自主招生-數學-2011年華約解析版

設復數z滿足|z|<1且|z1|5則|z|= A B C D 解：由|z1|5得|z|215|z|，已經轉化為一個實數的方程。解得|z|2（ 1去 2P-ABCD中，M、NPA、PB22

。則異面直線DM與AN所成角的余弦為 A B C D 2，利用側zPMzPMDNCOyBx2解法一：如圖，設底面邊長為22

22222 1 12222)，則M(, ),N( )，DM(, ),AN 2 2 2 DM 6成的角為 DM 62解法二：如圖，設底面邊長為22

2DMANMN，DCDQQN=DM=AN2PMPMDNQ5 53PA=PB=AB=2QN=AN=3cosANQ16

AQ=

，容易算出等腰ΔAQN過點(-1,1)的直線l與曲線相切，且(-1,1)不是切點，則直線l的斜率為 A C D若AB2，則cos2Acos2B的最小值和最大值分別為 3A1

3, B1,

C1

3

1 2 1[分析]首先盡可能化簡結論中的表達式cos2Acos2B解cos2Acos2B1cos2A1cos2B11(cos2Acos 1cos(ABcos(AB)11cos(AB2A、BO1A=O1C，O2B=O2C。

C

上，則OO1O2OO2O1OACOCA1OOOOBCOCB1OOO， 1 2OCAOCB1(OOOOOO) 1 2 OCAOCB)sincos 本題中假設兩個小圓的半徑相等，則OO

OO

OCAOCB1OO

1 2 1 OCAOCB)sincos ababA有且只有一個B有且只有兩個C有且只有三個D知兩條相交直線a，b60°角，求空間中過交點與a，b都成45°角的直線。答案4個。已知向量a0,1b

31c(31xaybzc1,1)x2y2z2的最小值為

A B C D 3y 3z

3(yz)

， xyz

xyz (yz)2(yxy

x 323z，yz三個變量，變形

yz

yz2(x (yz)2(yxy

x2x22(x1)223x24x83(x2)24，答案 AB為過拋物線y2=4x焦點F的弦，O為坐標原點，且OFA135，C為拋物線準線與x軸的交點，則ACB的正切值為( 2454322454323F（1，0，C（-1，0，AB=2解得A2222)，B2222)，于2222

2

=-2，tanACB

kCAkCB ，答222

1=EF∥DA，EF2，AFAD，BFBC，求∠AEBFB FBECtanAEFtanEADDEGF

22tanBEFtanEBC

，AEBAEFBEF2AEF2

DFS

，

BDS

(1

ABE

AES

，于是

(1x)

2(1xyz。將yzx1，于是 1(1x)(x1)2，解這個一元函數的極值問題，x12取極大

(10)11911邊形內兩兩不相交，則（）AD1解：我們先證明所分出的三角形中至多只有一個銳角三角形。如圖，假設ΔABC是銳角三角形，我們證明另一個三角形ΔDEF(AC的另一邊)的(EFAC重合)的∠D一定是鈍角。事實上，∠DADCABCD∠ADC180°-∠B，所以∠D為鈍角。這樣就排除了B，CEAEBD ABADC假設ΔABC中∠BACAC的另一側的相鄰(AC)ΔACD，則∠D=180°-∠B是銳角，這時如果或是鈍角，我們用同D。

tanCtan(AB)

tanAtantanAtanB1tanAtanBtanCtanAtanBtan由已知

tanB

3，B=。 1 2

43sin2Asin 43sin2又

sin

sin

sin3

3 sin2Asin 3 sin(AC)cos(A cos2(AC)cos2(Acos2(AC)cos2B

sin(AC)sinB 13， 2132，代入得2cos2AC13cosAC4cos2(AC)3cos(AC)10

cos(AC)，

cosAC1， 計，且水杯直立放置b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還有=1。2：3。水杯的重心位置（ 底面的距離）為2，水的重心位置為4213 42 ) =a：x22b a1xa2置為b，于是 2bx，解得x a2a （13）已知函數f(x) 2x，f(1)1，f(1)2。令

1 f(xax(I)求數列{xn}的通項公式

x x 解：由f(11，f12得ab1，f(x x

x12，x23，x35，x49xn2n112k明。當n=1顯然成立；假設n=k顯然成立，即xk2k11，則k f(x)2xk k

kkk

kx 2kk1

2e(11(111x

2(11)(1

1 12a1a)22na1a)2n1x

1)2n121n

1)2n12(1

1)2n2e1 已知雙曲線C

1(a0b0)F1F2C的左右焦點。PC

（I）CeQ（λ>0,FEF