江蘇省常州市東青文化活動中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

江蘇省常州市東青文化活動中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，則下列四個(gè)函數(shù)：f1（x）=2log2（x+2），f2（x）=log2（x+2），f3（x）=log2（x+2）2，f4（x）=log22x，為“同形”函數(shù)的是（）A．f1（x）與f3（x） B．f2（x）與f4（x） C．f1（x）與f2（x） D．f3（x）與f4（x）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】由對數(shù)的運(yùn)算法則可得f4（x）=log2（2x）=log2x+1，由函數(shù)圖象變化的規(guī)律分析可得f2（x）與f4（x）符合同形”函數(shù)的定義，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f4（x）=log2（2x）=log2x+1，；則將函數(shù)f2（x）=log2（x+2）的圖象，先向右平移2個(gè)單位得f（x）=log2x的圖象，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)f（x）=log2x+1=log2（2x）的圖象．故f2（x）與f4（x）符合同形”函數(shù)的定義；故選：B．2.已知向量，，滿足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，則與的夾角為(

)A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的數(shù)量積公式，化簡等式，即可求得與的夾角．解答：解：設(shè)與的夾角為θ∵（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴1+?﹣8=﹣6∴?=1∵?=||||cosθ∴cosθ=，又∵θ∈[0，π]∴θ=故選B．點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a7=10，則a4+a5+a6=（）A．5 B．15 C．25 D．30參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：等差數(shù)列{an}滿足a3+a7=10，可得2a5=10，∴a5=5a4+a5+a6=3a5=3×5=15．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．4.在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若,,,則b等于(

)A.1

B.

C.

D.2

參考答案：A5.若，當(dāng)，時(shí)，，若在區(qū)間，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D．參考答案：B略6.已知在R上是減函數(shù)，若,,.則（

）A．

B． C． D．參考答案：C：函數(shù)在R上是減函數(shù)，

，即，選C．7.給定集合A、B，定義，若，則集合A*B中所有元素之和為（

）A．6

B．8

C．10

D．18參考答案：答案：C8.函數(shù)定義域?yàn)?

)A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0，然后求解指數(shù)不等式得答案．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，需4﹣2x＞0，即2x＜4，解得x＜2．∴函數(shù)定義域?yàn)椋ī仭蓿?）．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9.已知集合

(

)參考答案：A10.已知函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減，記，，，則(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，及在區(qū)間上單調(diào)遞減，可判斷大小。【詳解】，

因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減所以因?yàn)樗约此赃xC【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，不等式比較大小，屬于中檔題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，則

．參考答案：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且a1=1，a3=9，∴﹣=（﹣1）+2（n﹣1），﹣=（﹣1）+2，∴3﹣=（﹣1）+2，∴a2=1．∴﹣=2n﹣2，∴=2（n﹣1）﹣2+2（n﹣2）﹣2+……+2﹣2+1=﹣2（n﹣1）+1=n2﹣3n+3．∴an=．n=1時(shí)也成立．則an═．故答案為：．

12.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（Ⅰ）對任意，；（Ⅱ）對任意，．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中所有正確說法的序號為

．參考答案：①②13.已知函數(shù)，若，則

．參考答案：8

略14.對?x∈R，mx2+mx+1＞0恒成立，則m的取值范圍是

．參考答案：[0，4）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】分m=0和m≠0兩種情況討論，當(dāng)m=0時(shí)，原不等式恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，則需，求解不等式組得答案．【解答】解：當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為1＞0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，要使對?x∈R，mx2+mx+1＞0恒成立，則，解得0＜m＜4．綜上，m的取值范圍是[0，4）．故答案為：[0，4）．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．15.若，則=

。參考答案：3016.設(shè)隨機(jī)變量，且DX=2，則事件“X=1”的概率為

（作數(shù)字作答。）參考答案：略17.已知命題函數(shù)在上單調(diào)遞增;命題不等式的解集是.若且為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2015?沈陽校級模擬）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)．（1）若對函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，求a的值；（2）若對任意，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，可求a的值；（2）對任意，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，等價(jià)于對任意，不等式exsinx﹣ax≥0恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．解答：解：（1）∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；（2）不等式f（x）≥ex（1﹣sinx），即exsinx﹣ax≥0，設(shè)g（x）=exsinx﹣ax，則g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣a，g″（x）=2excosx，時(shí)，g″（x）≥0，則g′（x）在時(shí)為增函數(shù)，∴g′（x）=g′（0）=1﹣a．①1﹣a≥0，即a≤1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在時(shí)為增函數(shù)，∴g（x）min=g（0）=0，此時(shí)g（x）≥0恒成立；②1﹣a＜0，即a＞1時(shí)，存在x0∈（0，），使得g′（x0）＜0，從而x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是減函數(shù)，∴x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．綜上，a的取值范圍是（﹣∞，1]．點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.二次函數(shù)，設(shè)的兩個(gè)實(shí)根為，（１）如果且，求的值。（２）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：參考答案：由條件可知:是的兩個(gè)根,所以由條件知且,利用線性規(guī)劃知在點(diǎn)上有，得。20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，橢圓的離心率（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）直線交橢圓E于另一點(diǎn)，橢圓右頂點(diǎn)為A，若，求直線的方程；（III）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為N，當(dāng)變化時(shí)，線段PN的長度是否為定值？若是，請寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.參考答案：略21.（14分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=，求證：b1+b2+…+bn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），從而得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=5，公差為6的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．（3）由=（），由此能證明b1+b2+…+bn＜．【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1），∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=5，公差為6的等差數(shù)列，∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，∴．（3）證明：∵=，∴（13分）=，∴b1+b2+…+bn＜．（14分）【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的首