天津大學(xué)812 自動控制原理課件 第3章 線性系統(tǒng)的時域分析方法

第三章線性系統(tǒng)的時域分析法

在經(jīng)典控制理論中，分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性常見方法有：

時域分析法、根軌跡法和頻域分析法。3-1線性系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)一、系統(tǒng)對典型信號輸入的響應(yīng)過程

動態(tài)過程：又稱過渡過程或暫態(tài)過程，指在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。

穩(wěn)態(tài)過程：在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。二、動態(tài)性能指標(biāo)與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

動態(tài)性能指標(biāo)：在單位階躍輸入信號作用下，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程隨時間變化的指標(biāo)。常用動態(tài)性能指標(biāo)：延遲時間td

指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到系統(tǒng)終值一半所需時間。上升時間tr

指響應(yīng)從終值10%上升到終值90%所需時間。峰值時間tp

指響應(yīng)超過終值到達(dá)第一個峰值所需時間。調(diào)節(jié)時間ts

指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%（或±2%）內(nèi)所需時間。超調(diào)量σ%

指系統(tǒng)響應(yīng)的峰值相對終值的偏移占系統(tǒng)終值大小的百分比。有振蕩周期、振蕩次數(shù)、衰減率等。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：常用穩(wěn)態(tài)誤差表示。3-2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)即為慣性環(huán)節(jié)，有

一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入信號為單位階躍，則因此有（t≥0）

響應(yīng)特點(diǎn)：1、初始斜率為1/τ；2、系統(tǒng)無超調(diào),無峰值；

動態(tài)性能指標(biāo)：

td=0.69τtr=2.20τtS=3τ二、單位脈沖響應(yīng)

則響應(yīng)特點(diǎn)：為單調(diào)下降曲線，響應(yīng)幅度為1/τ，初始變化率為，tS=3τ。三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)有特點(diǎn)：響應(yīng)初始斜率為0，響應(yīng)的位置誤差由小變大，最后趨于τ；響應(yīng)的速度誤差由大變小，最后趨于0，速度響應(yīng)的指標(biāo)與對應(yīng)階躍響應(yīng)指示一致。四、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)有結(jié)論：跟蹤誤差隨時間推移而增大，直到無窮，不能實(shí)現(xiàn)對加速度的跟蹤。3-3二階系統(tǒng)的時域分析

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)可用如下框圖表示，開環(huán)傳函為慣性環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)，并有：令系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：閉環(huán)極點(diǎn)分布規(guī)律：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)與ξ有關(guān)

(1)0<ξ<1（欠阻尼情況）

有其中則響應(yīng)為（t≥0,0<ξ<1）得：由于ξ>0，則為衰減分量，令，稱為衰減系數(shù)。欠阻尼下單位階躍響應(yīng)曲線（2）ξ=1（臨界阻尼情況）有系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升曲線。

（3）ξ>1（過阻尼情況）系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升曲線。

（4）ξ=0（零阻尼情況）h(t)=1-cosωnt（5）-1≤ξ<0有兩共軛復(fù)根，實(shí)部大于0。討論：由于ξ<0，則隨時間的推移而無限增長，因此系統(tǒng)輸出為發(fā)散的正弦振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）當(dāng)ξ=-1時有系統(tǒng)發(fā)散，但無振蕩。（7）ξ<-1時，系統(tǒng)響發(fā)散，但無振蕩。三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析特征根特性如圖所示：

衰減系數(shù)σ：閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸間的距離；阻尼振蕩頻率ωd:

閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸間的距離；自然角頻率ωn：閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離；阻尼比ξ：閉環(huán)極點(diǎn)與原點(diǎn)間連線相對負(fù)實(shí)軸的夾角的余弦即ξ=cosβ，稱β為阻尼角；(1)延遲時間

td

令h(td)=0.5可得ωntd與ξ間為隱函數(shù)關(guān)系，利用曲線擬合法，可得如下近似公式：當(dāng)0<ξ<1時，可簡化為(2)上升時間tr的計算由于欠阻尼時，系統(tǒng)存在超調(diào)，且開始為單調(diào)上升，上升時間定義為輸出從0到穩(wěn)態(tài)值時間。令h(tr)=1得推得結(jié)論：當(dāng)β（或ξ）一定時，系統(tǒng)的響應(yīng)速度與ωn成正比（上升時間與ωn成反比）；當(dāng)ωn一定時，ξ越小，上升時間越短。(3)峰值時間tp的計算將輸出響應(yīng)對t求導(dǎo)，并令其為0，則有整理得：由于，則ωdtp=0，π，2π，3π,…等，應(yīng)取ωdtp=π，得：結(jié)論：峰值時間tp等于阻尼振蕩周期的一半，與閉環(huán)極的虛部數(shù)值成反比。(4)超調(diào)量σ%的計算由于，則有：

考慮到,求得：結(jié)論：超調(diào)量σ%僅是阻尼比ξ的函數(shù)，與自然角頻率ωn無關(guān)。σ%與ξ間的關(guān)系曲線如圖所示，一般取ξ=0.4-0.8時，σ%介于1.5%-25.4%之間。(5)調(diào)節(jié)時間ts的計算響應(yīng)曲線在兩指數(shù)曲線之間為對稱于的包絡(luò)線，如圖所示為ξ=0.707時的輸出響應(yīng)。令Δ為實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出的誤差，則有顯然上式的右邊如果進(jìn)入了誤差帶，則輸出響應(yīng)一定進(jìn)入了誤差帶。由可得：（當(dāng)Δ=0.05,ξ<0.8時）（當(dāng)Δ=0.02,ξ<0.8時）結(jié)論：調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比。

總結(jié)：1、2、3、4、5、（當(dāng)Δ=0.05,ξ<0.8時）（當(dāng)Δ=0.02,ξ<0.8時）td,tr,tP,ts

由ξ和ωn共同確定，它們之間相互關(guān)聯(lián)；而σ%由ξ唯一確定。有些指標(biāo)對ξ和ωn的要求相互矛盾，如上升時間與超調(diào)量，在系統(tǒng)設(shè)計時往往不能兼顧。另外，在實(shí)際的系統(tǒng)中ξ和ωn間也是相互關(guān)聯(lián)的，設(shè)計時需進(jìn)行折衷處理。

設(shè)計二階系統(tǒng)一般原則：由超調(diào)量σ%確定系統(tǒng)的阻尼比ξ，再由其它指標(biāo)確定ωn。例:設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)σ%=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量td,tr,ts。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：可得：，由得

由得：從而解得：進(jìn)而得：

=0.374（s）

=0.651(s)=2.174(s)四、過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析

閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中T1，T2為時間常數(shù)，有T1>T2。輸入為單位階躍時，有階躍響應(yīng)：（t≥0）采用曲線擬合法求取系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)（1）（2）（3）ts的求取采用圖表方法，根據(jù)ts/T1

與T1/T2

間的關(guān)系曲線求得。如圖所示，圖中ξ值可由下式求得：五、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)輸出的拉氏變換（1）欠阻尼單位斜坡響應(yīng)（t≥0）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為暫態(tài)分量為

系統(tǒng)的誤差響應(yīng)為

因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對e(t)求導(dǎo)并令其為零,可得誤差響應(yīng)的峰值時間為

(與階躍響應(yīng)的上升時間相同)誤差響應(yīng)的峰值為令誤差響應(yīng)相對穩(wěn)態(tài)誤差的相對偏移為d(t)

則有由上式可求得當(dāng)d(t)進(jìn)入誤差帶(5%)時的調(diào)節(jié)時間為（2）臨界阻尼單位斜坡響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)誤差為可求得5%誤差帶調(diào)節(jié)時間為（2）過阻尼單位斜坡響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)誤差為六、二階系統(tǒng)性能的改善（1）部分分式法的討論設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)無重根，表示為則單位階躍響應(yīng)的拉斯變換為：得輸出響應(yīng)為：其中：（取模）另外輸出響應(yīng)也可改為如下形式：其中

（2）比例—微分控制

則開環(huán)傳函為令z=1/Td

則閉環(huán)傳函為：

由此看出，閉環(huán)傳函中增加了一閉環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)阻尼比增大。求得單位階躍響應(yīng)為：其中由于,因此令

則有1、峰值時間tP對輸出響應(yīng)h(t)求導(dǎo)，并令其等于零，有由于γ∈[0，π)則有當(dāng)z趨于無窮大（即無零點(diǎn)）時，γ=0，則與無零點(diǎn)時公式一致。2、超調(diào)量σ%

將tP代入輸出響應(yīng)，得從而有：3、上升時間tr

由h(tr)=1,得4、調(diào)整時間tS

由等式確定，結(jié)論：比例—微分控制可以增大二階系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)自然角頻率。（3）測速反饋控制改善二階系統(tǒng)特性方法如圖所示，引入速度負(fù)反饋?？汕蟮脙?nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)（即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)）令則框圖簡化為

結(jié)論：與不加速度反饋比較，系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加，開環(huán)增益降低（由降為），系統(tǒng)的自然角頻率不變。由于開環(huán)增益降低，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差增大，在實(shí)際設(shè)計中，可預(yù)先適當(dāng)增大原被控對象的開環(huán)增益，達(dá)到減小或消除此影響。3-4高階系統(tǒng)的時域分析設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)無重根單位階躍響應(yīng)的拉斯變換：輸出響應(yīng)：結(jié)論：1、閉環(huán)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部絕對值越大，則其對應(yīng)的響應(yīng)分量衰減越快；2、極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)由閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布決定；3、如果一對閉環(huán)零、極點(diǎn)相距很近時，則極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)很小，一般可以忽略；在工程實(shí)際中，常常忽略遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)、及附近有閉環(huán)零點(diǎn)存在的極點(diǎn)，從而把高階系統(tǒng)簡化為低階系統(tǒng)，并以此估算高階系統(tǒng)的性能指標(biāo)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸（實(shí)部數(shù)值大5倍以上），則系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)常為共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。一般用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性：若線性系統(tǒng)在干擾影響下偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)干擾消失后，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（平衡狀態(tài)），則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的固有特性決定，與外界因素?zé)o關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均左半s平面。一、胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（1）穩(wěn)定性的初步判別系統(tǒng)特征方程：（）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正且不缺項(xiàng)。特征方程變?yōu)椋河捎谝虼?，上式展開后的各項(xiàng)系數(shù)均大于零。（2）胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其順序主子式（i=1,2,3,…,n-1)全部為正。

---規(guī)律:

對角線由a1,a2,…,an組成。以對角線元素為標(biāo)準(zhǔn)，在各列上，從上到下系數(shù)序號遞減，直到a0;從下到上系數(shù)序號遞增，直到an;其它空白項(xiàng)為零。（3）勞斯穩(wěn)定性判據(jù)將系統(tǒng)特征方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：（）并將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表：表中的系數(shù)關(guān)系為：┅┅直到其余的b值全部等于0為止。┅┅規(guī)律：表中的第一行由特征方程的1、3、5、┅項(xiàng)系數(shù)組成，第二行由特征方程的2、4、6、┅項(xiàng)系數(shù)組成；計算表中某行系數(shù)時，分母為上一行第一列的值，分子為上兩行第一列和上兩行的待求系數(shù)后一列構(gòu)成的2階行列式乘以-1；勞斯表中的空白項(xiàng)看成0值。計算中各行可同乘以任一正數(shù)，不影響判定結(jié)果。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正。如果勞斯表第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號改變的次數(shù)，代表特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。例：特征方程為解：系統(tǒng)勞斯表為第一列有兩次變號，系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且系統(tǒng)有兩個正實(shí)部根。勞斯表穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況：1、勞斯表中某行的第一列為0，而其余各項(xiàng)不全為0。當(dāng)計算下一行時，將出現(xiàn)無窮大數(shù)，從而無法進(jìn)行判定。解決辦法：方法1：在原特征方程中乘以（s+a)因子，構(gòu)成新的特征方程，其中a為大于0的正數(shù)，再對新的特征方程進(jìn)行勞斯表判定。例：系統(tǒng)統(tǒng)特征方程：則有原方和乘（s+1)，得第1列中的各項(xiàng)數(shù)值的符號改變了兩次，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。方法2：用一個有限小的變量ε代替第一列為零的那一項(xiàng)，然后按通常方法計算其余各項(xiàng)。如果ε的上、下兩項(xiàng)符號不同，則表明有一次符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：上面的例子可如下計算：當(dāng)ε趨于0時，是一個很大的負(fù)值，則第1列的數(shù)值的符號改變了兩次，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2、勞斯表中出現(xiàn)全0行解決辦法：用全0行的上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程，并對輔助方程求導(dǎo)，所得系數(shù)取代全0行的各項(xiàng)。輔助方程的根為特征方程的共軛虛根。例：系統(tǒng)的特征方程為：勞斯表為：作輔助方程則新的勞斯表為勞斯表中第一列無符號改變，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、穩(wěn)態(tài)誤差

指對穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間存在的誤差。如圖所示，對于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的期望值為R(s)，實(shí)際輸出為C(s)，誤差為：

穩(wěn)態(tài)誤差為，根據(jù)拉斯變換的終值定理，有

非單位反饋系統(tǒng)，如圖所示，此時誤差可以在輸入端定義也可在輸出端定義。在輸入端：系統(tǒng)輸入量與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的反饋測量值之差。在實(shí)際系統(tǒng)中可測量。在輸出端：系統(tǒng)期望的輸出值與實(shí)際穩(wěn)態(tài)輸出值之差。在實(shí)際系統(tǒng)中常無法測量。

約定：實(shí)際采用輸入端定義誤差方法。有：則穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有關(guān)。二、系統(tǒng)類型設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為ν表示開環(huán)傳函中s平面上原點(diǎn)上的極點(diǎn)重根數(shù)（串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）。為分析方便，令則有由于，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由系統(tǒng)開環(huán)增益K、ν及R(s)決定。根據(jù)ν的取值不同把系統(tǒng)分為如下類型系統(tǒng)：0型系統(tǒng)：ν

=0Ⅰ型系統(tǒng)：ν

=1Ⅱ型系統(tǒng)：ν

=2Ⅲ型系統(tǒng)：ν

=3三、參考信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差

1、階躍響應(yīng)設(shè)輸入信號,則由穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式得令，稱為位置誤差系數(shù)，且有