高考數(shù)學一輪復(fù)習 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性講義

專題4.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等問題為主，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合凸顯數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；2.與函數(shù)零點、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)范圍等綜合考查.應(yīng)特別是注意將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列、函數(shù)圖象及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題，考查學生靈活應(yīng)用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).①如果在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②如果在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(2)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)①在某個區(qū)間內(nèi)，是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件.如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但.②如果函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增(減)，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在其任意的子區(qū)間內(nèi)不能恒成立，即在個別點處導(dǎo)函數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性.2.判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【方法儲備】1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和；（4）根據(jù)（3）的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，在對函數(shù)求導(dǎo)以后要對導(dǎo)函數(shù)進行整理并因式分解，方便后面求根和判斷導(dǎo)函數(shù)的符號．【精研題型】1.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為________．2.函數(shù)在上的單調(diào)情況是．3.已知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【特別提醒】1.先求定義域，一方面定義域?qū)握{(diào)區(qū)間有限制作用（單調(diào)區(qū)間為定義域的子集）.另一方面通過定義域?qū)θ≈档南拗?，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調(diào)區(qū)間的求解；2.在求單調(diào)區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負的因式，以簡化不等式；3.一般可令，解集就是單調(diào)增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數(shù)部分，那么減區(qū)間即為增區(qū)間在定義域上的補集；4.若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數(shù)，若的解集為，那么是定義域上的減函數(shù).給定區(qū)間求參數(shù)的取值范圍【方法儲備】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍：(1)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)=1\*GB3①在區(qū)間上單調(diào)遞增：轉(zhuǎn)化為在上恒成立，且在的任意子區(qū)間上不恒為0；也可轉(zhuǎn)化為區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間的子區(qū)間；=2\*GB3②在區(qū)間上單調(diào)遞減：轉(zhuǎn)化為在上恒成立，且在的任意子區(qū)間上不恒為0；也可轉(zhuǎn)化區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間的子區(qū)間.(2)已知區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：=1\*GB3①函數(shù)的增區(qū)間是，可轉(zhuǎn)化為＝增區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為的解集是；=2\*GB3②函數(shù)的減區(qū)間是，可轉(zhuǎn)化為＝減區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為的解集是．(3)已知函數(shù)在區(qū)間上存在遞增或遞減區(qū)間：=1\*GB3①利用正難則反思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上不存在遞增或遞減區(qū)間，即或；=2\*GB3②轉(zhuǎn)化為或在區(qū)間上有解.(4)已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)：即函數(shù)在區(qū)間上有極值點，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點.【精研題型】4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.5.函數(shù)在上不單調(diào)的一個充分不必要條件是A.B.C.D.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【思維升華】7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.8.設(shè)函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論【方法儲備】1.求函數(shù)的定義域；2.明確討論點依據(jù)：（1）導(dǎo)函數(shù)有無零點的討論（或零點有無意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點在不在定義域內(nèi)的討論；（3）二次項系數(shù)討論；（4）導(dǎo)函數(shù)多個零點時大小的討論.【精研題型】9.（導(dǎo)函數(shù)有一零點）已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；10.（導(dǎo)函數(shù)有兩個零點且能因式分解）已知函數(shù)，．（1）若，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．11.（導(dǎo)函數(shù)有兩個零點且不能因式分解）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；12.（構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)）已知函數(shù)．

（1）若，求的取值范圍；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【思維升華】13.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的零點；（2）討論的單調(diào)性；14.已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【特別提醒】1.導(dǎo)函數(shù)有一個零點：=1\*GB3①定義域為時，討論零點有無意義；=2\*GB3②定義域不是時，討論零點在不在定義域內(nèi)；2.導(dǎo)函數(shù)有兩個零點：=1\*GB3①定義域為時：討論零點的大小關(guān)系；=2\*GB3②定義域不是時，討論兩個零點在不在定義域內(nèi)，若都在，討論零點的大小關(guān)系；=3\*GB3③不能因式分解時，利用判別式討論根個數(shù)，或構(gòu)造函數(shù)研究零點.構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性【方法儲備】比較大小或解不等式的思路方法1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)計算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當?shù)暮瘮?shù).構(gòu)造函數(shù)常見形式：（1）加乘型=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（2）減除型=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（3）帶常數(shù)型=1\*GB3①=2\*GB3②2.含有兩個變元的不等式，可以把兩個變元看作兩個不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系.【精研題型】15.實數(shù)中的最大值和最小值分別為A.B.C.D.16.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足的導(dǎo)數(shù)

，則不等式的解集為

A.B.

C.D.17.已知的定義域是，是的導(dǎo)數(shù)，且滿足，則不等式的解集是

______

．18.已知，對，且，恒有，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.【思維升華】19.若對于任意的，都有，則的最大值為A.B.C.1D.20.(多選)已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，，且，則A.B.在處取得極大值C.D.在單調(diào)遞增單調(diào)性的應(yīng)用【方法儲備】先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小，或者解不等式.【精研題型】21.函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當時，，設(shè)則A.B.C.D.22.設(shè)函數(shù)，若，則的大小為A.

B.

C.

D.23.函數(shù)是定義是在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則的解集是A.

B.C.D.24.已知函數(shù)若當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.

【思維升華】25.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，有，且．設(shè)，，，則A.B.C.D.26.定義在上的函數(shù),滿足,且當時,,則使不等式成立的的取值范圍是A.B.C.D.專題4.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性答案和解析考點一1.【答案】【解析】【分析】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題.首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于等于零，解集即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【解答】解：，定義域為，，令，又，

可得，故答案為.2.【答案】在上單調(diào)遞增【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題.首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)在給定的區(qū)間上恒大于0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【解答】解：由題意得當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.3.【答案】【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題.首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解答】解：由題意得令，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.考點二4.【答案】C【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.

因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，恒成立，即在上恒成立.令，求得在的最大值，即可得答案．【解答】解：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立.

令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減.

，

故選5.【答案】D【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于中檔題．

根據(jù)題意可知當或時，為單調(diào)函數(shù)，從而可得函數(shù)在上不單調(diào)時a的取值范圍，進而可得充分不必要條件．【解答】解：由已知，當時，，

當或時，為單調(diào)函數(shù)，

則或，

故在上不單調(diào)時，a的范圍為，

故C是充要條件，D是充分不必要條件.

故選

6.【答案】D【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，轉(zhuǎn)化為存在，使得，，而在單調(diào)遞增，求出的范圍，從而求出a的范圍即可．

【解答】

解：根據(jù)題意得，，

在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

在內(nèi)有解，

即在內(nèi)有解

故存在，使得，

令，則在單調(diào)遞增，

所以，

故

故選

7.【答案】A【解析】【分析】

本題主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題.

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系即可.

【解答】

解：因為，

所以在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

于是，

解得

故選

8.【答案】解：當時，，，

所以，又因為，所以切線方程為因為在定義域上單調(diào)遞增，

所以當時，，令，，所以，所以【解析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)中未知量的取值范圍，首先分離參變量，再根據(jù)新構(gòu)建的函數(shù)的性質(zhì)求得未知量范圍．將a的值代入，求出和，即可得切線方程；

函數(shù)單調(diào)遞增則，即，整理分離未知量a，再根據(jù)x取值范圍求得實數(shù)a的范圍．考點三9.【答案】解：由題知的定義域為，，由于，，所以當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．

函數(shù)的定義域為求導(dǎo)后對a分類討論即可得出單調(diào)性．

10.【答案】解：（1）由題意得（2）由（1）得，=1\*GB3①當即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增=2\*GB3②當即時，令時，或在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減=3\*GB3③當即時，令時，或在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減綜上可得：當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．（1）先求導(dǎo)，結(jié)合已知條件帶入可求；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對進行分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性.11.【答案】解：，

若，則，所以函數(shù)在上遞增；

若，方程的判別式為，

所以方程有兩根分別為，，

所以當時，；

當時，，

所以函數(shù)在上遞減；在上遞增.【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及恒成立問題，屬于拔高題.

求導(dǎo)數(shù)可得，對a進行分類討論可得函數(shù)單調(diào)性；

已知函數(shù)

若，求c的取值范圍;

設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.12.【答案】解：等價于，

設(shè)，

則，

所以在上遞增，在遞減，

，

所以，即，

因此c的取值范圍是

因為，

所以

，

令

則，

令，得；令，

所以，在上遞增，在上遞減；

因此，，即，

所以在和都是單調(diào)遞減的．【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．

不等式等價于，設(shè)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性及最值，即可求得c的范圍;

對求得，再令的分子為對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性及最值，進而可得的單調(diào)性.13.【答案】解：若，則，，當時，，；當時，，，所以在上單調(diào)遞增．又因為，所以的零點為，①若，由于，令，則，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．②若，令，則或，且，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．③若，由知，在上單調(diào)遞增．④若，令，則或，且，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點和不等式恒成立問題，涉及的主要思想是分類討論，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于拔高題．

當時，，易證得在R上單調(diào)遞增，而，故有唯一零點求導(dǎo)得，然后分四類：，，和，逐一討論與0的關(guān)系，從而得函數(shù)的單調(diào)性．14.【答案】解：，

①當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

②當時，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

③當時，，，，

，即時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

，即時，在單調(diào)遞減.

，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

綜上：①當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

②當時，在單調(diào)遞減.

③當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

④當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，，，

令，，

①當，即時，在單調(diào)遞減，

，在上沒有零點，舍；

②當，即時，，對稱軸，

，，使得，

當時，在單調(diào)遞減，

當時，在單調(diào)遞增，

，

存在唯一的，使得

綜上，【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的零點求參數(shù).

先求導(dǎo)，并求出的根，然后分，，進行討論求解的單調(diào)性；

求出并求導(dǎo)，令，對的值進行討論求解a的取值范圍.

考點四15.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，運用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答】解：因為，

由在R上單調(diào)遞增，

則

，

由在上單調(diào)遞增，

則

，

由在上單調(diào)遞增，

，

令，

則，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，

所以實數(shù)，，，中的最大值和最小值分別為，

故選16

【答案】【解析】【分析】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點所在，屬于中檔題．構(gòu)造函數(shù)，，從而可得g（x）的單調(diào)性，結(jié)合，可求得，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：令，∵，∴，∴為減函數(shù)，又，∴，∴不等式的解集?的解集，即，又為減函數(shù)，∴，即．故選B．17.

【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，所解的不等式轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解出即可．

【解答】解：設(shè)，，則，

在單調(diào)遞減，

由得：，

得：，

，

，解得：或，

故答案為

18.【答案】B【解析】【分析】

本題考查不等式恒成立問題，方法是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：依題意，得，且，，

所以，則在上單調(diào)遞增，

令，則恒成立，即，

令，則，

當時，；當時，，

故，所以，

故選

19.【答案】C【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性，由題可知在單調(diào)遞增，即可求出a的范圍，得出答案.【解答】解：令，，則，令，解得，則時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，對于任意的，都有，即，即在單調(diào)遞增，所以，即a的最大值為故選20.【答案】ACD【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點，屬于中檔題.根據(jù)題意可設(shè)，根據(jù)求b，再求判斷單調(diào)性求極值即可.【解答】解：函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，，即滿足，，，可設(shè)為常數(shù)，，，解得，，，滿足，正確；，且僅有，錯誤，A、D正確，故選考點五21.【答案】B【解析】【分析】

本題考查學生利用函數(shù)單調(diào)性來解決數(shù)學問題的能力，屬于中檔題．

根據(jù)求出的圖象關(guān)于對稱，又當時，，，得到，此時為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)得到即可．

【解答】

解：由可知，的圖象關(guān)于對稱，

根據(jù)題意又知時，，此時為增函數(shù)，

時，，為減函數(shù)，

所以，即，

故選

22【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性并利用單調(diào)性判定大小，屬于中檔題.

先判斷函數(shù)為