新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第12講 雙變量不等式：剪刀模型（解析版）

第12講雙變量不等式:剪刀模型參考答案與試題解析一．解答題（共14小題）1．（2021春?重慶期末）已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【解答】（1）解：由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，又，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞增，又（1），所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一的零點(diǎn)，故符合題意；當(dāng)，即時(shí)，（1），當(dāng)，即時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)，，設(shè)（a），，則（a），所以（a）在上單調(diào)遞減，則（a），即，又，所以在，上有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在，上有唯一的零點(diǎn)，而，，所以在上有唯一的兩點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上所述，的取值范圍為，，；（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，不妨設(shè)，則，，因?yàn)椋裕O(shè)，，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，故?．（2021秋?和平區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為．（1）求，；（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解答】解：（1）將代入切線方程中，有，所以，即，又，所以．若，則，與矛盾，故．（2）證明：由（1）可知，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，則，所以，．當(dāng)時(shí)，若，，，若，，在時(shí)單調(diào)遞增，．故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由知在時(shí)單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增．所以，即成立．（3）證明：，設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，且，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．3．（2021?日照一模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解答】解：（1）將代入切線方程中，得，所以，又，解得或，又，所以，若，則（舍去）；所以，則；（2）由（1）可知，，，所以，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，因?yàn)?，所以，所以若，，若，所以，若，，所以在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以；（3）證明：，設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．4．（2021春?道里區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，是的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線．求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【解答】（Ⅰ）解：；由題意知，；；（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．5．（2021?江西校級(jí)二模）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅲ）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：由得：又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，極大值為（1），無極小值．（3分）（Ⅱ）設(shè)，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為：（6分）（Ⅲ）設(shè)，令即，則由于在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，，即，都有；設(shè)方程的根為，．在單調(diào)遞減，且，設(shè)曲線在點(diǎn)原點(diǎn)處的切線方程為：，則易得，，有，即，設(shè)方程的根為，則，在單調(diào)遞增，且，，即．6．（2021?天津）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：．【解答】（Ⅰ）解：由，可得．當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令函數(shù)，即，則．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，，設(shè)方程的根為，可得．在上單調(diào)遞減，又由（Ⅱ）知，因此．類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，對(duì)于任意的，有，即．設(shè)方程的根為，可得，在上單調(diào)遞增，且，因此，由此可得．7．（2021秋?湖南月考）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)，（e）處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）證明：對(duì)定義域內(nèi)任意，都有；（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，證明：．【解答】解：（1），（e），又（e），；（2）證明：令（e），（e）在上單調(diào)遞增，且（e），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（e）恒成立，恒成立．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，則，顯然在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，而（1），（e），存在，使，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，令，解得或，由（1）（2）可知在處的切線方程為，且恒成立，同理可得在處的切線方程為，令，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，恒成立．設(shè)函數(shù)在兩個(gè)零點(diǎn)處的切線方程與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，不妨設(shè)，則，，令，解得，，，得證．8．已知曲線在點(diǎn)，處的切線方程為（1）求和的值．（2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有．（3）方程的兩根分別為、，且，證明：【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，此時(shí)，即點(diǎn)，代入切線方程得；（2）由（1）知，顯然，當(dāng)時(shí)，，故只需證明時(shí)，；令，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在時(shí)取極小值也是最小值，即，所以，即，綜上：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有；（3）易得函數(shù)的圖象在，（1）處的切線方程為，令，則（1），，所以（1），令，則，所以在上單調(diào)遞增，又（1），所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；所以在時(shí)取極小值也是最小值，即（1），所以，即，設(shè)函數(shù)與和的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，則，，，，且等號(hào)不能同時(shí)取得所以，即．9．（2021春?東麗區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若，證明：在，上恒成立；（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，由，由，，所以切線方程為，（2）當(dāng)，時(shí)，，所以．故只需證，構(gòu)造，，又在，上單調(diào)遞增，且（1），知在，上單調(diào)遞增，故（1）．因此，得證．（3）由（1）知在點(diǎn)，處的切線方程為．構(gòu)造，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點(diǎn)處的切線方程為．構(gòu)造．，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，（1），所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以（1）．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞增，所以．，，，所以，得證．10．（2021?吳興區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，則，所以，，所以在點(diǎn)，處的切線方程為；（2）令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減且，在單調(diào)遞增，又，即且，故只能在處取得最小值，若，此時(shí)，在上，故單調(diào)遞減，在上，故單調(diào)遞增，故，滿足題意；若，有解，，在上單調(diào)遞減，與矛盾；若，有解，，在，上單調(diào)遞減，與矛盾；綜上所述，；（3）證明：，所以在單調(diào)遞減且，在單調(diào)遞增，故最多一根，又因?yàn)?，，設(shè)的解為，因?yàn)?，故，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，故，結(jié)合（1）（2）有，在上恒成立，設(shè)的解為，則，設(shè)的解為，則，故，，所以，得證．11．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）設(shè)曲線在處的切線方程為，求證：；（2）若方程有兩個(gè)根，，求證：．【解答】證明：（1），則，故，，故切線方程是：，即，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，即；（2）不妨設(shè)，直線與相交于點(diǎn)，又由（1）知：，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，下面證明：，由于，故，即證，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（e），即成立，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，由于等號(hào)成立的條件不同時(shí)滿足，故．12．（2021?天津）已知函數(shù)，，其中，且．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）若關(guān)于的方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．【解答】（本題滿分為14分）解：（Ⅰ）由，可得，其中，且．下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以對(duì)應(yīng)任意的正實(shí)數(shù)，都有，即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有．（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，由（Ⅱ）知，設(shè)方程的根為，可得，由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，，即對(duì)于任意的，，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此，由此可得：，因?yàn)?，所以，故：．所以：?3．（2017?臨汾三模）已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)，（1）處的切線方程，并證明（2）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．【解答】證明：（1），（1），（1），在點(diǎn)，（1）處的切線方程，設(shè)，則，，令，可得或，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞減；，，，，單調(diào)遞增，（1），；（2）在處的切線方程為，則又，設(shè)與和的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，．14．（2021