基于最優(yōu)化方法的控制器設(shè)計(jì)

計(jì)算機(jī)控制理論與設(shè)計(jì)東北大學(xué)計(jì)算機(jī)控制理論與設(shè)計(jì)課程組2011年9月課程內(nèi)容第一章緒論第二章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與性能指標(biāo)第三章經(jīng)典控制器設(shè)計(jì)方法第四章復(fù)合系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法第五章基于極點(diǎn)配置方法的控制器設(shè)計(jì)第六章基于最優(yōu)化方法的控制器設(shè)計(jì)第六章基于最優(yōu)化方法的控制器設(shè)計(jì)本章主要內(nèi)容

最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方法的原理最優(yōu)化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)最小方差控制器的設(shè)計(jì)隨機(jī)系統(tǒng)（Stochasticsystem）指含有內(nèi)部隨機(jī)參數(shù)、外部隨機(jī)干擾和觀測(cè)噪聲等隨機(jī)變量的系統(tǒng)。隨機(jī)系統(tǒng)是不確定性系統(tǒng)的一種，其不確定性是由隨機(jī)性引起的。按確定性控制理論設(shè)計(jì)隨機(jī)控制系統(tǒng)，當(dāng)隨機(jī)因素不能忽略時(shí)，控制系統(tǒng)就會(huì)偏離預(yù)定的設(shè)計(jì)要求，而產(chǎn)生隨機(jī)偏差量。最優(yōu)控制研究的主要問題：根據(jù)已經(jīng)建立的被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，選擇一個(gè)容許的控制律，使得被控對(duì)象按照預(yù)定要求運(yùn)行，并使給定的某一性能指標(biāo)達(dá)到極小值（或極大值）。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，最優(yōu)控制研究的問題是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，屬于變分學(xué)的范疇。6.1.1最優(yōu)控制的基本概念變分學(xué)：經(jīng)典變分學(xué)—控制無約束問題現(xiàn)代變分學(xué)—控制有約束問題動(dòng)態(tài)規(guī)劃：貝爾曼1957年創(chuàng)立極小值原理：龐德里亞金1958年創(chuàng)立說明：解決有約束的最優(yōu)控制問題，采用極小值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以得到相同的結(jié)果。二者比較，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在實(shí)際應(yīng)用中更麻煩一些。6.1.1最優(yōu)控制的基本概念如果給出如下條件：（1）系統(tǒng)方程；（2）允許的控制向量組；（3）問題的約束；（4）性能指標(biāo)；（5）系統(tǒng)參數(shù)。則可用數(shù)學(xué)模型來描述控制系統(tǒng)的優(yōu)化問題。最優(yōu)控制問題的解就是在可行的控制向量組中確定的最優(yōu)控制向量u(k)。除了某些特殊情況外，要得到最優(yōu)控制問題的解析解是很困難的，所以一般只能得到最優(yōu)控制問題的數(shù)值解。6.1.1最優(yōu)控制的基本概念性能指標(biāo)是一個(gè)純量函數(shù)，其函數(shù)值表示實(shí)際性能與理想性能的接近程度。用來代替經(jīng)典設(shè)計(jì)中的性能指標(biāo)，如過渡過程時(shí)間，超調(diào)量等。按數(shù)學(xué)形式分為如下三類：（1）積分型性能指標(biāo)。表示在整個(gè)控制過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)及控制應(yīng)滿足的要求，包括最小時(shí)間控制指標(biāo)，最少燃料控制指標(biāo)，最少能量控制指標(biāo)等。（2）末值型性能指標(biāo)。表示在控制過程結(jié)束后，對(duì)系統(tǒng)末態(tài)的要求。（3）復(fù)合型性能指標(biāo)。表示對(duì)整個(gè)控制過程和末端都有要求，是最一般的性能指標(biāo)形式，主要包括狀態(tài)調(diào)節(jié)型性能指標(biāo)和輸出跟蹤型性能指標(biāo)。6.1.1最優(yōu)控制的基本概念說明：（1）按照某個(gè)性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出的最優(yōu)系統(tǒng)，在另一個(gè)指標(biāo)下并不是最優(yōu)的。（2）對(duì)于線性隨機(jī)系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制問題，若系統(tǒng)是完全能控和完全能觀的，則最優(yōu)控制律一定存在。6.1.1最優(yōu)控制的基本概念對(duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和（或）控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡(jiǎn)稱為線性二次型最優(yōu)控制問題或線性二次型問題（LQ：LinearQuadratic）。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題對(duì)于一個(gè)確定性的線性定常系統(tǒng)，其離散狀態(tài)空間模型為：(1)其中二次型的最優(yōu)控制問題就是要確定求取控制向量u(k)的規(guī)則，以使所給的二次型性能指標(biāo)達(dá)到最小。典型的二次型性能指標(biāo)函數(shù)如下：

(2)其中Q0和Q1是非負(fù)定對(duì)稱陣，Q2是正定對(duì)稱陣。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題對(duì)最終狀態(tài)有重要影響，其值越小末態(tài)偏差就越小對(duì)控制過程的誤差有相當(dāng)大的重要影響，可以定量描述整個(gè)控制過程的控制效果，其值越小控制效果越好表示控制信號(hào)消耗的能量，反映控制的代價(jià)，其值越小控制代價(jià)就越小。相當(dāng)于對(duì)整個(gè)控制過程中的控制向量u(k)加了一定的限制。控制效果與控制代價(jià)之間的權(quán)衡可以通過選取加權(quán)矩陣Q1和Q2來實(shí)現(xiàn)。（1）若強(qiáng)調(diào)控制效果（即控制精度），較少計(jì)較控制代價(jià)，則應(yīng)選取加大的Q1，較小的Q2；（2）若強(qiáng)調(diào)控制代價(jià)，較少計(jì)較控制效果，則應(yīng)選取加小的Q1，較大的Q2

可以證明，最優(yōu)控制律可以寫成如下形式：

(3)其中是時(shí)變矩陣。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題（常數(shù)）當(dāng)（時(shí)間）LQ（LinearQuadratic）控制問題：確定性系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制問題；對(duì)于調(diào)節(jié)系統(tǒng)，可稱為L(zhǎng)QR（LinearQuadraticRegulater）控制問題。LQG（LQG：LinearQuadraticGaussian）控制問題（線性二次型高斯控制問題）：隨機(jī)系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制，即在過程模型中考慮了高斯隨機(jī)擾動(dòng)。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題LQG控制律的設(shè)計(jì)可以在LQ控制問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

針對(duì)確定性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)得到LQ控制問題的最優(yōu)控制律：然后針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)，進(jìn)行狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)（Kalman濾波）得到最后得到LQG問題的最優(yōu)控制律為：此即為分離性原理。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題對(duì)于LQG控制問題，應(yīng)用分離性原理能得到全局最優(yōu)的結(jié)果。對(duì)于一般的隨機(jī)控制問題，應(yīng)用分離性原理只能得到次優(yōu)的結(jié)果。LQG控制問題：基于被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型，適用于一般的輸入輸出系統(tǒng)。隨機(jī)系統(tǒng)的最小方差控制：基于傳遞函數(shù)模型，一般適用于單輸入和單輸出系統(tǒng)。最小方差控制可以看成LQG控制的特例。最小方差控制與LQG控制相比，運(yùn)算簡(jiǎn)單，概念清楚，容易理解。6.1.2線性二次型最優(yōu)控制問題LQG控制與最小方差控制問題：本節(jié)主要討論以下問題：（1）確定性系統(tǒng)LQ控制器設(shè)計(jì)問題，包括調(diào)節(jié)系統(tǒng)和跟蹤系統(tǒng)。（2）狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)（3）隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器設(shè)計(jì)，包括調(diào)節(jié)系統(tǒng)和跟蹤系統(tǒng)。6.2最優(yōu)化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)

(1)初始條件為其中是n維狀態(tài)向量，是m維控制向量，F(xiàn)和G分別是和系數(shù)矩陣。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)6.2.1.1有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為設(shè)給定如下的二次型性能指標(biāo)函數(shù)：(2)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中Q0和Q1是非負(fù)定對(duì)稱陣，Q2是正定對(duì)稱陣。要求確定控制序列u(k)(k=0,1,…,N-1)，以使得式（2）所示的性能指標(biāo)函數(shù)極小，即離散定常系統(tǒng)有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器（LQR）問題。用最優(yōu)原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解上述LQR問題的最優(yōu)控制律。最優(yōu)原理：如果控制序列在時(shí)區(qū)內(nèi)是最優(yōu)的（即J最?。瑒t在任何也是最優(yōu)的（即最?。?，由此便可以將上述N級(jí)控制過程尋優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為N個(gè)單級(jí)尋優(yōu)問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃：控制量u(k)只影響未來狀態(tài)x(k+i)，其中i≥1，而不會(huì)影響過去和現(xiàn)時(shí)狀態(tài)x(k-i)，其中i≥0，因此尋優(yōu)過程可以從控制過程終點(diǎn)N開始，按逆時(shí)間方向向起點(diǎn)0逐級(jí)遞推，依次求得最優(yōu)控制序列u(k)。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)時(shí)區(qū)內(nèi)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解方法：令(3)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中根據(jù)式(3)和(2)，有(4)(5)首先根據(jù)(5）式求解

，以使

JN-1最小。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得(6)進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為(7)其中6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)求JN-1對(duì)將式(7)代入式(5)，得到最小的JN-1為(8)其中仿照以上類似的步驟可以求得。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)(10)(11)(12)最優(yōu)的性能指標(biāo)函數(shù)為：(13)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)離散時(shí)間Riccati（黎卡提）方程將以上計(jì)算的公式歸納如下：(9)可以證明：若給定系統(tǒng)完全能控，則矩陣是非負(fù)定的對(duì)稱陣，則是非負(fù)定矩陣，由于Q2是正定矩陣，則矩陣是正定、非奇異的，其逆矩陣一定存在，因此控制律L(k)一定有解。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)因此滿足式（9）~（12）的最優(yōu)控制一定存在而且是唯一的。Riccati方程的另一種形式為：(14)利用式(10)~(12)可以逆向遞推計(jì)算出和(1)給定參數(shù)F，G，Q0，Q1

和Q2;(2)S(N)=Q0

，k=N-1；(3)按式(10)計(jì)算L(k)；(4)按式(11)計(jì)算S(k)；(5)若k=0，轉(zhuǎn)(7)；否則轉(zhuǎn)(6)；(6)k←k-1，轉(zhuǎn)（3）；(7)輸出L(k)和S(k)（k=N-1，N-2，…，0）。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)具體步驟：例6.1已知被控對(duì)象的狀態(tài)方程為其中二次型性能指標(biāo)函數(shù)為6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)（1）（2）設(shè)計(jì)最優(yōu)反饋控制規(guī)律6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)最優(yōu)反饋控制規(guī)律Riccati方程遞推初值為：由S(N)開始遞推計(jì)算如下：6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)解：（1）用逆向遞推求解最優(yōu)反饋控制律（2）設(shè)，按照前面的迭代步驟，求得最優(yōu)反饋6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)控制規(guī)律如下圖所示。當(dāng)?shù)揭欢ú襟E后，最優(yōu)的反饋系數(shù)將趨于常數(shù)。同時(shí)也可以看到，當(dāng)控制量的加權(quán)陣Q2越小時(shí)，反饋系數(shù)越大，從而要求的控制量也越大。

6.2.1.2無限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性離散系統(tǒng)及初始條件為(1)性能指標(biāo)函數(shù)為終端時(shí)間無限的二次型性能指標(biāo)函數(shù)，即(2)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中Q1是非負(fù)定對(duì)稱陣，Q2是正定對(duì)稱陣。要求計(jì)算最優(yōu)控制u(k)(k=0,1,…,N,…)以使得式（2）所示的性能指標(biāo)函數(shù)極小。該設(shè)計(jì)問題稱為離散定常系統(tǒng)無限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題，也可稱為穩(wěn)態(tài)二次型最優(yōu)控制。定理6.1對(duì)于式（1）所示的線性離散定常系統(tǒng)及其式（2）所示的的二次型性能指標(biāo)函數(shù)，假定矩陣[F，G]完全能控，矩陣[F,D]完全能觀，其中

，且D任意，則存在唯一的最優(yōu)控制(3)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中最優(yōu)性能指標(biāo)為：其中S為對(duì)稱正定常數(shù)矩陣，是下列Riccati代數(shù)方程（或稱為穩(wěn)態(tài)Riccati方程）的唯一解：(5)(4)同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。若Q1正定，可以去掉該約束將式（3）代入式（1），得到基于最優(yōu)控制律L的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：(6)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：(7)由定理6.1可知，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此其特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)關(guān)于S陣的求解：（1）對(duì)于2階以下的低階系統(tǒng)，可以通過直接解穩(wěn)態(tài)Riccati方程求得：（2）對(duì)于3階以上的高階系統(tǒng)，通常采用非穩(wěn)態(tài)Riccati方程的遞推算法求取S的穩(wěn)態(tài)解。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)從或開始遞推計(jì)算，直至收斂到穩(wěn)態(tài)值S陣為止。為了遞推方便，通過變換時(shí)間的方向，將上式寫成如下的形式：6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)(8)例6.2已知被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程為其中F=2,G=1；給定的性能指標(biāo)函數(shù)為二次型性能指標(biāo)函數(shù)，其中要求分別求取當(dāng)

N=3時(shí)的時(shí)變最優(yōu)反饋狀態(tài)增益

和

的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋狀態(tài)增益解：（1）Riccati方程遞推初值為：由S(N)開始遞推計(jì)算如下：6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)同理依次求得：（2）由穩(wěn)態(tài)Riccati方程式（5），得到即解得6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益為：由此可以看出，時(shí)變Riccati方程經(jīng)過3步遞推得到的L(0)=1.6已經(jīng)非常接近其穩(wěn)態(tài)值L=1.618，表明該例題Riccati方程的解收斂很快。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中顯然是不對(duì)的，因?yàn)榭偸欠秦?fù)的，于是得到Riccati方程的穩(wěn)態(tài)解為：6.2.1.3采用連續(xù)二次型性能指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問題問題：有些情況下，例如采樣周期較長(zhǎng)而控制量的加權(quán)陣又比較小時(shí)，采用離散的性能指標(biāo)函數(shù)也許不能保證系統(tǒng)在采樣點(diǎn)之間具有較好的響應(yīng)性能，甚至可能隱含著振蕩的現(xiàn)象。解決方法：采用連續(xù)的二次型性能指標(biāo)函數(shù)及其對(duì)象模型，將其離散化處理后，再采用前述的最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行最優(yōu)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)，可以保證系統(tǒng)具有較好的連續(xù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)(1)初始條件為設(shè)給定如下的二次型性能指標(biāo)函數(shù)：(2)其中Q0和是非負(fù)定對(duì)稱陣，是正定對(duì)稱陣。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式為對(duì)于上述被控對(duì)象的控制問題：當(dāng)tN

為有限時(shí)，為有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題；當(dāng)tN

為無限時(shí)，為無限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題。解決這個(gè)問題的一條途徑是：將被控對(duì)象及其性能指標(biāo)進(jìn)行離散化處理，再采用前述的離散系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)最優(yōu)控制規(guī)律L

。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)離散的控制規(guī)律L，實(shí)現(xiàn)如下的狀態(tài)反饋，并使式(2)所示的連續(xù)性能指標(biāo)函數(shù)J

極?。?/p>

利用零階保持器法，將連續(xù)狀態(tài)方程離散化為：(3)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中當(dāng)tN為有限時(shí)，性能指標(biāo)離散化為：(4)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)當(dāng)tN為無限時(shí)，性能指標(biāo)離散化為：(5)其中計(jì)算最優(yōu)控制規(guī)律的遞推公式為：(6)(7)(8)(9)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)最優(yōu)的性能指標(biāo)為：(10)說明：S(k)和L(k)收斂到穩(wěn)態(tài)值所需的計(jì)算次數(shù)與系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間及采樣周期T的大小有關(guān)。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則是：這個(gè)計(jì)算次數(shù)大體與Ts/T處于同一量級(jí)，其中Ts為閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間，T為采樣周期。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)例6.3已知連續(xù)被控對(duì)象模型參數(shù)為連續(xù)的二次型性能指標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)陣為采樣周期為T=0.5s。于是得到離散化的被控對(duì)象模型及性能指標(biāo)參數(shù)為6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)利用遞推公式(6)~(9)，得到無限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為：6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)6.2.1.4LQ跟蹤系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)對(duì)于跟蹤系統(tǒng)，除了考慮系統(tǒng)應(yīng)有好的抗干擾性能外，還要求系統(tǒng)對(duì)于參考輸入具有好的跟蹤響應(yīng)性能。跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法：（1）按調(diào)節(jié)系統(tǒng)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其具有好的抗干擾性能；（2）再依一定的方式引入?yún)⒖驾斎?，使其滿足跟蹤性能的要求。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)跟蹤系統(tǒng)的控制規(guī)律具有如下的形式：(1)其中L為按最優(yōu)化方法得到的最優(yōu)控制律，

為引入的前饋增益矩陣。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型矩陣為：(2)對(duì)于跟蹤系統(tǒng)通常要求對(duì)于階躍輸入穩(wěn)態(tài)無誤差，即滿足于是有6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)(3)從而得到前饋增益若控制量和輸出量的維數(shù)相等，即

，則有(4)引進(jìn)積分后的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示：6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)兩邊同乘以

，并進(jìn)行z反變換，得到由此得到：(5)(6)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為：(7)輸出方程為：(8)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)同時(shí)令

，則式（7）和式（9）聯(lián)合組成的增廣系統(tǒng)狀態(tài)方程為：將式（8）帶入式（6）得到：(9)令增廣狀態(tài)為：(10)其中6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)設(shè)取二次型性能指標(biāo)函數(shù)為：(11)其中Q1是非負(fù)定對(duì)稱陣，Q2是正定對(duì)稱陣。假定是完全能控的，且設(shè)D

為能使DTD=Q1成立的任何矩陣，同時(shí)假定是完全能觀的。式(10)和(11)是標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題，根據(jù)定理6.1可以求得

(12)(13)(14)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)其中最優(yōu)反饋控制律問題：當(dāng)時(shí)，圖示系統(tǒng)是否具有克服擾動(dòng)的跟蹤性能呢？6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)對(duì)式（6）進(jìn)行進(jìn)一步的變換，得到：(15)對(duì)上式兩邊做求和運(yùn)算，得到(16)從而得到(17)6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)忽略

的影響，同時(shí)考慮到計(jì)算v(k)時(shí)e(k)已知，則有(18)于是可得具有積分環(huán)節(jié)的跟蹤系統(tǒng)控制器的方程為：(19)對(duì)于這樣的控制器結(jié)構(gòu)，當(dāng)參考輸入為常值時(shí)，對(duì)于常值干擾以及被控對(duì)象的模型不準(zhǔn)或參數(shù)發(fā)生變化的情況，均不存在穩(wěn)態(tài)誤差。6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)由于是的一個(gè)狀態(tài)，顯然也應(yīng)有說明如下：由于引入積分后的增廣系統(tǒng)按照式（12）設(shè)計(jì)的控制律一定是漸近閉環(huán)穩(wěn)定的，從而對(duì)于任何初始條件均有6.2.1確定性系統(tǒng)LQ控制器的設(shè)計(jì)于是由式（6）得到：即表明無論存在何種干擾，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一定為零。其中為過程干擾向量，

為測(cè)量噪聲向量。6.2.2.1Kalman濾波器設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間模型為(1)假設(shè)v(k)和w(k)均為離散的高斯白噪聲序列，且有6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

設(shè)V為非負(fù)定對(duì)稱陣，W為正定對(duì)稱陣，并設(shè)v(k)和w(k)不相關(guān)。若不是白噪聲可轉(zhuǎn)化在方程(1)中存在隨機(jī)的干擾v(k)和隨機(jī)的測(cè)量噪聲w(k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)也為隨機(jī)向量，其中y(k)為能夠測(cè)量的輸出量。問題是如何根據(jù)輸出量y(k)估計(jì)出x(k)。取現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器模型為：(2)(3)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

式（2）稱為預(yù)報(bào)方程式（3）稱為修正方程，其中K(k)為時(shí)變反饋增益矩陣。取觀測(cè)器的重構(gòu)性能指標(biāo)為狀態(tài)重構(gòu)誤差

的方差，即(4)其中狀態(tài)重構(gòu)誤差若記狀態(tài)重構(gòu)誤差

的協(xié)方差矩陣為：(5)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

標(biāo)量函數(shù)矩陣則重構(gòu)性能指標(biāo)可以表示為矩陣

的跡，即因此使的跡最小等價(jià)于使性能指標(biāo)

最小。狀態(tài)最優(yōu)觀測(cè)器（估計(jì)器）設(shè)計(jì)就是求解K(k)使得觀測(cè)器的性能指標(biāo)（4）或（6）取最小值。令狀態(tài)預(yù)報(bào)誤差為(7)結(jié)合式（1）和式（2）得到：(8)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

(6)由式（1）和式（3），結(jié)合上式（8），得到狀態(tài)重構(gòu)誤差為：(9)由于與統(tǒng)計(jì)無關(guān)，因此得到的協(xié)方差矩陣為：(10)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

式中，由于w(k)與不相關(guān)，因此交叉相乘項(xiàng)的期望值為零同時(shí)有(11)為狀態(tài)預(yù)報(bào)誤差

的協(xié)方差矩陣?？紤]到

與統(tǒng)計(jì)無關(guān)，因此得到：(12)為了在式(10)中尋求K(k)以使P(k)極小，取于是有(13)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

整理得到(14)其中為正定對(duì)稱陣。最后將所有的Kalman濾波遞推公式歸納如下：(15)(16)(17)(18)(19)和P(0)給定，k=1,2,…。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

Kalman濾波遞推公式式(19)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。將式(6.93)展開得根據(jù)式(17)，可以求得上式中的第三項(xiàng)為將其代入式(20)得(21)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

(20)非對(duì)稱問題：Kalman濾波器穩(wěn)定性？（1）Kalman定理已經(jīng)證明，若被控系統(tǒng)既是完全能控又是完全能觀的，則Kalman濾波器是大范圍漸近穩(wěn)定的。（2）當(dāng)V和W為常值時(shí)，對(duì)于不同的初值P(0)，只要P(0)≥0，則矩陣P(k)必定按指數(shù)衰減到穩(wěn)態(tài)值P，相應(yīng)的M(k)和K(k)也將分別衰減到它們的穩(wěn)態(tài)值，且與P(0)無關(guān)（

P(0)≥0）。（3）應(yīng)用穩(wěn)態(tài)增益K代替時(shí)變?cè)鲆鍷(k)的Kalman濾波器稱為次優(yōu)Kalman濾波器或穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

增益矩陣K(k)或穩(wěn)態(tài)增益K可以直接根據(jù)式(17)~(19)的遞推公式進(jìn)行計(jì)算。下面給出迭代計(jì)算的程序流程：①給定參數(shù)F,G,V,W

和P(0)，給定迭代計(jì)算總步數(shù)N，置k=1；②按式(18)計(jì)算M(k)；③按式(17)計(jì)算K(k)；④按式(19)計(jì)算P(k);⑤如果k=N，轉(zhuǎn)⑦；否則轉(zhuǎn)⑥；6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

⑥，轉(zhuǎn)②；⑦輸出K(k)（K），k=1,2,…,N。分析Kalman濾波器的特征方程。根據(jù)式(9)和(8)可以求得(22)將時(shí)變的反饋增益

取為穩(wěn)態(tài)值

K(23)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

則得到Kalman濾波器的特征方程為：由于Kalman濾波器是漸近穩(wěn)定的，因此其特征方程

的特征根都在單位圓內(nèi)。例6.4已知被控對(duì)象的狀態(tài)表達(dá)式為其中同時(shí)已知v(k)和w(k)均為均值為零的白噪聲序列，且它們互不相關(guān)，v(k)和w(k)的協(xié)方差陣分別為6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

要求計(jì)算Kalman濾波器的反饋增益K(k)。解：設(shè)取N=40及，利用上面給出的計(jì)算流程可以算得Kalman濾波增益矩陣，如下圖所示。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

說明--（1）ρ大K

大；（2）K趨于常值6.2.2.2Kalman濾波問題的推廣

設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)模型仍同前，即(1)其中，是均值為零、協(xié)方差為V的高斯白噪聲序列。設(shè)輸出方程為6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

(2)其中

是均值為零、協(xié)方差為W的高斯白噪聲序列。設(shè)v(k)和w(k)是相關(guān)的，且有問題仍然是求x(k)的最小方差估計(jì)。解決這個(gè)問題的思路是：在給定模型的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新模型，使得新模型能夠滿足前述基本Kalman濾波的條件，從而根據(jù)已有的結(jié)果得到推廣的Kalman濾波的遞推公式。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

結(jié)合式(1)和(2)可得(3)其中這里Kc為待定的系數(shù)矩陣。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

則與

w(k)不相關(guān)?？梢郧蟮?4)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

顯然，若選(5)進(jìn)一步求得(6)其中(7)將式(5)代入式(7)并整理得到(8)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

可見，式(3)和(8)的新模型滿足基本的Kalman濾波器的條件，可得這時(shí)的Kalman濾波公式為(9)(10)(12)(13)6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

和P(0)給定，k=1,2,…式(9)~(13)即為推廣的Kalman濾波公式。(11)6.2.2.3預(yù)報(bào)Kalman濾波器依據(jù)現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器得到的Kalman濾波也稱為現(xiàn)時(shí)Kalman濾波器或現(xiàn)時(shí)估計(jì)器。若Kalman濾波的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于采樣周期，用現(xiàn)時(shí)的Kalman濾波可獲得較好的狀態(tài)估計(jì)，因?yàn)樗玫搅俗罱鼤r(shí)刻的輸出量信息。6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

若Kalman濾波的計(jì)算時(shí)間接近一個(gè)采樣周期，宜采用預(yù)報(bào)Kalman濾波器或預(yù)報(bào)估計(jì)器，即用現(xiàn)時(shí)刻的輸出量y(k)重構(gòu)下一步的狀態(tài)設(shè)被控對(duì)象的模型為6.2.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

可得預(yù)報(bào)Kalman濾波器的遞推方程如下：和P(0)給定，k=1,2,…根據(jù)以上式可依次計(jì)算出K(k)和P(k+1)，k=1，2，…。當(dāng)k→∞時(shí)，K(k)將趨于常數(shù)陣K。6.2.3.1LQG調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)被控對(duì)象隨機(jī)模型的離散狀態(tài)空間表達(dá)式

為

(1)6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)于連續(xù)被控對(duì)象模型，其狀態(tài)空間表達(dá)式為(2)其中是n維過程干擾向量，是r維測(cè)量噪聲向量。設(shè)和是零均值的高斯白噪聲，且互不相關(guān)，并有設(shè)Vc為非負(fù)定的對(duì)稱陣，Wc為正定對(duì)稱陣。利用零階保持器法進(jìn)行狀態(tài)空間模型的離散化處理，得到式（1）所示的離散化狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)于上述隨機(jī)系統(tǒng)的LQG控制器的設(shè)計(jì)，可以采用前討論的確定性系統(tǒng)LQ控制規(guī)律的設(shè)計(jì)和Kalman狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的結(jié)果，將其二者結(jié)合起來組成LQG控制器，其控制模型為：(3)6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

問題：實(shí)際的閉環(huán)系統(tǒng)是否仍是最優(yōu)控制系統(tǒng)？如果仍是最優(yōu)控制系統(tǒng)，它使得何種性能指標(biāo)最優(yōu)？定理6.2（分離性定理）對(duì)于式（1）或式（2）所示的隨機(jī)系統(tǒng)，其LQG最優(yōu)控制律為(4)其中L為確定性系統(tǒng)LQ的控制律，

的Kalman最優(yōu)估計(jì)。（1）對(duì)于離散控制系統(tǒng)（式（1）），它使得如下的離散二次型性能指標(biāo)函數(shù)極小：(5)的極小值為(6)6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

(7)的極小值為(8)（3）閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

（2）對(duì)于連續(xù)控制系統(tǒng)（式（2）），它使得如下的連續(xù)二次型性能指標(biāo)函數(shù)極?。焊鶕?jù)上述分離性定理，LQG控制器的設(shè)計(jì)可以分成兩個(gè)獨(dú)立的部分：（1）LQ最優(yōu)控制規(guī)律的計(jì)算。（2）隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的計(jì)算。于是，得到LQG調(diào)節(jié)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQ系統(tǒng)與LQG系統(tǒng)的比較：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQ系統(tǒng)：LQG系統(tǒng)：（1）被控對(duì)象模型：離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)（2）性能指標(biāo)表達(dá)式：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQ系統(tǒng)：離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)LQG系統(tǒng)：要點(diǎn)：（1）終值是否趨于零（多項(xiàng)與一項(xiàng)）；（2）求和與數(shù)學(xué)期望（確定量與隨機(jī)量）（3）控制器設(shè)計(jì)：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQ系統(tǒng)：LQG系統(tǒng)：（狀態(tài)可測(cè)）（L通過Riccati方程求解）（狀態(tài)不可測(cè)）（控制律+狀態(tài)觀測(cè)器）（狀態(tài)不可測(cè)）（控制律+最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器）狀態(tài)可測(cè)？6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQG控制器設(shè)計(jì)總結(jié)：離散化分離6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

確定性系統(tǒng)控制規(guī)律設(shè)計(jì)隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)結(jié)合6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQG控制器6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQG控制器LQG系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布分析：被控對(duì)象與控制器表達(dá)式為：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：(9)其中

(10)6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

(11)控制規(guī)律L的特征方程（LQ系統(tǒng)）Kalman最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器的特征方程6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

從而可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：結(jié)論：LQG系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)也由兩部分組成：（1）相應(yīng)的LQ系統(tǒng)的極點(diǎn)（2）Kalman最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器的極點(diǎn)由于

和的極點(diǎn)都是穩(wěn)定的，因此整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)也都是穩(wěn)定的，說明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

6.2.3.2LQG跟蹤系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

LQG跟蹤系統(tǒng)可以在LQ跟蹤系統(tǒng)的的基礎(chǔ)上構(gòu)建，即在LQ跟蹤系統(tǒng)中引入最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器，構(gòu)成LQG跟蹤系統(tǒng)。LQG跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下：LQG跟蹤系統(tǒng)的最優(yōu)控制規(guī)律具有如下的形式：(1)其中L為L(zhǎng)Q系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，Lr為引入的前饋增益矩陣；估計(jì)器為Kalman濾波器，其濾波器的反饋增益K按Kalman遞推公式計(jì)算。6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

若最優(yōu)估計(jì)器采用預(yù)報(bào)Kalman濾波器，有其中根據(jù)

的條件，得到6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

從而計(jì)算出Lr：若控制量和輸出量的維數(shù)相等，即m=r，則有若考慮控制器中加入積分作用，則引進(jìn)積分后的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下：6.2.3隨機(jī)系統(tǒng)LQG控制器的設(shè)計(jì)

最優(yōu)反饋控制律求取方法與LQ跟蹤系統(tǒng)相同；估計(jì)器為Kalman濾波器，其濾波器的反饋增益K按Kalman遞推公式計(jì)算。6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)6.3.1.1隨機(jī)干擾模型設(shè)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。

6.3最小方差控制器的設(shè)計(jì)

圖中，v(k)和w(k)為隨機(jī)干擾序列，v(k)為過程噪聲序列，w(k)為測(cè)量噪聲序列。即的Fourer變換可以證明，作用于控制系統(tǒng)的隨機(jī)干擾v(k)，只要它是平穩(wěn)隨機(jī)序列，其統(tǒng)計(jì)特性譜密度或協(xié)差函數(shù)

已知，v(k)就可以表示為：設(shè)v(k)的統(tǒng)計(jì)特性如下（首先對(duì)信號(hào)特性進(jìn)行分析）：均值：為一常數(shù)協(xié)方差函數(shù)：譜密度：(1)6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)式中為均值為零的白噪聲序列，為根據(jù)得到的有理函數(shù)。分為和關(guān)于z-1的互反多項(xiàng)式。和關(guān)于互反多項(xiàng)式（Reciprocalpolynomial的一般定義：6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)定義：設(shè)(2)

(3)為P(z)的互反多項(xiàng)式。稱其中，且與階次相等?；シ炊囗?xiàng)式具有下列性質(zhì)：的零點(diǎn)必在單位圓外，反之亦然，即與的零點(diǎn)關(guān)于單位圓成映射關(guān)系。6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)（2）設(shè)P(z)的互反多項(xiàng)式為，的互反多項(xiàng)式為，則

不一定等于。（1）多項(xiàng)式P(z)的零點(diǎn)若在單位圓內(nèi)，則它的互反多項(xiàng)式根據(jù)定義，顯然有(4)于是若設(shè)(5)(6)則有(7)6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)(8)則式（1）所表示的平穩(wěn)隨機(jī)干擾v(k)的差分方程為：(9)具有這種模型的隨機(jī)序列v(k)稱為自回歸滑動(dòng)平均過程，簡(jiǎn)稱ARMA(Auto-RegressionMovingAverage)過程。若，對(duì)應(yīng)的差分方程為：(10)則v(k)為自回歸過程，簡(jiǎn)稱AR過程。若，對(duì)應(yīng)的差分方程為：（11)6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)則v(k)為滑動(dòng)平均過程，簡(jiǎn)稱MA過程。隨機(jī)系統(tǒng)建模策略：（1）對(duì)于系統(tǒng)中的平穩(wěn)隨機(jī)干擾序列v(k)和w(k)，按照線性疊加原理，將兩者合并為一個(gè)作用于系統(tǒng)輸出端的平穩(wěn)隨機(jī)干擾序列d(k)；（2）利用以上討論的平穩(wěn)隨機(jī)干擾建模方法，建立相應(yīng)的隨機(jī)干擾模型。6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)--為均值為零、方差為

的白噪聲序列被控對(duì)象模型可表示為：(12)--被控對(duì)象模型，也可稱為控制通道模型6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)--為隨機(jī)干擾模型或干擾通道模型上述模型的結(jié)構(gòu)如圖所示：6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)(13)由式（12）得(14)上式經(jīng)通分可進(jìn)一步化為

(15)其中A(z)為首一多項(xiàng)式。6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)模型的標(biāo)準(zhǔn)化處理：設(shè)這樣

也變成了首一多項(xiàng)式。式（16）可進(jìn)一步寫為(16)其中(17)從而求得(18)

(19)（1）若令，則為確定性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型（2）若令，則為ARMA隨機(jī)過程模型6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)設(shè)的首項(xiàng)系數(shù)為，則（15）式也可變?yōu)槭剑?6）也可表示為(20)其中，式（16）或式（20）便是標(biāo)準(zhǔn)的被控對(duì)象及干擾模型，通常稱為受控自回歸滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)稱CARMA(ControlledAuto-RegressiveMovingAverage)模型6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)（16）（4）

的零點(diǎn)均在單位圓內(nèi)。如果有單位圓外的零點(diǎn)，則可設(shè)法將其化到單位圓內(nèi)。（1）A(z)和C(z)均為首一多項(xiàng)式（2）

即（3）說明：上述（3）和（4）的假設(shè)是因?yàn)楦蓴_e(k)是白噪聲序列，所以總可以變化成滿足上述要求的干擾模型。6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)對(duì)此模型再進(jìn)一步作如下幾點(diǎn)假設(shè)：(21)6.3.1.2性能指標(biāo)具有前饋與反饋相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下：6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)說明：第5章和第6章所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)都是前饋與反饋相結(jié)合的復(fù)合控制器形式。（1）性能指標(biāo)為控制系統(tǒng)的輸出方差：（2）控制系統(tǒng)的偏差和控制量的二次型函數(shù)：6.3.1隨機(jī)干擾模型及性能指標(biāo)稱為廣義最小方差控制性能指標(biāo)形式：稱為最小方差控制其中6.3.2.1最優(yōu)預(yù)報(bào)被控對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)CARMA模型如下：(1)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)最優(yōu)預(yù)報(bào)

(2)式中

為商式，

為余式，其中利用多項(xiàng)式的除法可以求得(3)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)則有將式（3）代入式（2），得到(4)同時(shí)由式（1）得到(5)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)可以作分母嗎？將式（5）代入式（4），結(jié)合式（3）得到(6)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)隨機(jī)干擾項(xiàng)確定項(xiàng)從k時(shí)刻角度看，無法預(yù)先知道未來d步輸出值的最優(yōu)預(yù)報(bào)是指能夠使預(yù)測(cè)誤差的方差為最小的預(yù)測(cè)輸出，即將式（6）代入上式，得到6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)(7)兩者統(tǒng)計(jì)無關(guān)使該項(xiàng)為零未知項(xiàng)可以看出，使指標(biāo)

最小的方法是使上式中的第二項(xiàng)為零，從而得到(7)的最優(yōu)預(yù)報(bào)最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)誤差為：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)(8)其方差為

(9)式中白噪聲序列

是互不相關(guān)的。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)根據(jù)上面公式計(jì)算出和或和。（1）作多項(xiàng)式的帶余除法運(yùn)算，如式（3）所示?；?qū)懗缮鲜絻蛇呁艘?/p>

可得其中6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)最優(yōu)預(yù)報(bào)

計(jì)算步驟總結(jié)如下：Diophantine方程（2）根據(jù)式（7）計(jì)算最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)，即(10)最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)誤差即輸出量的最小方差為：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)6.3.2.2最小方差控制（I型最小方差控制）最小方差控制律：使性能指標(biāo)J1最小的最優(yōu)控制律。的性能指標(biāo)也可以寫成如下的形式：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)(11)根據(jù)式（11），結(jié)合式（8）得到：(12)將式（7）代入上式得到(13)使J1最小的方法是使上式中的第二項(xiàng)為零，這一點(diǎn)可以通過調(diào)整u(k)來實(shí)現(xiàn)。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)于是有:

(14)

由此得到I型最小方差控制律為:

(15)反饋控制作用最小方差前饋控制器為:

(16)最小方差反饋控制器為:

(17)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)前饋控制作用說明：控制器包括被控對(duì)象全部零點(diǎn)。在最小方差控制律下，可得系統(tǒng)輸出的最小方差為：(18)此方差與最優(yōu)預(yù)報(bào)誤差的方差相同，即(19)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布情況：當(dāng)參考輸入時(shí)，系統(tǒng)即為調(diào)節(jié)系統(tǒng)，此時(shí)最小方差調(diào)節(jié)器為：

(20)（1）調(diào)節(jié)系統(tǒng)的輸出最小方差與跟蹤系統(tǒng)相同（2）調(diào)節(jié)系統(tǒng)與跟蹤系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程基本相同。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)說明：（1）此時(shí)主要分析輸出y(k)與輸入（干擾）e(k)之間的關(guān)系；（2）也可以分析輸出y(k)與輸入yr(k)的關(guān)系，此時(shí)為分析跟蹤系統(tǒng)的閉環(huán)特性。被控對(duì)象模型可重寫為：

(21)根據(jù)式（20）有(22)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)將式（22）代入式（21）得(23)(24)或

(25)(26)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為(27)可進(jìn)一步化為

(28)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)上式兩邊同乘以得三部分組成考慮閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型中零極點(diǎn)對(duì)消的情況，將式（28）代入式（26），得到

(29)

則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程變?yōu)椋?30)

即閉環(huán)系統(tǒng)只有d-1個(gè)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的輸出總是收斂的，從這個(gè)意義上講，似乎閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)將式（25）、（26）代入式（22）得到：

(31)

可得到閉環(huán)系統(tǒng)的控制量傳遞函數(shù)模型為：(32)

閉環(huán)極點(diǎn)由二部分組成：（1）d-1個(gè)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)；（2）B(z)的零點(diǎn)（m-d個(gè)）。

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)例6.5設(shè)被控對(duì)象的模型如下：同時(shí)已知。試按和兩種情況，設(shè)計(jì)最小方差控制器，并計(jì)算相應(yīng)控制系統(tǒng)的輸出方差。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)可得，

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)解：（1）設(shè)延時(shí)拍數(shù)首先作如下的多項(xiàng)式除法：于是得到：求得最小方差為：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)首先計(jì)算：從而得到：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)（2）設(shè)延時(shí)拍數(shù)于是得到：這時(shí)的最小方差為：結(jié)論：當(dāng)延時(shí)拍數(shù)增加時(shí)，控制系統(tǒng)的輸出方差變大。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)6.3.2.3被控對(duì)象具有單位圓外零點(diǎn)時(shí)的最小方差控制

（II型最小方差控制）定理6.3給定被控對(duì)象的模型為

(1)

將B(z)分解為

(2)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)

(3)首一多項(xiàng)式則調(diào)節(jié)系統(tǒng)最小方差控制為：其中和滿足如下的Diophantine方程：

(4)其階次分別為

(5)是的互反多項(xiàng)式。因此，II型最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制器的傳遞函數(shù)為：(6)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)特點(diǎn)：只抵消了被控對(duì)象單位圓內(nèi)的零點(diǎn)。問題：最小方差是多少？沒有結(jié)論。分析調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布情況：被控對(duì)象模型為

(7)代入控制量u(k)：

(8)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)上式兩邊同乘以：(9)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為

(10)結(jié)合式Diophantine方程，得到(11)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

(12)可見，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)由四部分組成：（1）d-1個(gè)原極點(diǎn)（2）對(duì)象中位于單位圓內(nèi)的零點(diǎn)（3）對(duì)象中單位圓外零點(diǎn)關(guān)于單位圓周的鏡像（4）的零點(diǎn)。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)被控對(duì)象包含單位圓上的零點(diǎn)時(shí)不適合閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型中零極點(diǎn)對(duì)消后有

(13)則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程變?yōu)椋?/p>

(14)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)因此閉環(huán)系統(tǒng)的輸出y(k)總是收斂的。于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的控制量傳遞函數(shù)模型為

(16)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)可見，其閉環(huán)極點(diǎn)也都是穩(wěn)定的，因此控制量u(k)也是收斂的。結(jié)合式（3）和（13）得到：(15)II型最小方差跟蹤系統(tǒng)（）控制器的設(shè)計(jì)：同樣把包括前饋控制器和反饋控制器，前述調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制器相當(dāng)于反饋控制器，即

(17)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)I型最小方差反饋控制器特點(diǎn)：用代替I型控制器中的即可。于是II型最小方差控制中的前饋控制器為：

(18)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)I型最小方差前饋控制器例6.6被控對(duì)象模型為：同時(shí)已知。要求計(jì)算調(diào)節(jié)系統(tǒng)的最小方差控制。6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)模型參數(shù)為：解：該例中，，B(z)的零點(diǎn)在單位圓外，

B(z)因此可取，容易求得F(z)和Q(z)的階次為：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)從而可設(shè)，將F(z)、Q(z)及其它有關(guān)參數(shù)Diophantine方程，得到通過比較系數(shù)解得即于是調(diào)節(jié)系統(tǒng)最小方差控制為：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)說明：若設(shè)計(jì)跟蹤系統(tǒng)的最小方差控制器，則有：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)求調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出方差：從而求得6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)

(19)

閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型為：其中展開w(k)得到

(20)于是有

(21)根據(jù)式（20）有

(22)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)可見w(k)與e(k)二者不相關(guān)。因而根據(jù)式（22）可以解得

(23)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)將上式代入式（21）得(24)假設(shè)系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)，于是有6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)如果采用I型最小方差控制的設(shè)計(jì)方法，可以求得從而得到，可得I型最小方差控制器傳遞函數(shù)為(25)其最小方差為：(26)6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)結(jié)果分析：II型最小方差控制：I型最小方差控制：（u(k)收斂）（u(k)發(fā)散）不穩(wěn)定極點(diǎn)，B(z)引起的不穩(wěn)定極點(diǎn)，F(xiàn)(z)引起注意要點(diǎn)：控制器不穩(wěn)定的極點(diǎn)是否與被控對(duì)象不穩(wěn)定的零點(diǎn)抵消。其中包含所有單位圓內(nèi)的零點(diǎn)，且規(guī)定為首一多項(xiàng)式；包含所有單位圓上和圓外的零點(diǎn)。6.3.2.4逆不穩(wěn)定對(duì)象的最小方差控制也稱為III型最小方差控制：被控對(duì)象B(z)具有單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)的最小方差控制。定理6.4給定被控對(duì)象的模型為

(1)將B(z)分解為6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)(2)

假定的所有零點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，和不存在公因子，則最小方差控制為(3)其中，和滿足如下的Diophantine方程：(4)在上式中，為首一多項(xiàng)式，和的階次為

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)于是III型最小方差控制器的傳遞函數(shù)為：(5)由被控對(duì)象模型（1）和控制律（3）得到：6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)(6)分析閉環(huán)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為

(8)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)由上式并結(jié)合式（4）得(7)

其中不涉及被控對(duì)象單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)。(9)

于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的控制量傳遞函數(shù)模型為：(10)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)結(jié)合式（3）和（7）得到：III型最小方差閉環(huán)系統(tǒng)輸出方差：(11)其中6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)I型最小方差閉環(huán)系統(tǒng)輸出方差：其中II型最小方差閉環(huán)系統(tǒng)輸出方差：需要特殊計(jì)算對(duì)于參考輸入的跟蹤系統(tǒng)（），其III型最小方差控制器與II型最小方差控制器相同，即反饋控制器為：

(12)

前饋控制器的傳遞函數(shù)模型為：(13)

6.3.2最小方差控制器的設(shè)計(jì)例6.7被控對(duì)象模型為：同時(shí)已知要求設(shè)計(jì)III型最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制器。6.3