上海市松江區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海市松江區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角為（） A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式． 【分析】由題意可得：，進(jìn)而得到與||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夾角為60° 故選C． 【點(diǎn)評】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題 2.函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=cos（ω+）的圖象，則只將f（x）的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的部分圖象求出T、ω和φ的值，寫出f（x）的解析式；再化g（x）=sin[2（x+）+]，利用圖象平移得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的部分圖象知，=﹣=，∴T=π，即=π，解得ω=2；再根據(jù)五點(diǎn)法畫圖知2×+φ=π，解得φ=，∴f（x）=sin（2x+）；又g（x）=cos（2x+）=sin[（2x+）+]=sin[2（x+）+]，為了得到g（x）的圖象，只需將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位即可．故選：A．3.設(shè)集合A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}參考答案：D，所以，故選D4.已知：為單位向量，，且，則與的夾角是（

）A．

B.

C．

D.參考答案：D略5.若實(shí)數(shù)x,y滿足，則S=2x+y－1的最大值為

A．6

B．4

C．3

D．2參考答案：A6.函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上的最大值、最小值分別是（

）A

12，

B42，12

C

42，

D

最小值是，無最大值參考答案：C略7.某同學(xué)對函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：①函數(shù)的圖像是軸對稱圖形；②對任意實(shí)數(shù)，均成立；③函數(shù)的圖像與直線有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；④當(dāng)常數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號是

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．參考答案：①②④①，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱，所以①正確。②，所以②正確。③由，得或，所以,所以任意相鄰兩點(diǎn)的距離不一定相等，所以③錯(cuò)誤。④由，即，因?yàn)椋?，所以必有，所以函?shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以④正確。所以所有正確結(jié)論的序號是①②④。8.設(shè)函數(shù)的定義域與值域都是Ｒ，且單調(diào)遞增，，則（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ａ＝ＢＤ.參考答案：D略9.下列函數(shù)中，周期為1且是奇函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐，可得其體積．【解答】解：該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐，如圖所示，所以其體積為．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且與的夾角等于與的夾角，則m=．參考答案：2【分析】根據(jù)夾角相等列出方程解出m．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵與的夾角等于與的夾角，∴=，∴=，解得m=2．故答案為：2．12.．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,則過曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程為

.參考答案：13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積

.參考答案：由三視圖可知這是一個(gè)下面是個(gè)長方體，上面是個(gè)平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。長方體的體積為，五棱柱的體積是，所以幾何體的總體積為。14.有如下四個(gè)命題：①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.②相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱.③若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測值,那么有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān).④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指.

以上命題“錯(cuò)誤”的序號是

.參考答案：15.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則的概率為

。參考答案：16.已知圓O的半徑為3，從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為，，則切線AD的長為

參考答案：略17.已知，，如果與的夾角為銳角，則λ的取值范圍是．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、.其中也是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）平面上的點(diǎn)滿足，直線∥，且與交于、

兩點(diǎn)，若，求直線的方程.參考答案：（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由：知.

設(shè)，在上，因?yàn)?，所以，解得，在上，且橢圓的半焦距，于是，消去并整理得，

解得

（不合題意，舍去）.故橢圓的方程為.

------------------7分（Ⅱ）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)椤?，所以與的斜率相同，故的斜率.設(shè)的方程為.由

.設(shè)，，所以，.因?yàn)?，所以，∴?/p>

.此時(shí)，故所求直線的方程為或.---------------14分略19.如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于．的點(diǎn)，，圓的直徑為9．（I）求證：平面平面；（II）求二面角的平面角的正切值．

參考答案：解：（I）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面。

…………4分（II）解法1：∵平面，平面，∴．∴為圓的直徑，即．設(shè)正方形的邊長為，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．在△中，，∴．故二面角的平面角的正切值為．…12分略20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)＝，其中a∈R，且曲線y＝在點(diǎn)(，)處的切線垂直于直線.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：因?yàn)閤＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，故舍去．當(dāng)x∈(0，5)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(5，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上為增函數(shù)．

由此知函數(shù)f(x)在x＝5時(shí)取得極小值f(5)＝－ln5,無極大值.…12分

21.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）線段是橢圓過點(diǎn)的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.參考答案：（1），又

…………4分（2）顯然直線不與軸重合當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，||=3，，；………………5分當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線：代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得

………………7分令所以由上，得所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3

……………10分設(shè)內(nèi)切圓半徑，則即，此時(shí)直線與軸垂直，內(nèi)切圓面積最大所以，

………………12分略22.如圖，直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)．（1）求證：B1C∥平面A1BG；（2）若AB=BC，AC=，求證：AC1⊥A1B．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）連結(jié)AB1，交A1B于點(diǎn)O，連結(jié)OG，由三角形中位線定理得OG∥B1C，由此能證明B1C∥平面A1BG．（2）由線面垂直得AA1⊥BG，由已知推導(dǎo)出tan∠AC1C=tan∠A1GA=，從而得到A1G⊥AC1，由此能證明AC1⊥A1B．【解答】（1）證明：連結(jié)AB1，交A1B于點(diǎn)O，連結(jié)OG，在△B1AC中，∵G、O分別為AC、AB1中點(diǎn)，∴OG∥B1C，又∵OG?平面A1BG，B1C?平面A1BG，∴B1C∥平面A1BG．（2）證明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG?平面ABC，∴A