第一課時周期性與奇偶性（課件）-高一數(shù)學人教A版必修第一冊 同步學考筆記

第五章 5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第一課時周期性與奇偶性1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會求正弦函數(shù)y＝sinx、余弦函數(shù)y＝cosx的周期.3.掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.課標要求素養(yǎng)要求利用y＝sinx，y＝cosx的圖象，探索y＝sinx，y＝cosx的周期性、奇偶性，重點提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預習知識探究11.周期函數(shù)條件①對于函數(shù)f(x)，存在一個______常數(shù)T(T>0)②當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有_________＝f(x)結論函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期非零f(x＋T)2.最小正周期條件如果周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的______結論這個最小______叫做f(x)的最小正周期正數(shù)正數(shù)點睛(1)周期函數(shù)的周期不唯一.若T是函數(shù)f(x)的最小正周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.(2)并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期.如f(x)＝C(C為常數(shù)，x∈R)，所有的非零實數(shù)T都是它的周期，而最小的正數(shù)是不存在的，故常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.

3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期___________________奇偶性________________2π2π奇函數(shù)偶函數(shù)1.思考辨析，判斷正誤×(1)周期函數(shù)y＝f(x)的定義域可以為[a，b](a，b∈R).(

)提示周期函數(shù)的定義域一定為無限集，且無上下界.(2)函數(shù)f(x)＝sin2x是奇函數(shù).(

)√√(4)y＝sinx與y＝cosx既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.(

)√2.(多選題)下列函數(shù)中是周期為2π的偶函數(shù)的是(

)BC3.函數(shù)f(x)＝|sinx|是(

) A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B解析f(x)的定義域為R，且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).π4.函數(shù)f(x)＝sin(2x)的最小正周期是________.解析由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小正周期為π.課堂互動題型剖析2題型一三角函數(shù)的周期【例1】

求下列函數(shù)的周期：∴自變量x只要并且至少要增加到x＋4π，(3)作圖如下：觀察圖象可知最小正周期為π.思維升華【訓練1】

求下列函數(shù)的最小正周期：【例2】

判斷下列函數(shù)的奇偶性：題型二三角函數(shù)的奇偶性(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；∴f(x)的定義域關于原點對稱.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)為奇函數(shù).解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不關于原點對稱，∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的兩個關鍵點(1)看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；(2)看f(－x)與f(x)的關系.對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.思維升華【訓練2】

判斷下列函數(shù)的奇偶性：解(1)函數(shù)的定義域為R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，從而x＝2kπ，k∈Z，此時f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).【例3】

(1)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是(

)題型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用DD【遷移1】若將例3(2)題中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其他條件不變，結果如何？當函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值.思維升華【訓練3】

設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)＝sinx＋x，則1<x<2時，f(x)＝___________________.解析

當1<x<2時，－2<－x<－1，則0<2－x<1，因為當0<x<1時，f(x)＝sinx＋x，所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.sin(x－2)＋x－2課堂小結分層訓練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.下列函數(shù)中，周期為2π的是(

)C2.(多選題)下列關于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)的說法正確的是(

) A.對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù) B.存在φ，使f(x)是偶函數(shù) C.存在φ，使f(x)是奇函數(shù) D.對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)BC3.設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)B解析

由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2，故選B.BB二、填空題三、解答題9.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(2)f(x)的定義域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又∵f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的解析式為f(x)＝1－sinx，D又k∈N*，所