第四章機(jī)械振動(dòng)

振動(dòng)分類受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)(簡諧振動(dòng))無阻尼自由諧振動(dòng)2tx第四章機(jī)械振動(dòng)4.1簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征4.2簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)4.3簡諧振動(dòng)的能量4.4簡諧振動(dòng)的合成*振動(dòng)的頻譜分析4.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振3

前言物體或物體的某一部分在某固定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)

實(shí)例:鐘擺，樂器，地震，心臟的跳動(dòng)等1機(jī)械振動(dòng)平衡位置4

簡諧運(yùn)動(dòng)最簡單、最基本的振動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解2簡諧振動(dòng)5X0xFKF——線性回復(fù)力（1）受力注意：此處位移x——

特指振子偏離平衡位置的位移。F=-kx

1.彈簧振子4.1簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征4.2簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、簡諧振動(dòng)——作簡諧振動(dòng)的物體振動(dòng)的成因：回復(fù)力+慣性6令即簡諧運(yùn)動(dòng)特征：

a

∝x

（F

∝x），方向相反。（2）振動(dòng)微分方程（動(dòng)力學(xué)特征）由牛頓定律：以振子為對象簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程X0xFK7積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定設(shè)初始條件為:簡諧振動(dòng)表達(dá)式解得（3）振動(dòng)表達(dá)式（運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）解微分方程82.簡諧振動(dòng)基本特征線性回復(fù)力（1）受力F=-kx

（2）振動(dòng)微分方程（動(dòng)力學(xué)特征）（3）振動(dòng)表達(dá)式（運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）9由簡諧振動(dòng)表達(dá)式3.簡諧振動(dòng)的速度和加速度最大速度最大加速度速度加速度總結(jié)：簡諧振動(dòng)方程和特征（2）簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程（1）物體受線性回復(fù)力作用

平衡位置（3）簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（4）加速度與位移成正比而方向相反11二、描述簡諧振動(dòng)的三個(gè)重要參量

1.振幅A（1）周期T：完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間2.周期、頻率、圓頻率

（3）圓頻率：２秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)（2）頻率：單位時(shí)間內(nèi)所完成全振動(dòng)的次數(shù)圖周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)固有周期T固有頻率f固有圓頻率12位相的意義：表征任意時(shí)刻t物體振動(dòng)的狀態(tài)。

3.位相和初位相（1）位相：（2）初位相：0

，t=0時(shí)的位相，在0→2π

之間取值。

4.由初始條件確定振幅A和初位相φ0對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.初始條件13討論已知，求取X0

t=0時(shí),x0=0,v0<0v14X0v

t=0時(shí),x0=0,v0>0X0+A

t=0時(shí),x0=A,v0=0X0A／2

t=0時(shí),x0=A/2,v0<0v15AXoXotXo-AXoAXotttt16Δφ=φ2-φ1=φ20-φ10x1=A1cos(ω1t+φ10)

x2=A2cos(ω2t+φ20)兩個(gè)簡諧振動(dòng)的位相差

求兩個(gè)同頻率簡諧振動(dòng)x1，x2的位相差并討論其意義討論17（2）若

Δφ=φ20-φ10=±（2k+1）π

（k=0，1，2…）——兩個(gè)振動(dòng)的狀態(tài)相反?！胺聪唷保瑇1=－x2

，v1=－v2（1）若

Δφ=φ20-φ10=±2kπ

（k=0，1，2……）——兩個(gè)振動(dòng)的狀態(tài)相同。“同相”，x1=x2

，v1=v2為其它超前落后（3）若Δφ=φ20-φ10>0，表示x2

振動(dòng)超前x1

振動(dòng)。時(shí)動(dòng)力學(xué)分析：OAm１.單擺轉(zhuǎn)動(dòng)正向三、微振動(dòng)的簡諧近似——線性回復(fù)力矩令OAm轉(zhuǎn)動(dòng)正向注意：角速度ω、與角頻率ω區(qū)別角速度:2.復(fù)擺令*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向——角諧振動(dòng)*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向復(fù)擺彈簧振子單擺23P126

例4.1一質(zhì)量為m的物體懸掛于輕彈簧下端，不計(jì)空氣阻力，試證明其在平衡位置附近的振動(dòng)是簡諧振動(dòng).證:取坐標(biāo)如圖所示該系統(tǒng)作簡諧振動(dòng).A處：x處：24結(jié)論：一個(gè)簡諧振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)恒力作用（如mg），只要將原系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到恒力作用后新的平衡位置處，該系統(tǒng)仍是一個(gè)與原來系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征（F、ω…）相同的簡諧振動(dòng)系統(tǒng)，此時(shí)回復(fù)力F=mg–k（x+l）稱準(zhǔn)彈性力。以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).四簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法26

自O(shè)x軸的原點(diǎn)O作一矢量，使它的模等于振動(dòng)的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)O作逆時(shí)針方向的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與振動(dòng)圓頻率相等，這個(gè)矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量.旋轉(zhuǎn)矢量（1）t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量A與x軸夾角φ0(初位相）;

（2）旋轉(zhuǎn)矢量A以角速度ω沿逆時(shí)針方向，

t時(shí)刻，A與x軸夾角ωt+

φ0（位相）；（3）以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量A的端點(diǎn)，在x軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧振動(dòng)的圖30abcdovmv<0x>0x>0,v<0v<0v>0v>0x<0,v>0x>0,v>0x<0,v<0a點(diǎn)：x=A，φ0=0c點(diǎn)：x=－A，φ0=πb點(diǎn)：x=

0，v<0，平衡位置處，φ0=π/2d點(diǎn)：x=

0，v>0，平衡位置處，φ0=3π/2,或φ0=－π/2

P130例4.2如圖4.6所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一輕繩，繩過定滑輪掛一質(zhì)量為m的物體.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為R，若物體m在其初始位置時(shí)彈簧無伸長，然后由靜止釋放。(1)試證明物體m的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)；

(2)求此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期；

(3)寫出振動(dòng)方程.解(1)若物體m離開初始位置的距離為b時(shí)，受力平衡以此平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正向，當(dāng)物體m在坐標(biāo)x處時(shí)，有32由上4式解得此振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng).(2)圓頻率周期

33振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為(3)依題意知t＝0時(shí)，x0＝－b，v0＝0，xoAx0＝－bt=034P131例4.3已知如圖所示的諧振動(dòng)曲線，試寫出振動(dòng)方程.解：設(shè)諧振動(dòng)方程為t＝1s時(shí)，x＝2cm=A/2，v＞0，從圖中得：A＝4cm，t＝0時(shí)，x0=－2cm=－A/2，v0<0

由旋轉(zhuǎn)矢量法得由旋轉(zhuǎn)矢量法得1.動(dòng)能以彈簧振子為例設(shè)x(t)=Acos(ωt+0)

v(t)=－Aωsin(ωt+0)4.3簡諧振動(dòng)的能量OxX一、動(dòng)能和勢能2.勢能3.機(jī)械能作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)，動(dòng)能和勢能互相轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能守恒.簡諧振動(dòng)能量圖4T2T43T能量簡諧振動(dòng)勢能曲線簡諧振動(dòng)能量守恒，振幅A不變。能量守恒簡諧振動(dòng)方程導(dǎo)出（1）振動(dòng)的周期；（2）通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢能相等？補(bǔ)充例題質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：解：已知求:(1)振動(dòng)的周期T；(2)通過平衡位置的動(dòng)能Emax

（2）解（1）已知：求:(1)振動(dòng)的周期T；(2)通過平衡位置的動(dòng)能Emax

（4），即由解（3）求:(3)總能量E；(4)何處動(dòng)能和勢能相等?已知：42解(1)求諧振子的振動(dòng)方程取坐標(biāo)如圖所示，初始條件為t=0時(shí)，x0=0，v0=V0>0，P134

例4.4

如圖所示，光滑水平面上的彈簧振子由質(zhì)量為M的木塊和勁度系數(shù)為k的輕彈簧構(gòu)成.現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，速度為u0

的子彈射入靜止的木塊后陷入其中，此時(shí)彈簧處于自由狀態(tài).(1)試寫出該諧振子的振動(dòng)方程；(2)求出

處系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能.圓頻率振幅43諧振子的振動(dòng)方程為

由初始條件t=0時(shí)，x0=0，v0=V0>0

(2)時(shí)諧振系統(tǒng)的勢能和動(dòng)能分別為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)。一、兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成4.4簡諧振動(dòng)的合成*振動(dòng)的頻譜分析兩振動(dòng)的位相差:=常數(shù)兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)合成后仍為同頻率的簡諧振動(dòng)。兩振動(dòng)的位相差:=常數(shù)（1）位相差討論合振動(dòng)的振幅A與兩分振動(dòng)位相差的關(guān)系同相——加強(qiáng)合振動(dòng)振幅最大Amax=A1+A2（2）相位差反相——減弱合