概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第9講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第二講本文件可從網(wǎng)址上下載(單擊ppt講義后選擇'概率論'子目錄)1第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的概念2再談試驗(yàn)及樣本空間一次隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的集合被稱作樣本空間,而每一個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成樣本點(diǎn).樣本點(diǎn)的集合A稱作事件,只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的集合{}被稱作基本事件.請(qǐng)注意,這里的試驗(yàn)結(jié)果實(shí)際上是一次試驗(yàn)的全過(guò)程的記錄,因此和我們?cè)瓉?lái)的印象中的試驗(yàn)結(jié)果并非一樣,并非試驗(yàn)結(jié)束時(shí)候的那個(gè)結(jié)果.3例如,假設(shè)一場(chǎng)足球賽是一個(gè)試驗(yàn)?zāi)敲匆粋€(gè)試驗(yàn)結(jié)果就是這場(chǎng)球賽的全程的記錄,可以認(rèn)為記錄著整場(chǎng)球賽的錄象帶是一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,而非比賽結(jié)束時(shí)候的比分是試驗(yàn)結(jié)果.因此,象{比賽的頭五分鐘有球隊(duì)進(jìn)球},{上半場(chǎng)甲隊(duì)領(lǐng)先},{第三十分鐘到三十四分鐘期間有一次角球},{前十五分鐘有人被罰下場(chǎng)}都是事件,它們都是由一系列可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成.4因此,樣本空間是一個(gè)非常抽象的集合從理論上講它可以是任何集合.但這對(duì)于研究帶來(lái)了許多不方便.而數(shù)學(xué)上則更喜歡研究實(shí)數(shù)集合.一方面,樣本空間本身也可能就是實(shí)數(shù)集合或者其子集.另一方面,可以建立一個(gè)從樣本空間到實(shí)數(shù)集合的一個(gè)映射,即每給定一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或者樣本點(diǎn),存在著唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)()與之對(duì)應(yīng).這樣就建立了一個(gè)自變量為而函數(shù)值則為實(shí)數(shù)的一個(gè)特殊的"函數(shù)".我們稱之為隨機(jī)變量.53421這可以用下圖來(lái)示意此圖顯示了只有四個(gè)樣本點(diǎn)的一個(gè)樣本空間映射到實(shí)數(shù)a,b,c的一種映射.注意1和2映射到同一個(gè)實(shí)數(shù)b,這是一種常見(jiàn)的情況.xabc6從樣本空間到實(shí)數(shù)的映射方法有許多種,每一種映射方法,被稱為一個(gè)隨機(jī)變量.一般用希臘字母x,h,z或大寫拉丁字母X,Y,Z等表示.通常的試驗(yàn)的結(jié)果都能夠通過(guò)各種編碼的方法映射到實(shí)數(shù)集合.而也有一些試驗(yàn)的結(jié)果干脆就是數(shù)字,即樣本空間本來(lái)就是實(shí)數(shù).當(dāng)我們看到一個(gè)隨機(jī)變量x時(shí),可以想到一種在實(shí)數(shù)軸上進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn),每次試驗(yàn)的結(jié)果的樣本空間就是實(shí)數(shù)集合,每一次試驗(yàn)都將產(chǎn)生一個(gè)具體的實(shí)數(shù),但具體產(chǎn)生哪個(gè)實(shí)數(shù)不可預(yù)知.7一些隨機(jī)變量的例(1)一個(gè)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)記為1分,未中目標(biāo)記為0分.如果用x表示射手在一次射擊中的得分,則它是一個(gè)隨機(jī)變量,可以取0和1兩個(gè)可能的值.(2)某段時(shí)間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為x,它是一個(gè)隨機(jī)變量,可以取0及一切不大于M的自然數(shù),M為候車室的最大容量.(3)單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量x是一個(gè)隨機(jī)變量,它可以取一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)值,即x[0,T],T是一個(gè)常數(shù).8給定一隨機(jī)變量x,它有可能取某些值,而沒(méi)有可能取另一些值.因此可按取值情況將隨機(jī)變量分為兩類:(1)離散型隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)值.(2)非離散型隨機(jī)變量可能取任何實(shí)數(shù).而非離散型隨機(jī)變量中最常用的為連續(xù)型隨機(jī)變量.9隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布10定義2.1如果隨機(jī)變量x只取有限個(gè)或可列個(gè)可能值,而且以確定的概率取這些不同的值,則稱x為離散性隨機(jī)變量.

為直觀起見(jiàn),將x可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表如下xx1x2…xk…Pp1p2…pk…此外,x的概率分布情況也可以用一系列等式表示: P(x=xk)=pk (k=1,2,…)這被稱作隨機(jī)變量x的概率函數(shù)(或概率分布)11其中{x=x1},{x=x2},…,{x=xk},…構(gòu)成一完備事件組.因此概率函數(shù)具有如下性質(zhì):一般所說(shuō)的離散性隨機(jī)變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表.上面兩個(gè)性質(zhì)中的性質(zhì)(2)經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個(gè)條件.12例1一批產(chǎn)品的廢品率為5%,從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),用隨機(jī)變量x來(lái)描述廢品出現(xiàn)的情況.好寫出x的分布.

解用x表示廢品的個(gè)數(shù),則它只能取0或1兩個(gè)值."x=0"表示"產(chǎn)品為合格","x=1"表示"產(chǎn)品為廢品",則概率分布表如下x01P0.950.05即P{x=0}=0.95,P{x=1}=0.05,或可寫為P{x=k}=0.05k0.951-k (k=0,1)13兩點(diǎn)分布:只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布,稱為兩點(diǎn)分布.其概率函數(shù)為

P(x=xk)=pk (k=1,2)

概率分布表為:xx1x2Pp1p2概率分布圖為xp1p2x1x2140-1分布:只取0和1兩個(gè)值的隨機(jī)變量所服從的分布稱為0-1分布.其概率函數(shù)為

P(x=k)=pk(1-p)1-k (k=0,1)

概率分布表為:x01P1-pp概率分布圖為x1-pp01115例2產(chǎn)品有一,二,三等品及廢品4種,其一,二,三等品率和廢品率分別為60%,10%,20%,10%,任取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量,用隨機(jī)變量x描述檢驗(yàn)結(jié)果并畫出其概率函數(shù)圖.解令"x=k"與產(chǎn)品為"k等品"(k=1,2,3)相對(duì)應(yīng),"x=0"與產(chǎn)品為"廢品"相對(duì)應(yīng).x是一個(gè)隨機(jī)變量,它可以取0,1,2,3這4個(gè)值.依題意,P(x=0)=0.1 P(x=1)=0.6P(x=2)=0.1 P(x=3)=0.2則可列出概率分布表并畫出概率分布圖.16x的概率分布表為x0123P0.2概率分布圖為x01230.11p17例3用隨機(jī)變量描述擲一顆骰子的試驗(yàn)情況

解令x表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),它可取1到6共6個(gè)自然數(shù),相應(yīng)的概率都是1/6,列成概率分布表和概率分布圖如下x123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x18離散型均勻分布

如果隨機(jī)變量x有概率函數(shù):則稱x服從離散型均勻分布.19例4社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券,每券1元,中獎(jiǎng)率為p,某人每次購(gòu)買1張獎(jiǎng)券,如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次再繼續(xù)購(gòu)買1張,直到中獎(jiǎng)為止.求該人購(gòu)買次數(shù)x的分布.解"x=1"表示第一次購(gòu)買的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng),依題意P(x=1)=p,"x=2"表示購(gòu)買兩次獎(jiǎng)券,但第一次未中獎(jiǎng),其概率為1-p,而第二次中獎(jiǎng),其概率為p.由于各期獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)與否相互獨(dú)立,所以 P(x=2)=(1-p)p;"x=i"表示購(gòu)買i次,前i-1次都未中獎(jiǎng),而第i次中獎(jiǎng),P(x=i)=(1-p)i-1p.20由此得到x的概率函數(shù)為

P(x=i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)稱此分布為幾何分布21例5盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個(gè)燈泡,其中10個(gè)螺口,5個(gè)卡口,燈口向下放著,現(xiàn)在需用1個(gè)螺口燈泡,從盒中任取一個(gè),如果取到卡口燈泡就不再放回去.求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)x的分布.22解"x=0"表示第一個(gè)就取到了螺口燈泡,"x=1"表示第一個(gè)取到卡口而第二個(gè)才取到螺口燈泡,因此P(x=0)=10/15=2/3,

P(x=1)=(5/15)(10/14)=5/21

P(x=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273

P(x=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273

P(x=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003

P(x=5)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003

概率分布表為x012345P2/35/2120/2735/27310/30031/300323隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.2若x是一個(gè)隨機(jī)變量(可以是離散型的,也可以是非離散型的),對(duì)任何實(shí)數(shù)x,令

F(x)=P(xx)稱F(x)是隨機(jī)變量x的分布函數(shù)(因此,要求出一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的工作量是很大的,理論上要算無(wú)窮多個(gè)事件的概率才行)24例6求本節(jié)例1中的分布函數(shù)

解在例1中x的分布函數(shù)如下表所示:x01P0.950.05其分布函數(shù)為25對(duì)于一般的0-1分布:其分布函數(shù)為x1-p011x1-pp011F(x)26例7求例3中的分布函數(shù)F(x)

解27x的概率函數(shù)及F(x)的圖形為P0123456x0123456x1F(x)28分布函數(shù)與概率函數(shù)滿足關(guān)系:這是因?yàn)樵谝话愕墓街?要考慮x1,x2,…并非按從小到大的次序排列的可能性.例如,假設(shè)x1=0,x2=-1,x3=1P(x1)=0.2=p1,P(x2)=0.3=p2,P(x3)=0.5=p3,29這時(shí)便有30F(x)的圖形為x2x1x3F(x)31F(x),即事件"x"的概率是x的一個(gè)實(shí)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2,有因{x2}{x1}{x1<x2}={x2}-{x1}P(x1<x