(shí)20分鐘，試求上坡與下坡的行程。答案：設(shè)上坡行程為x千米，下坡行程為y千米．依題意那么：由②有2x+y=20，③由①有y=12-x，將之代入③得2x+12-x=20。所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。答：上坡行程為8千米，下坡行程為4千米。5．乞降：。答案：第n項(xiàng)為所以。6．證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)必定不是合數(shù)。證明：設(shè)p=30q＋r，0≤r＜30，因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，故r≠0，即0＜r＜30。假定r為合數(shù)，因?yàn)閞＜30，所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5。再由p=30q＋r知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時(shí)，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾。所以，r必定不是合數(shù)。解：設(shè)由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。可知m＜4．由①，m＞0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3．下邊分別研究p，q。(1)假定m=1時(shí)，有解得p=1，q=1，與不符，舍去．(2)假定m=2時(shí)，有因?yàn)?p-1=2q或2q-1=2p都是不行能的，故m=2時(shí)無解．(3)假定m=3時(shí)，有解之得故p＋q=8。奧數(shù)題二一、選擇題1．?dāng)?shù)1是()A．最小整數(shù)B．最小正數(shù)C．最小自然數(shù)D．最小有理數(shù)答案：C分析：整數(shù)無最小數(shù)，清除A；正數(shù)無最小數(shù)，清除B；有理數(shù)無最小數(shù)，清除D。1是最小自然數(shù)，正確，應(yīng)選C。2.a為有理數(shù)，那么必定建立的關(guān)系式是()A．7a＞aB．7+a＞aC．7+a＞7D．|a|≥7答案：B分析：假定a=0，7×0=0清除A；7+0=7清除C；|0|＜7清除D，事實(shí)上因?yàn)?＞0，必有7+a＞0+a=a．選B?！?.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()A．B．C．D．答案：B分析：×7.5944+3.1416×(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=2×，選B。4.在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)與絕對值最大的那個(gè)數(shù)的乘積是()A．225B．C．D．1答案：B分析：-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數(shù)是-0.01，絕對值最大的數(shù)是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，選B。二、填空題1．計(jì)算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2021。3.n為正整數(shù)，1990n-1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個(gè)位、挨次擺列構(gòu)成的四位數(shù)是8009。那么n的最小值等于______。答案：4分析：1990n的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字．即為0000，即1990n末位起碼要4個(gè)0，所以n的最小值為4。4.不超出(-1.7)2的最大整數(shù)是______。答案：2分析：，不超出2.89的最大整數(shù)為2。5.一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是______。答案：29分析：個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，此中只有29是質(zhì)數(shù)。三、解答題1．3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003。2．某商鋪銷售的一種商品，每日賣出100件，每件可贏利4元，此刻他們采納提升售價(jià)、減少進(jìn)貨量的方法增添收益，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這類商品每漲價(jià)1元，每日就少賣出10件。試問將每件商品抬價(jià)多少元，才能獲取最大收益？最大收益是多少元？答案：本來每日可贏利4×100元，假定每件抬價(jià)x元，那么每件商品贏利(4＋x)元，但每日賣出為(100-10x)件。假如設(shè)每日贏利為y元，那么y＝(4＋x)(100-10x)2=400＋100x-40x-10x=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490。所以當(dāng)x=3時(shí)，y最大=490元，即每件抬價(jià)3元，每日贏利最大為490元。3．如圖1－96所示，CB⊥AB，CE均分∠BCD，DE均分∠CDA，∠1＋∠2=90°。求證：DA⊥AB。證明：∵CE均分∠BCD，DE均分∠ADC及∠1＋∠2=90°，∴∠ADC＋∠BCD=180°，∴AD∥BC。又∵AB⊥BC，∴AB⊥AD。4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整數(shù)解。答案：｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2。因?yàn)椋黿｜＋1＞0，且x，y都是整數(shù)，所以5.王平買了年利率％的三年期和年利率為％的五年期國庫券共35000元，假定三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的按期積蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期按期積蓄年利率為％)答案：設(shè)設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，那么因?yàn)閥=35000-x，所以x(1＋×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以0.0497x=994，所以x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。6.對k，m的哪些值，方程組起碼有一組解？答案：因?yàn)?k－1)x＝m-4，①m為一確實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有獨(dú)一解．當(dāng)k=1，m=4時(shí)，①的解為一確實(shí)數(shù)，所以方程組有無量多組解。當(dāng)k=1，m≠4時(shí)，①無解。所以，k≠1，m為任何實(shí)數(shù)，或k=1，m=4時(shí)，方程組起碼有一組解。奧數(shù)題三一、選擇題1.下邊給出的四對單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的一對是()A.x2y與-3x2z3與n3m2C.0.2a2b與0.2ab2D.11abc與ab答案：B分析：字母同樣,而且同樣字母的指數(shù)也同樣的兩個(gè)式子叫同類項(xiàng)。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A．3x-3B．x-1C．3x-1D．x-3答案：C分析：(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C。3.兩個(gè)10次多項(xiàng)式的和是()A．20次多項(xiàng)式B．10次多項(xiàng)式C．100次多項(xiàng)式D．不高于10次的多項(xiàng)式答案：D分析：多項(xiàng)式x10+x與-x10+x與-x10+x2之和為x2+x是個(gè)次數(shù)低于10次的多項(xiàng)式，所以排除了A、B、C，選D。4.假定a+1＜0，那么在以下每組四個(gè)數(shù)中，按從小到大的次序擺列的一組是()A．a(chǎn)，-1，1，-aB．-a，-1，1，aC．-1，-a，a，1D．-1，a，1，-a答案：A分析：由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1。于是由小到大的擺列序次應(yīng)是a＜-1＜1＜-a，選A。5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，那么()A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a(chǎn)＞b＞cD．b＞c＞a答案：B分析：易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞＞a，所以b＜a＜c，選B。6．假定a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么以下式子中結(jié)果是正數(shù)的是()A．(a-b)(ab+a)B．(a+b)(a-b)C．(a+b)(ab+a)D．(ab-b)(a+b)答案：A因?yàn)閍＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．因?yàn)閨a|＜|b|得-a＜b，所以a+b＞0，a-b＜0。ab+a＜0，ab-b＜0。所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)＞0建立，選A。7．從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)該獲取()A．4a-bB．b-aC．a(chǎn)-9bD．7b答案：D分析：12a5b〔4a4b〕=2a+5b-2a+2b=7b，選D。28．a(chǎn)，b，c，m都是有理數(shù)，而且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c()A．互為相反數(shù)B．互為倒數(shù)C．互為負(fù)倒數(shù)D．相等答案：A分析：因?yàn)閍+2b+3c=m=a+b+2，c所以b+c=0，即b，c互為相反數(shù)，選A。9．張梅寫出了五個(gè)有理數(shù)，前三個(gè)有理數(shù)的均勻值為15，后兩個(gè)有理數(shù)的均勻值是10，那么張梅寫出的五個(gè)有理數(shù)的均勻值是()答案：D分析：前三個(gè)數(shù)之和=15×3，后兩個(gè)數(shù)之和=10×2。所以五個(gè)有理數(shù)的均勻數(shù)為〔45+20〕÷5=13，選D。二、填空題〔每題1分，共10分〕1．2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。答案：29分析：前12個(gè)數(shù)，每四個(gè)一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29。2.假定P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，那么代入到代數(shù)式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡后，是______。答案：12ab。分析：因?yàn)镻-[Q-2P-(-P-Q)]=P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q=2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]=2(6ab)=12ab。3．小華寫出四個(gè)有理數(shù)，此中每三數(shù)之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個(gè)有理數(shù)的乘積等于______。答案：-1728。分析：設(shè)這四個(gè)有理數(shù)為a、b、c、d，那么abc=2a+b+d=17a+c+d=-1b+c+d=-3有3〔a+b+c+d〕=15，即a+b+c+d=5。分別減去每三數(shù)之和后可得這四個(gè)