數(shù)值分析分段低次插值

我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite

插值等多種方式。插值的目的就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得到一個數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項式的次數(shù)越高，越能夠達到這個目的呢？現(xiàn)在我們來討論一下這個問題。第五節(jié)分段低次插值

我們已經(jīng)知道：f(x)在n+1個節(jié)點xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多項式Pn

(x)的余項設(shè)想當(dāng)節(jié)點數(shù)增多時會出現(xiàn)什么情況。由插值余項可知，當(dāng)f(x)充分光滑時，若余項隨n增大而趨于0時，這說明可用增加節(jié)點的方法達到這個目的，那么實際是這樣嗎？插值節(jié)點的增多,盡管使插值多項式在更多的插值節(jié)點上與函數(shù)f(x)的值相等,但在兩個節(jié)點之間Pn(x)不一定能很好地逼近f(x),有時誤差會大得驚人,著名的龍格(Runge)現(xiàn)象證實了這個觀點.例:1901年龍格(Runge)給出一個例子:龍格(Runge)現(xiàn)象插值多項式情況，見圖:取n=6和n=10從圖中可見，P10(x)僅在區(qū)間[-0.2,0.2]內(nèi)能較好地逼近f(x),而在其于位置,P10(x)與f(x)的值相差很大,越靠近端點,近似的效果越差.對于等距節(jié)點,高次多項式插值發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象.chzh00.m如

P6(0.96)=0.4233P10(0.96)=1.80438

f(0.96)=0.0416

龍格(Runge)現(xiàn)象表明插值多項式序列不收斂，實際上，嚴(yán)格的理論分析可知插值多項式序列確是不收斂的，而且高階插值還是不穩(wěn)定的。數(shù)值穩(wěn)定性從計算的數(shù)值運算誤差看,對于等距節(jié)點的差分形式,由于高階差分的誤差傳播,函數(shù)值的微小變化都將使插值產(chǎn)生很大的誤差.因此實際應(yīng)用中常采用分段低次插值。（1）分段線性插值（2）分段二次插值與分段三次插值（3）分段Hermite插值(4)分段三次樣條插值因此，實踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多項式。那么如何提高插值精度呢？定義

設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，在節(jié)點

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,的函數(shù)值為y0,y1,y2,…yn-1,yn

,若函數(shù)(x)滿足條件

(1)(x)在每個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是線性插值多項式;(2)(xi)=yi

,i=0,1,2,…,n

(3)(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);

則稱(x)是f(x)在[a,b]上的分段線性插值多項式。1.問題的提法

分段線性插值問題的解存在唯一.一、分段線性插值多項式2.分段線性插值函數(shù)的表達式由定義，

(x)在每個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插值多項式;分段線性插值曲線圖：x0x1…xixi+1,,,xnx0…xi-1xixi+1…xnx0x1…xi…xn-1xn3.分段線性插值函數(shù)的余項注意:

h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精度是很好的途徑.定理：設(shè)f(x)在[a,b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f″(x)，

且|f″(x)|≤m2,記：h=max|xi+1-xi|,就有估計：

|R(x)|=|f(x)-(x)|≤m2h2/8,x∈[a,b]。二.分段二次插值與分段三次插值

例:在[-4,4]上給出等距節(jié)點函數(shù)表，若用分段二次插值計算ex的近似值，要使截斷誤差不超過10-6,問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)為多少?解：設(shè)xi-1≤x≤xi+1,

則有

xi-1=xi-h,xi+1=xi+h,x=xi+th(-1≤t≤1)過三點xi-1，xi，xi+1的二次插值誤差為：1.問題的提法分段三次Hermite插值多項式存在唯一三.分段三次Hermite插值2.分段三次Hermite插值的表達式3.分段三次Hermite插值的余項定理：設(shè)f(x)在[a,b]上有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(4)(x)，

且|f(4)(x)

|≤m4,記：h=max|xi+1-xi|,就有估計：四、分段低次插值的收斂性

上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域有越來越廣泛的應(yīng)用。習(xí)題

P195-----7，8二版習(xí)題三版習(xí)題

P195-----7，8Lagr1.mfunctiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endy=lagr1(x0,y0,x):Lagrange插值。給出n個插值節(jié)點，計算m個插值點。chzh00.mn=11;m=51;x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+25*x.^2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);N1=6;x00=-1:2/(n1-1):1;y00=1./(1+25*