CH174泰勒公式與極值問題

會計(jì)學(xué)1CH174泰勒公式與極值問題2類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為第1頁/共64頁3例1.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及第2頁/共64頁4例如,二者不等第3頁/共64頁5例2.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程第4頁/共64頁6則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等第5頁/共64頁7證:令則則定理.令第6頁/共64頁8同樣在點(diǎn)連續(xù),得第7頁/共64頁9為簡便起見,引入記號例3.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則第8頁/共64頁10例4:

已知解:第9頁/共64頁11二、中值定理與泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式第10頁/共64頁12記號(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示第11頁/共64頁13定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱為f

在點(diǎn)(x0,y0)的n

階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng)

.第12頁/共64頁14證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:第13頁/共64頁15一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.第14頁/共64頁16說明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f

的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對值必有上界

M,則有第15頁/共64頁17(2)①式中若只要求的某一鄰域內(nèi)有直到n

階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便有第16頁/共64頁18(3)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)在凸域上的拉格朗日中值公式:(4)若函數(shù)在區(qū)域D

上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上見教材P133---TH17.8(中值定理),凸域概念介紹.并注意與P112---TH17.3比較第17頁/共64頁19例1.

求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,第18頁/共64頁20其中第19頁/共64頁21回顧一元函數(shù)極值概念及存在條件(必要,充分).三、極值問題第20頁/共64頁22實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.問題的提出第21頁/共64頁231、多元函數(shù)的極值概念

及必要條件定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有第22頁/共64頁24說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故第23頁/共64頁252、極值充分條件定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且若函數(shù)令則(1)當(dāng)是正定矩陣時(shí),f在P0具有極小值;(2)當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí),f在P0具有極大值;(3)當(dāng)是不定矩陣時(shí),f在P0不取極值.第24頁/共64頁26證明:的2階泰勒公式令(1)是正定矩陣時(shí),恒有對于是存在q>0(P137注②)使得第25頁/共64頁27從而對充分小的,只要,就有所以f在P0具有極小值;(2)是負(fù)定矩陣時(shí),同理可證.(3)當(dāng)是不定矩陣時(shí),f在P0不取極值.(反證法)若f在P0取極值,不妨設(shè)取極大值,易知沿任意過P0直線第26頁/共64頁28在t=0亦取極大值,故而故是負(fù)半定矩陣.這與是不定矩陣矛盾!f在P0不取極值.第27頁/共64頁29時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2′

(充分條件)

第28頁/共64頁30證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以第29頁/共64頁31其中,,

是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無窮小量,于是(1)當(dāng)AC－B2＞0

時(shí),必有A≠0,且A

與C

同號,可見,從而△z≥0,因此第30頁/共64頁32從而△z≤0,(2)當(dāng)AC－B2＜0

時(shí),若A,C不全為零,無妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號;同號.可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),第31頁/共64頁33++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0

時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零第32頁/共64頁34此時(shí)因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).第33頁/共64頁35例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第34頁/共64頁36在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第35頁/共64頁37例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第36頁/共64頁383、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)第37頁/共64頁39解:如圖,第38頁/共64頁40第39頁/共64頁41第40頁/共64頁42解由第41頁/共64頁43無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.第42頁/共64頁44例5.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.第43頁/共64頁454.最小二乘法問題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個(gè)問題:1.確定近似函數(shù)的類型

根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律

根據(jù)問題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求第44頁/共64頁46

偏差有正有負(fù),值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對來確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體第45頁/共64頁47特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組第46頁/共64頁48例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時(shí)測一次刀具的厚度,得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解:

通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567第47頁/共64頁49得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:第48頁/共64頁50稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200第49頁/共64頁51例2.

在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí),得到下列數(shù)據(jù):57.641.931.022.716.612.28.96.5369121518212412345678其中表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間,y

表示時(shí)刻反應(yīng)物的量.試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗(yàn)公式解:由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知,經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)取其中k,m為待定常數(shù).對其取對數(shù)得(線性函數(shù))(書中取的是常用對數(shù))第50頁/共64頁52因此a,b

應(yīng)滿足法方程組:經(jīng)計(jì)算得解得:所求經(jīng)驗(yàn)公式為其均方誤差為