2022年河南省南陽市固縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年河南省南陽市固縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實(shí)數(shù)b的最大值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】分別求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)．由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，設(shè)為P（x0，y0），則有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b關(guān)于a的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=x+2a，函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)為，由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，設(shè)為P（x0，y0），則，由于x0＞0，a＞0則x0=a，因此構(gòu)造函數(shù)，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），當(dāng)時，h'（t）＞0即h（t）單調(diào)遞增；當(dāng)時，h'（t）＜0即h（t）單調(diào)遞減，則即為實(shí)數(shù)b的最大值．故選D．2.已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個數(shù)為(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B由題意得圓的圓心(0,0)到直線的距離為，故直線和圓相切，即直線和圓有1個公共點(diǎn)，所以的元素個數(shù)為1．選B．

3.設(shè)集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，則A∩B=（）A．（0，1] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0] D．（﹣∞，1]參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，B={x|y=lg（﹣x）}={x|x＜0}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故選：B．4.已知P（2，）在雙曲線﹣=1上，其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，三角形PF1F2的內(nèi)切圓切x軸于點(diǎn)M，則?的值為（）A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF1|﹣|PF2|=4，轉(zhuǎn)化為|AF1|﹣|HF2|=4，從而求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【解答】解：P（2，）在雙曲線﹣=1上，可得b=，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），如圖，設(shè)M（x，0），內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)M，PF1、PF2與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為N、H，∵由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a=4，由圓的切線長定理知，|PN|=|PH|，故|NF1|﹣|HF2|=8，即|MF1|﹣|HF2|=4，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，故（x+3）﹣（3﹣x）=4，∴x=2．∴?=（2﹣2，）?（3﹣2，0）=2﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、切線長定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．5.實(shí)數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）A.可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列B.可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列C.不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列D.不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列參考答案：B【分析】由實(shí)數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，兩種情況分析根據(jù)等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義，討論a、b、、按一定順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列時，是否有滿足條件的a，b的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【詳解】（1）若a＞b＞0則有a＞＞＞b若能構(gòu)成等差數(shù)列，則a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此時無法構(gòu)成等差數(shù)列若能構(gòu)成等比數(shù)列，則a?b=，得，解得a=b（舍），即此時無法構(gòu)成等比數(shù)列（2）若b＜a＜0，則有若能構(gòu)成等差數(shù)列，則，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）當(dāng)b=9a時這四個數(shù)為-3a，a，5a，9a，成等差數(shù)列．于是b=9a＜0，滿足題意但此時?b＜0，a?＞0，不可能相等，故仍無法構(gòu)成等比數(shù)列故選B【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的確定和等比數(shù)列的確定，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)（

）A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度

D.向右平移個單位長度參考答案：D7.設(shè)集合則A等于（

）

A．{1,2,5}

B．{l,2，4,5}

C．{1，4,5}

D．{1，2，4}參考答案：B當(dāng)k=0時，x=1；當(dāng)k=1時，x=2；當(dāng)k=5時，x=4；當(dāng)k=8時，x=5，故選B.8.（5分）a=20.3，b=0.32，c=log25，則a，b，c的大小關(guān)系為（） A． c＜b＜a B． b＜c＜a C． b＜a＜c D． a＜b＜c參考答案：C考點(diǎn)： 對數(shù)值大小的比較．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答： ∵1＜a=20.3＜2，b=0.32＜1，c=log25＞log24=2，∴b＜a＜c．故選：C．點(diǎn)評： 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)a是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將組成a的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I（a），按從大到小排成的三位數(shù)記為D（a），（例如a=746，則，）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個a，輸出的結(jié)果b=（）A.693 B.594 C.495 D.792參考答案：C【分析】給出一個三位數(shù)的a值，實(shí)驗(yàn)?zāi)M運(yùn)行程序，直到滿足條件，確定輸出的a值，可得答案．【詳解】由程序框圖知：例當(dāng)a＝123，第一次循環(huán)a＝123，b＝321﹣123＝198；第二次循環(huán)a＝198，b＝981﹣189＝792；第三次循環(huán)a＝792，b＝972﹣279＝693；第四次循環(huán)a＝693，b＝963﹣369＝594；第五次循環(huán)a＝594，b＝954﹣459＝495；第六次循環(huán)a＝495，b＝954﹣459＝495，滿足條件a＝b，跳出循環(huán)體，輸出b＝495．故答案為：495．【點(diǎn)睛】本題通過新定義題型考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序是解答此類問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．10.命題“，使得”的否定是（）A．

B．C．，

D．，

參考答案：A【知識點(diǎn)】全稱量詞與存在性量詞【試題解析】因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，

所以命題“，使得”的否定是：。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最大值為__________參考答案：略12.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式

.參考答案：13.雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：14.從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名

同學(xué)，將他們的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．從身高在[60,70），[70，80),[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動，再從這12人選兩人當(dāng)正負(fù)隊(duì)長，則這兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為

參考答案：15.已知數(shù)列{an}中，，是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且對任意的，都有，則=_____參考答案：【分析】令，，，可知；假設(shè)，，利用可求得，得到和；根據(jù)可求得，進(jìn)而得到.【詳解】若，，，則令，則

，

經(jīng)驗(yàn)證，時，滿足綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列前項(xiàng)和求解數(shù)列通項(xiàng)的問題，關(guān)鍵是能夠通過賦值的方式得到.16.已知直線和圓,則與直線和圓都相切且半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______________．

參考答案：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心半徑為。圓心C當(dāng)直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為，要使圓與直線和圓都相切且半徑最小，則圓的直徑。所以所求圓心在直線上，且圓心到直線的距離為，解得圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。如圖17.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為．參考答案：4【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】判斷EF與正方體表面的關(guān)系，即可推出正方體的六個面所在的平面與直線EF相交的平面?zhèn)€數(shù)即可．【解答】解：由題意可知直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，所以直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，基本知識的應(yīng)用，考查空間想象能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性.參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（1）當(dāng)時，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）∴令①當(dāng)時，當(dāng)時此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時此時函數(shù)單調(diào)遞增，②當(dāng)時，由即解得此時當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義求出切線方程，討論參數(shù)的范圍確定增減性。19.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求證：．參考答案：考點(diǎn)：絕對值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明．分析：（Ⅰ）依題意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函數(shù)分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要證該不等式成立，只需證明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．解答： （Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，當(dāng)x＜﹣3時，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣；當(dāng)﹣3時，由﹣x+4≥8，解得x∈?；當(dāng)x≥時，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤﹣或x≥2}…5分；（Ⅱ）證明：等價于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所證不等式成立…10分．點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考運(yùn)算及推理、證明能力，屬于中檔題．20.(t2分)如圖，分別是三棱錐的棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面交于。(Ⅰ)求證：四邊形是平行四邊形；(Ⅱ)已知，，試在棱上找一點(diǎn)，使平面平面，并說明理由。參考答案：解析：(Ⅰ)∵分別是的中點(diǎn)，∴且

……(1分)∵平面,平面∴平面

…………(2分)∵平面平面，平面∴

…………(4分)∵是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)．∴

………(5分)∴∴四邊形是平行四邊形

…………(6分)(Ⅱ)當(dāng)時，平面平面

…(8分)在上取一點(diǎn)，連接當(dāng)時，∵，∴

即當(dāng)時，，

……(9分)∵，，∴平面

……(10分)∵∴平面

……………(11分)∵平面∴平面平面

…………………(12分)

21.某學(xué)校共有教師人，其中不到歲的有人，歲及以上的有人。為了了解普通話在該校中的推廣普及情況，用分層抽樣的方法，從全體教師中抽取一個容量為人的樣本進(jìn)行普通話水平測試，其中在不到歲的教師中應(yīng)抽取的人數(shù)為多少人？參考答案：解析：而抽取的比例為，在不到歲