江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.6雙曲線課件理

§9.6雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.雙曲線定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的

等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做

，兩焦點(diǎn)間的距離叫做

.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)不存在.知識(shí)梳理距離的差的絕對(duì)值雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦距2a<F1F22a＝F1F22a>F1F22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍________________________________________對(duì)稱性對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：_____頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線________________離心率e＝

，e∈_________，其中c＝_______x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)(1，＋∞)性質(zhì)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)A1A2＝

；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)B1B2＝

；a叫做雙曲線的

，b叫做雙曲線的_________a、b、c的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)2a2b實(shí)半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng)a2＋b2知識(shí)拓展巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線

＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為

＝t(t≠0).(2)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為

＝1(mn<0).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)(2)方程

＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(

)(3)雙曲線方程

＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是

＝0，即

＝0.(

)××√(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(

)(5)若雙曲線

＝1(a>0，b>0)與

＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則

＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).(

)√√考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)若雙曲線

＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為_(kāi)___.答案解析由題意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.2.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，AB＝

，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)___.答案解析4由題設(shè)C：

＝1.∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.3.(2016·無(wú)錫一模)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y＝

，那么雙曲線的離心率為_(kāi)____.答案解析根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為

＝1，即雙曲線的離心率為.4.(2016·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線

＝1的焦距是_____.答案解析由已知，a2＝7，b2＝3，則c2＝7＋3＝10，故焦距為2c＝.5.雙曲線

－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_____.答案解析雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，一條漸近線方程是y＝

，即x－2y＝0，則頂點(diǎn)到漸近線的距離題型分類深度剖析題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1利用定義求軌跡方程例1

已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_________________.答案解析x2－

＝1(x≤－1)幾何畫(huà)板展示如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得MC1－AC1＝MA，MC2－BC2＝MB，因?yàn)镸A＝MB，所以MC1－AC1＝MC2－BC2，即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C2＝6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－

＝1(x≤－1).命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程例2

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為

；解答設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，2b＝12，e＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)；解答∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(－3,)和Q(，－7).解答∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題點(diǎn)3利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例3

已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF1＝2PF2，則cos∠F1PF2＝___.答案解析∵由雙曲線的定義有PF1－PF2＝PF2＝2a＝

，∴PF1＝2PF2＝

，幾何畫(huà)板展示引申探究1.本例中，若將條件“PF1＝2PF2”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？解答不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1－PF2＝2a＝

，在△F1PF2中，由余弦定理，得所以PF1·PF2＝8，所以2.本例中，若將條件“PF1＝2PF2”改為“

＝0”，則△F1PF2的面積是多少？解答不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1－PF2＝2a＝

，所以(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1－PF2|＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與PF1·PF2的聯(lián)系.(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過(guò)程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為

＝λ(λ≠0)，再由條件求出λ的值即可.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線

＝1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則AP＋AF2的最小值為_(kāi)_________.由題意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∴AP＋AF2的最小值為AP＋AF1－2a＝.答案解析幾何畫(huà)板展示(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線

＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝

，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__.答案解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，PF1＝r1，PF2＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例4

(1)(2016·鹽城三模)若圓x2＋y2＝r2過(guò)雙曲線

＝1的右焦點(diǎn)F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形OAFB為菱形時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi)___.答案解析2若四邊形OAFB為菱形，且點(diǎn)A在圓x2＋y2＝r2上，則點(diǎn)A坐標(biāo)為()，此時(shí)r＝c.又點(diǎn)A在漸近線上，所以

，(2)(2015·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：

＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點(diǎn)O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_(kāi)___.答案解析由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為y＝

，直線OB的方程為y＝.設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則

，∵△OAB的垂心為F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，設(shè)C1的離心率為e，則雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝

滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·全國(guó)甲卷改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：

＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝

，則E的離心率為_(kāi)____.答案解析離心率e＝

，由正弦定理得題型三直線與雙曲線的綜合問(wèn)題例5

(2016·蘇州模擬)已知橢圓C1的方程為

＋y2＝1，雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別是C1的左，右頂點(diǎn)，而C2的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左，右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C2的方程；解答設(shè)雙曲線C2的方程為

＝1(a>0，b>0)，則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程為

－y2＝1.(2)若直線l：y＝kx＋

與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.解答將y＝kx＋

代入

－y2＝1，得(1－3k2)x2－

－9＝0.由直線l與雙曲線C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得∴k2≠且k2<1. ①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵>2，得x1x2＋y1y2>2，解得<k2<3，

②由①②得<k2<1.故k的取值范圍為.(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來(lái)判定.(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題，但需要檢驗(yàn).思維升華跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：

＝1.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若

，則直線l的斜率為_(kāi)__．答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入雙曲線方程聯(lián)立解得所以A(4,3)，B(－2,0)或A(－4,3)，B(2,0)，即直線l的斜率為±.典例已知雙曲線x2－

＝1，過(guò)點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？直線與圓錐曲線的交點(diǎn)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列10(1)“點(diǎn)差法”解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，要考慮變形的條件.(2)“判別式Δ≥0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的通用方法.錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得返回解設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意.設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0). ①由題意，得

＝1，解得k＝2.當(dāng)k＝2時(shí)，方程①可化為2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解.∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn).返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·泰州聯(lián)考)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為_(kāi)_________.答案解析依題意解得∴雙曲線C的方程為

＝1.12345678910111213142.(2016·全國(guó)乙卷改編)已知方程

＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是________.答案解析∵方程

＝1表示雙曲線，(－1,3)∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.12345678910111213143.(2016·鹽城模擬)已知雙曲線

＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與該雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝5，則△ABF1的周長(zhǎng)為_(kāi)___.答案解析由雙曲線

＝1，知a＝4.26由雙曲線定義AF1－AF2＝BF1－BF2＝2a＝8，∴AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋16＝21，∴△ABF1的周長(zhǎng)為AF1＋BF1＋AB＝21＋5＝26.12345678910111213144.(2016·北京)已知雙曲線

＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝____，b＝____.答案解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以

＝2.1又c＝

，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.212345678910111213145.已知點(diǎn)F是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是______.答案解析由題意易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－c,0)，A(－c，)，B(－c，)，E(a,0)，∵△ABE是銳角三角形，(1,2)∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2).整理得3e2＋2e>e4，12345678910111213146.(2016·浙江)設(shè)雙曲線x2－

＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則PF1＋PF2的取值范圍是________.答案解析如圖，由已知可得a＝1，b＝

，c＝2，從而F1F2＝4，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)PF2＝m，則PF1＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義需滿足解得－1＋

＜m＜3，又PF1＋PF2＝2m＋2，∴

＜2m＋2＜8.12345678910111213147.(2016·南京三模)設(shè)F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF的中點(diǎn)恰為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)___.答案解析不妨設(shè)雙曲線方程為

＝1(a>0，b>0)，設(shè)F(－c,0)，線段PF的中點(diǎn)為(0，b)，則P(c,2b).由點(diǎn)P在雙曲線上，得

－4＝1，所以e＝.12345678910111213148.設(shè)雙曲線

＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且△PF1F2的面積為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)________.由雙曲線

＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，所以F1F2＝6，設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，因?yàn)椤鱌F1F2的面積為6，所以

F1F2·y＝

×6×y＝6，解得y＝2，將y＝2代入

＝1得x＝.所以P(，2).答案解析12345678910111213149.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)M，使得

＝0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且

，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.答案解析1234567891011121314在△MF1F2中，邊F1F2上的中線等于F1F2的一半，可得

.∴根據(jù)雙曲線定義得∴雙曲線的離心率e＝

＋1.123456789101112131410.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C：

－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若<0，則y0的取值范圍是__________.答案解析由題意知a＝

，b＝1，c＝

，∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，123456789101112131411.已知雙曲線

＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF1＝4PF2，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)__.答案解析由定義，知PF1－PF2＝2a.又PF1＝4PF2，∴PF1＝

a，PF2＝

a.在△PF1F2中，由余弦定理，得要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，∴當(dāng)cos∠F1PF2＝－1時(shí)，得e＝

，即e的最大值為.123456789101112131412.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－

＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A().當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi)_____.答案解析設(shè)左焦點(diǎn)為F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周長(zhǎng)為AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周長(zhǎng)最小即為AP＋PF1最小，當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)在一條直線時(shí)最小，過(guò)AF1的直線方程為

＝1，與x2－

＝1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為()，此時(shí)123456789101112131413.(2016·江西豐城中學(xué)模擬)一條斜率為1的直線l與離心率為

的雙曲線

＝1(a>0，b>0)交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且

＝－3，

，求直線和雙曲線的方程.解答1234567891011121314∵e＝

，∴b2＝2a2，設(shè)直線l的方程為y＝x＋m.∴雙曲線方程可化為2x2－y2＝2a2.x2－2mx－m2－2a2＝0，∴Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，∴直線l一定與雙曲線相交.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.∴x1＝－3x2，∴x2＝－m，

＝－m2－2a2.1234567891011121314消去x2，得m2＝a2.

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，∴m＝±1，a2＝1，b2＝