7彈性力學(xué)平面問題

會(huì)計(jì)學(xué)17彈性力學(xué)平面問題平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.幾何方程（2-9）3.物理方程（平面應(yīng)力問題）（2-15）4.邊界條件位移：（2-17）應(yīng)力：（2-18）第1頁(yè)/共52頁(yè)例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！第2頁(yè)/共52頁(yè)xy上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結(jié)果相同。注意：必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，第3頁(yè)/共52頁(yè)§2-8按位移求解平面問題§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程

（重點(diǎn)）§2-10常體力情況下的簡(jiǎn)化本講主要內(nèi)容52023/1/16第4頁(yè)/共52頁(yè)§2-8按位移求解平面問題2023/1/16ZS第5頁(yè)/共52頁(yè)平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.幾何方程（2-9）3.物理方程（平面應(yīng)力問題）（2-15）4.邊界條件位移：（2-17）應(yīng)力：（2-18）第6頁(yè)/共52頁(yè)2、彈性力學(xué)問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u(píng)、v為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量和部分應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。第7頁(yè)/共52頁(yè)3、按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有（2-19）（a）將式(a)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有（2-20）第8頁(yè)/共52頁(yè)（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（a）將式（a）代入，得（2-21）（2-17）式（2-20）、（2-17）、（2-21）構(gòu)成按位移求解問題的基本方程說明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。第9頁(yè)/共52頁(yè)（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-20）（2）邊界條件：位移邊界條件：（2-17）應(yīng)力邊界條件：（2-21）第10頁(yè)/共52頁(yè)相容方程§2-9按應(yīng)力求解平面問題2023/1/16ZS第11頁(yè)/共52頁(yè)1、變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：（2-2）平衡微分方程：2個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問題。需尋求補(bǔ)充方程，從形變、形變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。將幾何方程：（2-9）作如下運(yùn)算：第12頁(yè)/共52頁(yè)顯然有：（2-22）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式得：顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。第13頁(yè)/共52頁(yè)2、變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形將物理方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程將上述化簡(jiǎn)：（2-15）（2-2）（a）將上述兩邊相加：（b）第14頁(yè)/共52頁(yè)將(b)代入(a)，得：將上式整理得：（2-23）應(yīng)力表示的相容方程（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：，得（2-24）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）注意：當(dāng)體力fx、fy為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即（2-25）第15頁(yè)/共52頁(yè)3、按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-23）（3）邊界條件：（2-18）（平面應(yīng)力情形）說明：（1）對(duì)位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。第16頁(yè)/共52頁(yè)例8：例9：圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力=0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。課堂練習(xí)與討論2023/1/16ZS第17頁(yè)/共52頁(yè)例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）解（a）（b）（1）將式（a）代入平衡方程：（2-2）——滿足將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。第18頁(yè)/共52頁(yè)例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）（a）（b）（2）解將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應(yīng)變分量。第19頁(yè)/共52頁(yè)例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力=0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。解材料力學(xué)解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？代入平衡微分方程：（2-2）顯然，平衡微分方程滿足。第20頁(yè)/共52頁(yè)式（a）滿足相容方程。再驗(yàn)證，式（a）是否滿足邊界條件？——滿足——滿足——近似滿足近似滿足結(jié)論：式（a）為正確解代入相容方程：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：第21頁(yè)/共52頁(yè)例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！第22頁(yè)/共52頁(yè)§2-10常體力情況下的簡(jiǎn)化2023/1/16ZS第23頁(yè)/共52頁(yè)1、常體力下平面問題的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子則相容方程可表示為：——平面應(yīng)力情形——平面應(yīng)變情形當(dāng)體力X、Y為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即或（2-25）第24頁(yè)/共52頁(yè)2、常體力下平面問題的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件（2-18）（4）位移單值條件——對(duì)多連通問題而言。討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含E、μ（a）兩種平面問題，計(jì)算結(jié)果

相同

）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同。——光彈性實(shí)驗(yàn)原理。（3）用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ停嫫矫鎽?yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ?，為?shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。第25頁(yè)/共52頁(yè)3、常體力下體力與面力的變換平衡方程:相容方程:邊界條件:令：常體力下，滿足的方程：(a)將式(b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有(b)(c)第26頁(yè)/共52頁(yè)(c)表明：（1）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程（容易求解）；（2）變換后問題的邊界面力改變?yōu)椋航Y(jié)論：當(dāng)體力X=常數(shù)，Y=常數(shù)時(shí)，可先求解無體力而面力為：?jiǎn)栴}的解：，而原問題的解為：第27頁(yè)/共52頁(yè)課堂練習(xí)與討論2023/1/16ZS第28頁(yè)/共52頁(yè)xyxy例10：pFABCDEhh(a)圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。原問題：體力：邊界面力：所求應(yīng)力：ABCFDEhh(b)ph2ph變換后的問題：體力：邊界面力：(1)當(dāng)y=0時(shí)，(2)當(dāng)y=–h

時(shí)，(3)當(dāng)y=–2h

時(shí)，所求得的應(yīng)力：原問題的應(yīng)力第29頁(yè)/共52頁(yè)常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)（好處）：原問題的求解方程變換后問題的求解方程常體力問題無體力問題作用：(1)方便分析計(jì)算（齊次方程易求解）。(2)實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。注意：面力變換公式：與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單。第30頁(yè)/共52頁(yè)2.平面問題的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-9）——位移邊界條件（4）邊界條件：（1）（2）——應(yīng)力邊界條件（3）物理方程：（2-15）——平面應(yīng)力問題第31頁(yè)/共52頁(yè)3.平面問題一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變分析(b)主應(yīng)力與應(yīng)力主向（2-7）（2-8）(c)最大、最小剪應(yīng)力及其方向τmax、τmin

的方向與σ1（σ2）成45°。(a)任意斜面上應(yīng)力或第32頁(yè)/共52頁(yè)4.圣維南原理的應(yīng)用（d）任意斜方向的線應(yīng)變（2-11）（e）一點(diǎn)任意兩線段夾角的改變（2-12）

若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。P次要邊界第33頁(yè)/共52頁(yè)5.平面問題的求解方法：（2-17）——位移邊界條件（2-21）——應(yīng)力邊界條件（1）按位移求解基本方程（2-20）——平衡方程第34頁(yè)/共52頁(yè)（2）按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（2-22）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）相容方程（2-23）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程（2-24）（平面應(yīng)變情形）（2-25）（體力fx、fy為常數(shù)情形）第35頁(yè)/共52頁(yè)（1）平衡方程（2-2）（3）邊界條件：（2-18）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-23）（平面應(yīng)力情形）按應(yīng)力求解的基本方程常體力下可以簡(jiǎn)化：求解方法？（兩種平面問題形式相同）（1）體力X、Y轉(zhuǎn)化為面力處理。（2）第36頁(yè)/共52頁(yè)逆解法與半逆解法應(yīng)力函數(shù)解法2023/1/16ZS第37頁(yè)/共52頁(yè)常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解=齊次方程通解1、平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)

的齊次方程：(c)(d)的通解。第38頁(yè)/共52頁(yè)將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)

的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得第39頁(yè)/共52頁(yè)(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得(k)第40頁(yè)/共52頁(yè)(2)通解式(a)

的齊次方程：(d)的通解：(k)——對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解。(3)全解取特解為：則其全解為：(2-26)——常體力下平衡方程（a）的全解。

由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。φ(x,y)——平面問題的應(yīng)力函數(shù)——Airy應(yīng)力函數(shù)第41頁(yè)/共52頁(yè)2、相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示(2-26)將式（2-26）代入常體力下的相容方程：(2-25)有：注意到體力fx、fy為常量，有將上式展開，有(2-27)——應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。第42頁(yè)/共52頁(yè)2、相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示將式（2-26）代入常體力下的相容方程：(2-25)有：注意到體力fx、

fy為常量，有將上式展開，有(2-27)——應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。式（2-27）可簡(jiǎn)記為：或：式中：滿足方程(2-27)的函數(shù)φ(x,y)稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)）結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)φ應(yīng)為一重調(diào)和函數(shù)第43頁(yè)/共52頁(yè)按應(yīng)力求解平面問題（fx=常量、fy=常量）的歸結(jié)為：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。3.

應(yīng)力函數(shù)求解方法(2-28)（無體力情形）第44頁(yè)/共52頁(yè)3.

應(yīng)力函數(shù)求解方法（1）逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）——主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)可以求解什么問題。（2）半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位