第4章機(jī)械振動(dòng)

第5章機(jī)械振動(dòng)本章內(nèi)容§4-1簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征§4-2簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§4-3簡諧振動(dòng)的能量§4-4簡諧振動(dòng)的合成*振動(dòng)的頻譜分析§4-5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振tx廣義振動(dòng)：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。

振動(dòng)分類非線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。簡諧運(yùn)動(dòng)是最基本、最簡單的振動(dòng)。復(fù)雜振動(dòng)=簡諧振動(dòng)最簡單最基本的線性振動(dòng)。一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移x（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。彈簧諧振子特點(diǎn):

(1)等幅振動(dòng)(2)周期振動(dòng)簡諧振動(dòng)：動(dòng)畫§4.1

簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征水平彈簧振子由牛頓定律：令得：（彈簧振子的圓頻率）振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程m所受合外力：其解----回復(fù)力（正比x且反向）動(dòng)畫4.1.1

彈簧振子模型mkX0Fmk0x忽略空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)在平衡點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng).mAlθO重力矩：M=－mglsinθ根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：FP而J=ml2在小角度條件下sinθ≈θ(θ<5°)質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動(dòng)4.1.2

微振動(dòng)的簡諧近似

單擺(數(shù)學(xué)擺)復(fù)擺(物理擺)質(zhì)量為m的任意形狀的物體,繞過O點(diǎn)的水平軸作微小的自由擺動(dòng)，稱為復(fù)擺.OClθ??P設(shè)復(fù)擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,復(fù)擺的質(zhì)心C到O的距離為OC=lM=－mgl

sinθ當(dāng)θ很小時(shí),M=－mglθ由轉(zhuǎn)動(dòng)定律或重力矩：令簡諧運(yùn)動(dòng)微分方程1.受力特點(diǎn)線性恢復(fù)力(F=-kx)2.動(dòng)力學(xué)方程4.固有(圓)頻率彈簧振子:3.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)單擺

:判定簡諧振動(dòng)的方法例一質(zhì)量為m的物體懸掛于輕彈簧下端，不計(jì)空氣阻

力，試證明其在平衡位置附近的振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。證如圖所示，以平衡位置A為原點(diǎn)，向下為x軸正向，設(shè)某一瞬時(shí)振子的坐標(biāo)為x，則物體在振動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)方程為式中l(wèi)

是彈簧掛重物時(shí)的靜伸長，因?yàn)閙g=kl

,所以上式為）于是系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)。（式中l(wèi)AOxmg

可見，豎直彈簧振子與水平彈簧振子一樣作簡諧振動(dòng)。但是，必須注意，豎直彈簧振子的平衡位置不在彈簧原長處，重力改變了振動(dòng)的平衡位置。此式的解

例在圖中所示的各種情況下，證明系統(tǒng)做簡諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。kmmxOk證：（1）兩彈簧串聯(lián)等效于一個(gè)彈簧，設(shè)其勁度系數(shù)為k。當(dāng)彈簧伸長時(shí)，彈性力且有

所以

以平衡位置（）為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，在任意位置，m受力為kmmxO滿足簡諧振動(dòng)受力條件，所以系統(tǒng)做簡諧振動(dòng)。其周期為kmx（2）設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，彈簧伸長，則以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜向下為x軸正方向，物體在x位置時(shí)滿足諧振動(dòng)受力條件，系統(tǒng)作諧振動(dòng)。其周期4.2.1

簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程以彈簧振子為例，其動(dòng)力學(xué)方程為該方程的解即為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式中A和0為由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)?！?.2

簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)速度由振動(dòng)方程簡諧振動(dòng)的速度、加速度加速度x-t

曲線稱為振動(dòng)曲線1、振幅振動(dòng)中最大位移量4.2.2

描述簡諧振動(dòng)的三個(gè)重要參量由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程:由初始條件t=0時(shí)位移x0和速度v0聯(lián)立求解得:2、周期、頻率園頻率

周期

頻率

圓頻率(Hz)彈簧振子周期周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)注意周期T:物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間單擺周期復(fù)擺周期1）存在一一對應(yīng)的關(guān)系;2）位相在

內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；

3、位相3）初位相時(shí)的位相。描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(t+0

)

是t

時(shí)刻的位相。決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)初始條件t=0時(shí)位移x0和速度v0聯(lián)立求解得:用由初始條件決定的積分常數(shù)求初位相φ0由x=Acos(t+)-2A

02A

0-2A

a(t)

0

A

0-A

0

(t)

A

0-A

0

A

x(t)

23/2

/2

0t+

可知：要熟記典型0

值所相應(yīng)的振動(dòng)情況和振動(dòng)曲線(如圖)。

0

A

0-A

0

0

A

0

-A

0

A

x0

23/2

/2

0(取或)txOA-A

=2AXoXotXo-AXoAXotttt4、位相差超前和落后

txOA1-A1A2-A2x1x2若

=2-1>0,則x2比x1早達(dá)到正最大,稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落同相和反相(同頻率振動(dòng))當(dāng)

=2k兩振動(dòng)步調(diào)相同稱同相。xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相當(dāng)

=(2k+1)兩振動(dòng)步調(diào)相反

稱反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相已知表達(dá)式

A、T、

5、簡諧振動(dòng)的描述方法1）解析法(由振動(dòng)表達(dá)式)常數(shù)A和的確定已知A、T、

表達(dá)式由初始條件t=0時(shí)位移x0和速度v0oA-Atx

=/2T用振動(dòng)曲線描述簡諧振動(dòng)

已知振動(dòng)曲線

A、T、

已知A、T、

振動(dòng)曲線2）曲線法(由振動(dòng)曲線（為什么不取π

？)(2)由(1)中結(jié)果依題意，v＜0則例:一輕彈簧，一端固定，另一端連接一定質(zhì)量的物體。整個(gè)系統(tǒng)位于水平面內(nèi)，系統(tǒng)的角頻率為6.0s-1。今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放，試求：(1)簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；(2)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過A/2處時(shí)的速度。解：(1)·規(guī)定t+oxxtt=0·動(dòng)畫4.2.3

簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法用幾何方法來表示簡諧振動(dòng)作一矢量A,使它在oxy平面上繞點(diǎn)o作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),角速度ω,其矢量的端點(diǎn)M在x軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).這個(gè)矢量A就稱為旋轉(zhuǎn)矢量。

t=0時(shí),矢端在M0點(diǎn)，t時(shí)刻,矢端在M點(diǎn).M點(diǎn)的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為

x

。可見,矢量A作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其端點(diǎn)M在ox軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)M0M⑴⑶

t=0時(shí)的φ為初相位⑵逆時(shí)針轉(zhuǎn)角速度ω等于固有頻率

⑷t時(shí)刻A與x的夾角的ωt+φ為相位端點(diǎn)在x軸上的投影式·t+oxxtt=0va·M0M(1)把變速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng).(2)利用該方法可方便地畫出x-t,v-t,a–t圖(3)可方便地比較兩個(gè)振動(dòng)的位相,方便地求初位相(4)方便地進(jìn)行兩個(gè)振動(dòng)的合成旋轉(zhuǎn)矢量法的優(yōu)點(diǎn)oxotxaπ/4abωT/8bcc?d?dee?T/2???5T/8??T動(dòng)畫例.試畫出的x-t

圖線旋轉(zhuǎn)矢量圖的應(yīng)用1、求初相φ0=？t=0x=Acos(t+)已知初始條件t=0x=x0，v=v0求初相位0如圖，在x=x0處可有兩個(gè)狀態(tài)由速度確定v1x<0v2x>0v0<0,=1v0>0,=2vmvmx12ox0·12由位移和速度方向可判斷位相的范圍x>0,v<0?

Ⅰ象限x<0,v<0?Ⅱ象限x<0,v>0?Ⅲ象限x>0,v>0?Ⅳ象限Ⅰ象限Ⅱ象限Ⅲ象限Ⅳ象限2、用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相旋轉(zhuǎn)矢量振動(dòng)方程振動(dòng)曲線例OADCBx解質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動(dòng)，從A→B→O→C→D，請指出各點(diǎn)時(shí)的相位，并說明相應(yīng)的狀態(tài)。例質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k的彈簧組成的彈簧諧振子，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)。求：物體運(yùn)動(dòng)到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的最短時(shí)間。解：設(shè)t時(shí)刻到達(dá)末態(tài)。由已知畫出t=

0時(shí)刻的旋矢圖。由題意選實(shí)線所示的位矢。設(shè)始末態(tài)位矢夾角為，則得例解用相位分析問題A→A/2：相位變化從0→π/3，由A/2→0：相位變化從π/3→π/2，由

一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動(dòng)，T為已知，問：質(zhì)點(diǎn)從A→A/2和從A/2→0所需時(shí)間各為多少？解例已知振動(dòng)曲線，求振動(dòng)方程。由振動(dòng)曲線1，t＝0時(shí)，x0＝0，υ0>0由振動(dòng)曲線2，t＝0時(shí)，x0＝－3，υ0＝0？例：已知某質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，曲線如圖。求：振動(dòng)表達(dá)式。解：由圖知：A=2mt=0:由(1)解得：x(m)t(s)1-2121oxt=1s:由(3)解得：振動(dòng)方程為：x(m)t(s)1-212oxo例物體沿x軸諧振動(dòng)，A=12cm，T=2s，當(dāng)t=0時(shí)，物體的坐標(biāo)x=6cm，向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：(1)0及運(yùn)動(dòng)方程；解：(1)

t=0時(shí)(2)

t=0時(shí)A-Ao(2)物體在平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)開始計(jì)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程

超前相位例已知某簡諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解：設(shè)振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為例一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運(yùn)動(dòng),其振幅為0.08m,周期為4s,起始時(shí)刻在x=0.04m處,向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng).試求:(1)t=1.0s時(shí),物體所處的位置和所受的力;(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=－0.04m處所需要的最短時(shí)間.而v0=－ωAsinφ<0(1)t=1.0s時(shí)由上式解得x=－0.069mF=－kx=－mω2x=1.70×10－3N(2)設(shè)最短時(shí)間為t由受力為解:已知A=0.08m在t=0時(shí)有0.04=0.08cosφ所以例彈簧振子m=100g，把物從平衡位置向下拉10cm后釋放，已知T=2s,求：(1)物第一次經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度；(2)物第一次在平衡位置上方5cm處的加速度；(3)物從平衡位置下方5cm處向上運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方5cm處

所需時(shí)間。ox10cm解：x10xA=10φ=0-10-510xo由旋轉(zhuǎn)圖及條件知：-10-510xo(3)由條件知：ox10cm例:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm

t=0時(shí)x0=-9.8cm,

v0=0⑴取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程(2）若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。xOmx解：⑴確定平衡位置mg=kl

取為原點(diǎn)

k=mg/l

由初條件得由x0=-0.098,

取0=振動(dòng)方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0時(shí)x0=0，v0>0x=9.810-2cos(10t+3/2)m對同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，但、A不變固有頻率xOmx例教材130頁如彈簧諧振子§4.3簡諧振動(dòng)的能量1、動(dòng)能2、勢能3、機(jī)械能簡諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量ExO

諧振子的勢能曲線線性回復(fù)力是保守力，作簡諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.簡諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變4、一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢能在一個(gè)周期內(nèi)，平均動(dòng)能和平均勢能相等動(dòng)能勢能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒能量守恒簡諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)有時(shí)由諧振動(dòng)能量求諧振動(dòng)的特征量會(huì)更方便。

由起始能量求振幅（1）振動(dòng)的周期；（2）通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢能相等？例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為。

求：（2）解（1）（4）時(shí)由（3）解例教材134頁線性疊加（雙光束干涉的理論基礎(chǔ)）結(jié)論：合振動(dòng)x仍是簡諧振動(dòng)振動(dòng)頻率仍是§4.4

簡諧振動(dòng)的合成*振動(dòng)的頻譜分析4.4.1

同方向同頻率諧振動(dòng)的合成1、計(jì)算法2、旋轉(zhuǎn)矢量合成法

(1)若兩分振動(dòng)同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動(dòng)反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當(dāng)A1=A2時(shí),A=0則A=A1+A2,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)，則A=|A1-A2|,兩分振動(dòng)相互減弱，當(dāng)A1=A2時(shí),A=2A1(3）一般情況3、位相差對合振幅的影響同相反相例已知求合成振動(dòng)的表達(dá)式解:已知A1=6,φ1=0.75π;A2=8,φ2=0.25π合振動(dòng)為例:兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示)

(1)求合振動(dòng)的振幅。

(2)求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解:(1)t=0時(shí)，＞0＜0故，互為反相，合振幅最小(2)t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x當(dāng)21時(shí),

2-12+1，令其中隨

t緩變隨t快變合振動(dòng):分振動(dòng):結(jié)論：合振動(dòng)x可看做是振幅緩變的簡諧振動(dòng)。振動(dòng)時(shí)而加強(qiáng),時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍4.4.2

同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成xx2x1ttt拍頻:單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即

拍的現(xiàn)象

OOO動(dòng)畫一、同頻率的諧振動(dòng)合成線性相加：軌跡方程是橢圓即合成的一般結(jié)果是橢圓。質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)位移在一、三象限內(nèi)的一條直線上；任意時(shí)刻xyA1A2O1)*4.4.4

兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成為二、四象限內(nèi)的一條直線。3)橢圓方程，主軸平行坐標(biāo)軸右旋（順時(shí)針）左旋（逆時(shí)針）4)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為斜橢圓xyA1A2OxyA1A2O2)

=0

=/2

=

=3/2

=/4

=3/4

=5/4

=7/4動(dòng)畫右旋例

用旋矢法作圖動(dòng)畫a)b)振動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)c)正橢圓若（偏振光干涉的理論基礎(chǔ)）例

特殊結(jié)果圓測量振動(dòng)頻率和相位的方法動(dòng)畫*4.4.5

兩個(gè)相互垂直的不同頻率簡諧振動(dòng)的合成軌跡稱為李薩如圖形簡諧振動(dòng)的合成yxA1A2o-A2-A1兩分振動(dòng)頻率相差很小可看作兩頻率相等而2-1隨ｔ緩慢變化合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化兩振動(dòng)的頻率成簡單整數(shù)比合成振動(dòng)軌跡是穩(wěn)定的閉合曲線測未知頻率系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，受到粘性阻力作用后，能量將隨時(shí)間逐漸衰減。系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比比例系數(shù)叫阻力系數(shù)。1、振動(dòng)的微分方程(以彈簧振子為例)阻尼系數(shù):固有角頻率如果能振動(dòng)起來（欠阻尼情況）上述方程的解是什么形式呢？2、振動(dòng)表達(dá)式和振動(dòng)曲線從物理上考慮：如果無