第五章 代數(shù)系統(tǒng)

第五章代數(shù)系統(tǒng)1第五章代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)通常被認(rèn)為是符號(hào)的操作，其發(fā)展分為兩個(gè)歷史階段。古典代數(shù)（19世紀(jì)以前）：“每一個(gè)符號(hào)總是代表一個(gè)數(shù)”近世代數(shù)（19世紀(jì)以后）：符號(hào)可以代表任何東西，把在任意性質(zhì)的元素上所進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算作為研究的基本對(duì)象。近世代數(shù)發(fā)展中的代表人物：挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（N.H.Abel)、法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦（E.Galois)、英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根(A.De.Morgan)和布爾(G.Boole).2第五章代數(shù)系統(tǒng)由集合上定義若干個(gè)運(yùn)算而組成的系統(tǒng),通稱代數(shù)系統(tǒng).代數(shù)系統(tǒng)是近世代數(shù)研究的中心問題，是數(shù)學(xué)中最重要、最基礎(chǔ)的分支之一，其理論不僅是許多數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，而且在通信理論、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。特別在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，是諸如程序設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語言、編碼理論、邏輯電路設(shè)計(jì)等領(lǐng)域必不可少的理論基礎(chǔ)。35.1代數(shù)系統(tǒng)的引入集合A上的運(yùn)算一元運(yùn)算三元二元小于等于x的最大數(shù)大于等于x的最小數(shù)a的倒數(shù)ifx=0thenyelsez4定義1n元運(yùn)算對(duì)于集合A,一個(gè)從An到B的映射,稱為集合A上的一個(gè)n元運(yùn)算.若B

A則稱該n元運(yùn)算是封閉的.*一元二元五一元桔子水可口可樂二元五可口可樂冰淇淋例<I,+>整數(shù)集合上的加法運(yùn)算封閉<I-{0},+>不封閉(如：-3+3=0)不封閉5定義2代數(shù)系統(tǒng)一個(gè)非空集合A連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算f1,f2,…,fk所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),記作<A,f1,f2,…,fk>.例6例1時(shí)鐘代數(shù)給定代數(shù)系統(tǒng)V=<Im,>，其中Im={1，2，…,m}為一元運(yùn)算V通常稱為時(shí)鐘代數(shù)從1開始,能逐步產(chǎn)生Im中每一個(gè)元素,1是生成元。7例2模m同余運(yùn)算8例3：函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算9例3：函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算10115.2運(yùn)算及其性質(zhì)12運(yùn)算的性質(zhì)設(shè),是定義在集合A上的二元運(yùn)算,如果對(duì)于任意的x,y,z

A,1.若總有x

y

A，則稱二元運(yùn)算在A上是封閉的；2.若總有x

y=y

x，則稱是可交換的；3.若總有(x

y)z=x

(y

z)，則稱是可結(jié)合的；4.若總有x

(y

z)=(x

y)(x

z)

(y

z)x=(y

x)(z

x)

則稱運(yùn)算對(duì)是可分配的；13運(yùn)算的性質(zhì)5.若總有x

(x

y)=x

x

(x

y)=x

則稱運(yùn)算和運(yùn)算滿足吸收律；6.若總有x

x=x，則稱運(yùn)算是冪等的。14例N,I,Q,R上的普通加法和乘法：冪集P(S)上的∩和∪：命題邏輯中的和：封閉、可交換、可結(jié)合、乘法對(duì)加法是可分配。封閉、可交換、可結(jié)合、互相可分配、滿足吸收律和冪等律封閉、可交換、可結(jié)合、互相可分配、滿足吸收律和冪等律15幺元設(shè)是定義在集合A上的二元運(yùn)算,若有el

A,對(duì)于任意的x

A,er

Ax

er=xe

Ae

x=x

e=x都有el

x=x，則稱el為A中關(guān)于運(yùn)算的左幺元；右幺元；幺元。16例α為幺元、為左幺元17定理設(shè)是定義在集合A上的二元運(yùn)算,且在A中有關(guān)于運(yùn)算的左幺元el和右幺元er，則el=er=e，且A中的幺元是唯一的。證明el=el

er=er

=e設(shè)另有一幺元e1,則e1=e1

e

=e18零元設(shè)是定義在集合A上的二元運(yùn)算,若有

l

A,對(duì)于任意的x

A,

r

Ax

r=

r

A

x=x

=都有

l

x=

l，則稱el為A中關(guān)于運(yùn)算的左零元；右零元；零元。19定理設(shè)是定義在集合A上的二元運(yùn)算,且在A中有關(guān)于運(yùn)算的左零元

l和右零元

r，則

l=

r=

，且A中的零元是唯一的。證明

l=

l

r=

r

=設(shè)另有一零元

1,則

1=

1

=20定理設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,>,且|A|>1。如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元，則e。證明用反證法。設(shè)e=,則對(duì)于任意的

x

A,必有x=ex=x==e于是A中只有一個(gè)元素，與假設(shè)矛盾。21逆元設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,>,是定義在A上的二元運(yùn)算,且e是A中關(guān)于運(yùn)算的幺元。如果對(duì)于a

A,

b

A,a

b=e，如果b既是a的左逆元又是a的右逆元，則稱b是a的逆元，記為a-1=b.顯然a和b互為逆元.使b

a=e，則稱b為a左逆元；右逆元；22定理設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,>,這里是定義在A上的一個(gè)二元運(yùn)算，A中存在幺元e,且每一個(gè)元素都有左逆元。如果是可結(jié)合的,則該代數(shù)系統(tǒng)中任何一個(gè)元素的左逆元必定是該元素的右逆元，且每個(gè)元素的逆元是唯一的。1)如果b是a的左逆元，則b是a的右逆元；2)每個(gè)元素的逆元唯一，即如果a有兩個(gè)逆元b和c，

則b=c.證明思路23證明設(shè)a,b,c

A,且b是a的左逆元，c是b的左逆元，則b是a的右逆元設(shè)元素a有兩個(gè)逆元b和c，則a的逆元是唯一的24例:求幺元、零元、逆元N,I,Q,R上的普通加法+和乘法*+：幺元0，a-1=-a；*：幺元1，零元0，a-1=1/a；命題公式集合上的和：幺元F，零元T：幺元T，零元F冪集P(S)上的∪和∩∪：幺元，零元S∩：幺元S，零元25例在<Q,>中,Q為有理數(shù)集.對(duì)所有的a,bQ,ab=a+b-ab試討論<Q,>的運(yùn)算性質(zhì),有幺元、零元、逆元?解對(duì)于所有a,b,cQ,

26例（續(xù)）3)幺元e4)零元5)逆元x時(shí)27例已知為A上的二元運(yùn)算,它的幺元也是零元,問A是什么集合?設(shè)a

A,且a為A上的幺元和零元，對(duì)任意的x

A，有a

x=x

a=x（幺元）a

x=x

a=a（零元）x=a,即A={a},A必為單元素集。解：28例設(shè)A上的二元運(yùn)算滿足結(jié)合律,且對(duì)a,b

A由ab=ba得a=b.試證：對(duì)任意的自然數(shù)n,有an=a.證明 對(duì)n用歸納法當(dāng)n=1時(shí),a1=a，n=2時(shí),a2=aa因?yàn)闈M足結(jié)合律a

(aa)=(aa)a又因ab=ba得a=b，aa=a,即a2=a設(shè)n=k時(shí)ak=a成立ak+1=aka=aa=a所以對(duì)任意的n,有an=a成立。29運(yùn)算表與運(yùn)算的性質(zhì)設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,>，運(yùn)算的性質(zhì)可以從運(yùn)算表中看出封閉性：表中的每個(gè)元素都屬于A;交換性：表關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱；冪等性：主對(duì)角線上的每一個(gè)元素與它所在行（列）的表頭元素相同；有零元：該元素所對(duì)應(yīng)的行和列中的元素都與該元素相同；30運(yùn)算表與運(yùn)算的性質(zhì)（續(xù)）有幺元：該元素所對(duì)應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致；設(shè)A中有幺元，a和b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。31例判斷運(yùn)算*的性質(zhì)封閉可交換幺元:aa的逆元是a,b和c互為逆元*abcaabcbbcaccab325.3半群33廣群、半群一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)<S,>,其中S是非空集合，是S上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是封閉的，則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,>為廣群。如果運(yùn)算是封閉的、可結(jié)合的,則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,>為半群。是半群不是半群例34例設(shè)集合Sk={x|x

I

x

k},k

0,判斷<Sk,+>是否為半群,其中+是普通的加法;如果k0？當(dāng)k

0時(shí)，<Sk,+>是半群。因?yàn)?在Sk上是封閉的、可結(jié)合的。如果k

0時(shí)，<Sk,+>不是半群，如：k

=-3x

-3時(shí)（-3）+（-2）=-5S-3，運(yùn)算不封閉。解35定理設(shè)<S,>是一個(gè)半群，B

S且在B上是封閉的，那么<B,>也是一個(gè)半群。通常稱<B,>是半群<S,>的子半群。設(shè)<S,>是一個(gè)半群，如果S是一個(gè)有限集合，則必有aS,

使得aa=a。即S中必有等冪元。因?yàn)镾是有限集,所以必定存在j

i,使得bi=bj令p=j-i,便有bi=bp

bi證明思路36證明因?yàn)?lt;S,>是一個(gè)半群,對(duì)于任意的bS,

由封閉性可知：b2=bb

S,b3=b2b=bb2

S…因?yàn)镾是有限集,所以必定存在j

i,使得bi=bj令p=j-i,便有bi=bp

bi,所以對(duì)于q

i,有bq=bp

bq因?yàn)閜

1，所以總可以找到k

1，使得kp

i對(duì)于S中的元素bkp，就有所以S中存在元素a=bkp使得aa=a.37獨(dú)異點(diǎn)（含幺半群）含有幺元的半群稱為獨(dú)異點(diǎn).（封閉結(jié)合幺元）例：幺元為0幺元為1幺元為

幺元為S幺元為恒等函數(shù)38定理設(shè)<S,>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn),則在的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的.證明設(shè)幺元是e,因?yàn)閷?duì)于任意的a,b

S,且 ab時(shí)，總有 e

a=ab=e

b（無兩列同） a

e=ab=b

e（無兩行同）所以在的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。eabeeabaabebbea39例已知<Zm,+m>試證明運(yùn)算+m的運(yùn)算表中任何兩行和兩列都不相同,其中Zm={[0],[1],…,[m-1]},m?I 只要說明<Zm,+m>是獨(dú)異點(diǎn)即可。 1)封閉：根據(jù)定義+m在Zm上是封閉的。 2)可結(jié)合：對(duì)任意[i],[j],[k]

Zm,([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])=[(i+j+k)(modm)] 3)幺元：[0],因?yàn)閇0]+m[i]=[i]+m[0]=[i]證明40定理設(shè)<S,>是獨(dú)異點(diǎn),對(duì)于任意a,b

S,且a,b均有逆元，則(a-1)-1=aab有逆元，且(ab)-1=b

-1a

-1證明41例字母表42例字母表在形式語言中,常稱非空有限字符集合為字母表。字母表中字符的n重序元為字符串.由m個(gè)字符所組成的字符串稱為長(zhǎng)度為m的字符串。長(zhǎng)度為0的字符串稱為空串，記為。用表示兩個(gè)字符串的聯(lián)結(jié)運(yùn)算。設(shè)V*表示字母表V中字符串的集合，V+=V*-{}則<V+,

>是一個(gè)半群（封閉，可結(jié)合）則<V*,

>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)（封閉，可結(jié)合,幺元為)。43例集合的劃分所構(gòu)成的含幺半群S:非空集合∩(S):S的所有劃分的集合P,Q∩(S)P={p1,…,pn}Q={q1,…,qn}P*Q：表示P中每個(gè)元素pi與Q中每個(gè)元素qj的交的集合（不包含空集），稱為劃分集運(yùn)算。<∩(S),*>是含幺半群，幺元是最小劃分。如：445.4群與子群45群設(shè)<G,>是一代數(shù)系統(tǒng),其中G是非空集合,為G上一個(gè)二元運(yùn)算,若1)是封閉的2)是可結(jié)合的3)存在幺元e4)對(duì)任一x

G,存在它的逆元x-1則稱<G,>是一個(gè)群.例<I,+>是群<N,+>,<I,>不是群（無逆）46例設(shè)R={0°,60°,120°,180°,240°,300°},表示在平面上幾何圖形繞形心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況。是R上的二元運(yùn)算，a

b表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn)a和b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。并規(guī)定旋轉(zhuǎn)360°等于原來的狀態(tài)。試驗(yàn)證<R,>是一個(gè)群。47解：由題意，運(yùn)算的運(yùn)算表如下：060120180240300006012018024030060601201802403000120120180240300060180180240300060120240240300060120240300300060120180240是封閉的，滿足結(jié)合律，幺元是0，60,120,180的逆元分別是300,240,18048有限群、無限群設(shè)<G,>是一個(gè)群，如果G是有限集，則稱<G,>是有限群，G中元素的個(gè)數(shù)通常稱為該有限群的階數(shù)，記為|G|；如果G是無限集，則稱<G,>為無限群。

例上例中|R|=6，是有限群<I,+>是無限群49定理1群<G,>中不可能有零元。證明當(dāng)群的階為1時(shí)，它的唯一元素視為幺元。當(dāng)|G|>1且群<G,>中有零元，則對(duì)任何xG,都有x=x=e。所以不存在逆元。這與<G,>是群矛盾。50定理2設(shè)<G,>是一個(gè)群，對(duì)于a,b

G，必存在唯一的x

G，使得a

x=b。設(shè)a的逆元為a-1證明51定理3（消去律）設(shè)<G,>是一個(gè)群，對(duì)于任意的a,b,c

G，如果有a

b=a

c或者b

a=c

a,則必有b=c。證明設(shè)a

b=a

c，且a的逆元是a-1,則有a-1(

a

b)=a-1(

a

c)

e

b=e

c b=c當(dāng)b

a=c

a時(shí)，同理可證b=c。52置換設(shè)S是一個(gè)非空集合，從集合S到S的一個(gè)雙射稱為S的一個(gè)置換。例設(shè)<S,>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn),則在的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的.證明設(shè)幺元是e,因?yàn)閷?duì)于任意的a,b

S,且 ab時(shí)，總有 e

a=ab=e

b（無兩列同） a

e=ab=b

e（無兩行同）所以在的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。eabeeabaabebbea53定理4群<G,>的運(yùn)算表中的每一行或每一列都是G的元素的一個(gè)置換。證明思路：G中元素在任一行（列）中只出現(xiàn)一次;G中的每一個(gè)元素都在每一行（列）中出現(xiàn)。1.若對(duì)應(yīng)于aG的那一行中有兩個(gè)元素都是c,則有

a

b1=a

b2=c且b1

b2,這與定理3(消去律)矛盾。2.考察對(duì)應(yīng)于aG的那一行，設(shè)b是G中的任一元素，由于b=a

(a-1b),所以b必定出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于a的那一行中。又因?yàn)檫\(yùn)算表中沒有兩行（兩列）是相同的，所以定理成立。54定理5在群<A,>中,除幺元e外,不可能有別的等冪元。證明因?yàn)閑

e=e，所以e是等冪元。設(shè)a

A,a

e且a

a=a，則有a=e

a =(a-1

a)

a =a-1

(aa) =a-1

a =e與假設(shè)矛盾。55子群與平凡子群子群：設(shè)<G,>是一個(gè)群,S是G中的非空子集，如果<S,>也構(gòu)成群，則稱<S,>是<G,>的一個(gè)子群。平凡子群：設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<S,*>是<G,*>的子群,如果S={e}，或者S=G，則稱<S,*>為<G,*>的平凡子群。56定理6設(shè)<G,>是一個(gè)群,<S,>是<G,>的一個(gè)子群，那么<G,>中的幺元e必定也是<S,>中的幺元。證明設(shè)<S,>中的幺元是e1,對(duì)于任一x

S

G,必有e1

x=x=e

x,所以e1=e。57定理7設(shè)<G,>是一個(gè)群,B是G的非空子集,如果B是一個(gè)有限集,那么只要運(yùn)算在B上封閉，<B,>必定是<G,>的子群。證明 設(shè)b是B的任一元素。若在B上封閉， 則元素b2=b

b,b3=b2

b,…,都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整數(shù)i和j,j-i>0，使得bi=bj,即bi=bi

bj-i,則bj-i是<G,>中的幺元且在B中。如果j-i>1,則由bj-i=b

bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元且在B中。如果j-i=1,則由bi=bi

b可知b是幺元,其逆元是幺元自身。因此<B,>是<G,>的子群。58定理8設(shè)<G,>是群，S是G的非空子集，如果對(duì)于S中的任何元素a和b有a

b-1

S,則<S,>是<G,>的子群。 1）任取S中的元素a,aSG,所以e=aa-1S,且a

e=ea=a，即e也是S中的幺元；2）對(duì)任意的aS,因?yàn)閑S,所以e

a-1

S,即a-1

S；

3）對(duì)于任意的a,b

S,由上可知b-1

S,而b=(b-1)-1,所以a

b=a

(b-1)-1

S；（封閉）4）運(yùn)算的可結(jié)合性是保持的。因此<S,>是<G,>的子群。證明595.5阿貝爾群和循環(huán)群60阿貝爾群如果群<G,>中的運(yùn)算是可交換的，則稱該群為阿貝爾群，或稱交換群。例設(shè)S={a,b,c,d},在S上定義一個(gè)雙射函數(shù)f:f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,對(duì)于xS,構(gòu)造復(fù)合函數(shù)構(gòu)造集合F={f0,f1,f2,f3},則<F,>是阿貝爾群。61解：集合F中運(yùn)算的運(yùn)算表如下：從運(yùn)算表可以看出運(yùn)算

關(guān)于F是封閉的可結(jié)合的；幺元：f0逆元：f0、f2是其自身，

f1、f3互為逆元。由運(yùn)算表的對(duì)稱性可知運(yùn)算是可交換的。因此<F,>是阿貝爾群f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f262定理1設(shè)<G,>是一個(gè)群，<G,>是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的a,b

G,有(ab)(ab)=(aa)(bb)。證明設(shè)對(duì)任意a,b

G，有充分性結(jié)合律結(jié)合律已知因此群<G,>是阿貝爾群。63定理1（續(xù)）設(shè)<G,>是一個(gè)群，<G,>是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的a,b

G,有(ab)(ab)=(aa)(bb)。證明必要性設(shè)<G,>是阿貝爾群，則對(duì)任意a,bG，有ab=ba結(jié)合律已知結(jié)合律64循環(huán)群設(shè)<G,>是群，若在G中存在一個(gè)元素a，使得G中的任意元素都是由a的冪組成，則稱該群為循環(huán)群，元素a稱為循環(huán)群G的生成元。例f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2生成元:f1群<{0,60,120,180,240,300},>的生成元：60ebceebcbbcecceb生成元:b,c65定理2任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。證明設(shè)<G,>是循環(huán)群，它的生成元是a，則對(duì)任意x,yG，必有r,sI，使得因此群<G,>是阿貝爾群。66例已知?jiǎng)t<G,·>為群，且為循環(huán)群，生成元為1,267定理3設(shè)<G,>是一個(gè)由元素a

G生成的有限循環(huán)群。如果G的階數(shù)是n，即|G|=n，則an=e，且G={a,a2,a3,...,an-1,an=e}其中e是<G,>中的幺元，n是使an=e的最小的正整數(shù)(稱n為元素a的階)。證明假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)m，m<n，有am=e。那么，由于<G,>是循環(huán)群，所以G中的任何元素都能寫為ak(k

I),而且k=mq+r,其中q是某個(gè)正整數(shù)，0

r<m，這就有ak=amq+r=(am)q

ar=ar這樣G中的每一個(gè)元素都可以表示成ar,即G中最多有m個(gè)元素，與|G|=n矛盾。68定理3(續(xù))證明用反證法證明a,a2,...,an都不相同。假設(shè)ai=aj,其中1i<j

n,就有aj-i=e,而且1

j-i<n,這已由上面證明是不可能的。所以a,a2,...,an都不相同。設(shè)<G,>是一個(gè)由元素a

G生成的有限循環(huán)群。如果G的階數(shù)是n，即|G|=n，則an=e，且G={a,a2,a3,...,an-1,an=e}其中e是<G,>中的幺元，n是使an=e的最小的正整數(shù)(稱n為元素a的階)。69例循環(huán)群生成元a,b循環(huán)群生成元a,cKlein四元群任何一個(gè)四階群只可能是四階循環(huán)群或Klein四元群70例715.7陪集與拉格朗日定理72積和逆設(shè)<G,*>是一個(gè)群，A,BP(G)且A

,B

,記A,B的積：AB={a*b|aA,bB}A的逆：A-1={a-1|aA}73例<Z4,+4>74陪集設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，aG,則集合{a}H(H{a})稱為由a所確定的H在G中的左陪集（右陪集），簡(jiǎn)稱為H關(guān)于a的左陪集（右陪集），記為aH(Ha)。元素a稱為陪集aH(Ha)的代表元素。75例76例（續(xù)）77例78拉格朗日定理設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，那么a)R={<a,b>|aG,bG,且a-1*bH}是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。對(duì)于aG,若記[a]R={x|xG且<a,x>R}則[a]R=aHb)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,則m|n證明略。79推論1任何質(zhì)數(shù)階的群不可能有非平凡子群。（S={e},或者S=G,<S,*>為<G,*>的平凡子群）證明反證法。如果有非平凡子群，那么該子群的階必定是原來群的階的一個(gè)因子，與原來群的階是質(zhì)數(shù)矛盾。80推論2設(shè)<G,*>是n階有限群，那么對(duì)于任意的aG，a的階必是n的因子且必有an=e,這里e是群<G,*>中的幺元。如果n為質(zhì)數(shù)，則<G,*>必是循環(huán)群。證明設(shè)<H,*>是由a生成的m階循環(huán)子群，則am=e,再由拉格朗日定理必有n=km，故an=(am)k=ek=e.因?yàn)橘|(zhì)數(shù)階群只有平凡子群，所以質(zhì)數(shù)階群必定是循環(huán)群。81例Klein四元群由運(yùn)算表可知，*是封閉的、可結(jié)合的。幺元：e每個(gè)元素的逆元是其自身所以<K,*>是群因?yàn)閍,b,c都是二階元，<K,*>不是循環(huán)群設(shè)K={e,a,b,c},運(yùn)算*的運(yùn)算表如下82例試證任何一個(gè)四階群只可能是四階循環(huán)群或者Klein四元群。證明設(shè)四階群為<{e,a,b,c},*>。其中e是幺元。當(dāng)四階群含有一個(gè)四階元素時(shí)，這個(gè)群就是循環(huán)群。當(dāng)四階群不含有四階元素時(shí)，則由推論2可知，除幺元e外，a,b,c的階一定都是2。a*b不可能等于a,b,e,否則將導(dǎo)致b=e,a=e或a=b的矛盾，所以a*b=c。同樣可以證明b*a=c,a*c=c*a=b,b*c=c*b=a,因此這個(gè)群是Klein四元群。835.8同態(tài)與同構(gòu)84同態(tài)映射設(shè)<A,>和<B,*>是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，和*分別是A和B上的二元(n元)運(yùn)算，設(shè)f是從A到B的一個(gè)映射，使得a1,a2A，有f(a1

a2)=f(a1)*f(a2)則稱f為由<A,>到<B,*>的一個(gè)同態(tài)映射，稱<A,>同態(tài)于<B,*>，記作A~B。把<f(A),*>稱為<A,>的一個(gè)同態(tài)象。其中f(A)={x|x=f(a),aA}

B8586例<I,>,<B,>,B={正，負(fù)，零}代數(shù)系統(tǒng)<B,>描述了<I,>中運(yùn)算結(jié)果的正、負(fù)、零特征。87同態(tài)的類型設(shè)f是由<A,>到<B,*>的一個(gè)同態(tài)，如果f是從A到B的一個(gè)滿射,則f稱為滿同態(tài)；f是從A到B的一個(gè)入射,則f稱為單同態(tài)；f是從A到B的一個(gè)雙射,則f稱為同構(gòu)映射，并稱<A,>和<B,*>是同構(gòu)的，記作A

≌

B.88例89例90例下面幾個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)91例試證<A,>和<B,*>是同構(gòu)的A={a,b,c,d}B={,,,}同構(gòu)映射可以不唯一92例求<N4,+4>,<N5*,5>的同構(gòu)g是<N4,+4>,<N5*,5>的同構(gòu)93例試證每個(gè)n階循環(huán)群，都同構(gòu)于群<Nn,+n><G,*>為由a

G生成的N階循環(huán)群。G={a,a2,…,an=e}定義映射g:g(1)=a,g(2)=a2,…g(0)=eg為<Nn,+n>到<G,*>的同構(gòu)。證明94自同態(tài)、自同構(gòu)設(shè)<A,>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果f是從<A,>到<A,>

的同態(tài)，則稱f自同態(tài)。如果g是由<A,>到<A,>的同構(gòu)，則稱g為自同構(gòu)。設(shè)G是代數(shù)系統(tǒng)的集合，則G中代數(shù)系統(tǒng)之間的同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。定理95定理設(shè)f是從代數(shù)系統(tǒng)<A,>到<B,*>的同態(tài)映射，則：如果<A,>是半群，則<f(A),*>也是半群；如果<A,>是獨(dú)異點(diǎn)，則<f(A),*>也是獨(dú)異點(diǎn)；如果<A,>是群，則<f(A),*>也是群。一些重要性質(zhì)在同態(tài)象中，特別在同構(gòu)像中都能夠保存下來.96同態(tài)映射的核設(shè)f是由群<G,>到群<G’,*>的同態(tài)映射，e’是G’中的幺元，記Ker(f)={x|xG且f(x)=e’}稱Ker(f)為同態(tài)映射f的核,簡(jiǎn)稱f的同態(tài)核。97定理設(shè)f是由群<G,>到群<G’,*>的同態(tài)映射，則f的同態(tài)核K是G的子群。證明98同余關(guān)系設(shè)<A,