上海市延安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-c

試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁上海市延安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．已知，兩點關(guān)于原點對稱，則點的坐標(biāo)為______.2．兩條平行直線和的距離為______.3．已知直線和直線平行，則實數(shù)的值為______.4．直線和直線的夾角的大小為______.5．已知是某雙曲線的一個頂點，且該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.6．已知，兩點，則滿足的動點的軌跡方程為______.7．已知，兩點關(guān)于直線對稱，則點的坐標(biāo)為______.8．已知是直線的一個方向向量，是平面的一個單位法向量，且，則向量的坐標(biāo)為______.9．經(jīng)過點，可作圓的兩條切線，已知其中一條切線的方程為，則另一條切線的方程為______（用一般式表示）10．已知，，且，則為______.11．過點分別作斜率為2和3的兩條直線，前者交橢圓于，兩點，后者交軸于點，則的周長為______.12．已知為直線上的一個動點，為曲線上的一個動點，則線段長度的最小值為______.二、單選題13．雙曲線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．14．設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．16．已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，為該雙曲線上的任意一點，設(shè)為原點，，，為實數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題17．已知直線和直線.(1)求證：對任意實數(shù)，直線和各經(jīng)過一個定點（依次設(shè)為和），并求，的坐標(biāo)；(2)設(shè)直線和交于點，求證：點的軌跡是一個圓，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程.18．如圖，四面體的各棱長均為2，，分別為棱，的中點，又設(shè)，，；(1)用向量，，的線性組合表示向量，；(2)求向量，的夾角的大小.19．已知正方體的棱長為3，，分別為棱，上的點，且；如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系；利用所學(xué)空間向量知識，求：(1)點到平面的距離；(2)平面與平面所成的銳二面角的大小.20．如圖，雙曲線的兩條漸近線與圓在軸的上方部分交于，兩點.(1)已知，兩點的橫坐標(biāo)和恰為關(guān)于的方程的兩個根，求，的值；(2)如果線段的長為2，求的值.21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，是軸正半軸上的一點；過作斜率為的直線，交二次函數(shù)圖象于，兩點；如圖2，把平面沿軸折起來，成為一個直二面角；如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系.(1)如圖3，上述二次函數(shù)在折疊后有一部分圖象位于平面上，設(shè)是該曲線上的一點；如果，試求的最小值，并求此時在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；(2)如圖3，如果（的大小用弧度表示），試求的值.答案第=page1111頁，共=sectionpages1111頁答案第=page1010頁，共=sectionpages1111頁參考答案：1．【分析】兩個點關(guān)于原點對稱，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)全部相反，故得解.【詳解】因為，兩點關(guān)于原點對稱，所以點坐標(biāo)為.故答案為：.2．2【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)平行線間距離公式可得，故答案為：23．.【分析】利用兩直線平行列方程即可求得.【詳解】直線可化為：，直線可化為：.因為兩直線平行，所以，解得：.故答案為：.4．【分析】分別求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式即可求得.【詳解】直線的方向向量為，直線的方向向量為，所以直線和直線的夾角的余弦值為：，因為兩直線的夾角，所以直線和直線的夾角為.故答案為：5．【分析】由已知得，，再利用，進(jìn)而得解.【詳解】由已知得，，又，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.6．【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】由于，是兩個定點，則滿足,因此動點的軌跡是的延長線上,且點在軸上點的右側(cè)（包含B），故其方程為，故答案為：7．【分析】設(shè)點，由題意可得，求解即可.【詳解】解：設(shè)點，因為直線的斜率為，則有，解得：，所以點的坐標(biāo)為.故答案為：8．或.【分析】根據(jù)線面關(guān)系確定與共線的關(guān)系，再根據(jù)單位向量即可求解.【詳解】根據(jù)是直線的一個方向向量，，是平面的一個單位法向量，所以與共線，且是單位向量，所以或故答案為：或.9．【分析】由題意可知圓的圓心為，半徑為5，設(shè)另一條切線的方程為，根據(jù)切線的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為5，即，設(shè)另一條切線的方程為，即，所以，解得，所以另一條切線的方程為，即.故答案為：.10．【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為0，可求得，再利用向量的減法及模長公式可求解.【詳解】，，且，，即，解得又故答案為：11．12【分析】根據(jù)直線方程可得與軸的交點，進(jìn)而可知,為橢圓的焦點,故根據(jù)橢圓的焦點三角形即可求解周長.【詳解】由題意可知：直線方程為：，故直線與軸的交點坐標(biāo)為,直線方程為：，故直線與軸的交點坐標(biāo)為,由橢圓方程可知故,為橢圓的焦點,故的周長為，故答案為：1212．【分析】先把曲線轉(zhuǎn)化為，判斷出線段的最小值即為與平行的直線與相切時，兩平行線間的距離.利用導(dǎo)數(shù)求出切點坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求解.【詳解】直線可化為：.對于曲線.當(dāng)時，代入不成立，所以.所以可化為，導(dǎo)數(shù)為所以線段的最小值即為與平行的直線與相切時，兩平行線間的距離.設(shè)切點.由題意可得：，即，解得：或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述：線段長度的最小值為.故答案為：.13．D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定，從而可以確定焦點坐標(biāo).【詳解】雙曲線，所以，且焦點在軸，所以焦點坐標(biāo)為.故選：D.14．B【解析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及直線的方向向量、平面的法向量定義再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得：，則“”是“”的必要條件，而不一定有，也可能，則“”不是“”的充分條件.故選：B.15．C【分析】利用點在圓外，列不等式組，即可解得.【詳解】因為點在圓外，所以，解得：.故選：C16．D【分析】求出雙曲線漸近線方程，得到，點坐標(biāo)，進(jìn)而得到，代入雙曲線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，代入可得，不妨設(shè)，.由，可得.因為，點在雙曲線上，有，即，所以，所以.故選：D.17．(1)證明過程見詳解；A

B(2)證明過程見詳解；【分析】（1）根據(jù)參數(shù)確定直線所過定點即可求解；（2）根據(jù)證明，再根據(jù)直徑確定圓心和半徑即可求解.【詳解】（1）可以轉(zhuǎn)化為：，所以經(jīng)過定點A;可以轉(zhuǎn)化為：，所以經(jīng)過定點B.（2）聯(lián)立，解得，所以，所以，，所以，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為：，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算即可求解，（2）根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）（2）由四面體的各棱長均為2，可知四面體為正四面體，所以，，兩兩夾角為，因此，，，由于，所以19．(1)(2)【分析】（1）求出點的坐標(biāo)，利用點到平面的距離為，即可求解；（2）利用空間向量方法求面面夾角.【詳解】（1）由已知得，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則所以點到平面的距離為（2）由（1）知，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即，所以平面與平面所成的銳二面角為.20．(1)；(2).【分析】（1）由題意可知雙曲線的兩條漸近線方程為，與圓聯(lián)立方程組，消去，得到關(guān)于的方程，再根據(jù)，兩點的橫坐標(biāo)和為方程的兩個根，從而可求出；（2）由題意得，再根據(jù)兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值.【詳解】（1）由題意可知雙曲線的兩條漸近線方程為，由，得，化簡得，因為，兩點的橫坐標(biāo)和恰為關(guān)于的方程的兩個根，所以；（2）由題意得，所以，所以，所以，即，即，由（1）可知，所以，化簡得，解得或（舍去）.21．(1)有最小值為，此時；(2).【分析】（1）根據(jù)已知求出點在圖1中的坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為在圖3的坐標(biāo).根據(jù)已知設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間的距離公式列出關(guān)系式，即可求出最小值；（2）聯(lián)立直線與二次函數(shù)的方程可解出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，.然后根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系可得出在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，得到，在中，根據(jù)余弦定理可解出.然后即可得到等量關(guān)系，求出結(jié)果.【詳解】（1）解：當(dāng)時，直線方程為.聯(lián)立直線方程與二次函數(shù)的方程可解得，或，由圖1知，，.將二次函數(shù)折疊成圖3時，可知，.因為在平面上，設(shè)，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為，此時.（2）解：直線方程為.聯(lián)立直線與二次函數(shù)的方程解得，或，則，.所以，，，所以有.又點在圖3中的坐標(biāo)為，點在圖3中的坐標(biāo)為，所以，在中，由余弦定理可得，，又，所以，所以，即，