塑性加工力學(xué)-第10章-上限法

概述

虛功原理與基本能量方程

最大散逸功原理

上、下限定理

上限法的解題步驟和應(yīng)用實(shí)例第10章上限法10.1概述基于虛功原理和變分原理的極限分析法或界限法：下限法和上限法用下限法計(jì)算極限載荷時(shí)，只假設(shè)塑性變形區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為靜可容應(yīng)力場1）、滿足平衡微分方程2）、滿足力邊界條件3）、不違背屈服準(zhǔn)則依據(jù)此應(yīng)力場所求得的極限載荷總是小于真實(shí)載荷，故稱為下限法證明對屈雷斯加，Mises，∵∴∵∴……(1)……(2)……(3)∵……(4)……(5)∵∴根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則∴……(6)……(7)上限法

假設(shè)塑性變形區(qū)的位移狀態(tài)為動(dòng)可容速度場1）、滿足速度（位移）邊界條件2）、變形體內(nèi)保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開裂3）、滿足體積不變條件由于所設(shè)的速度場只要求滿足動(dòng)可容條件，而不考慮應(yīng)力方面的條件，因此，該速度場不一定是真實(shí)速度場。所求得的載荷總是大于真實(shí)載荷，故稱為上限法1、由于上限法所求得的載荷總是大于真實(shí)載荷，因此對設(shè)備和模具比較安全2、上限法是利用能量平衡原理，不必解復(fù)雜的偏微分方程10.2虛功原理與基本能量方程界限法的力學(xué)基礎(chǔ)是虛功原理如對載荷作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時(shí)，則外力在虛位移上所作的虛功，必等于變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功（虛應(yīng)變能）

虛功方程或基本能量方程……(1)虛功方程的證明已知力邊界條件為…(1-1)利用曲面積分與體積積分的關(guān)系∵虛功原理得證∵∴利用求和約定證明∵∴應(yīng)力球張量不做功…(2)…(3)速度間斷（5）為存在速度間斷的虛功方程。由于速度間斷面實(shí)質(zhì)上是最大切應(yīng)力平面，故…(4)…(5)10.3最大散逸功原理

對剛塑性體一定的應(yīng)變增量場而言，在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變增量場符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力偏量和應(yīng)變增量滿足同一屈服準(zhǔn)則的任意應(yīng)力偏量場…(6)最大散逸功原理的證明OQ一定在π

平面上…(7)…(8)32OQ主軸空間內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變矢量Π平面上的偏應(yīng)力矢量和應(yīng)變矢量M231Qθ由于屈服軌跡是外凸的曲線對上式進(jìn)行整體積分得同樣對于虛擬應(yīng)變增量場…(9)M231Qθ物體在塑性變形時(shí)，總是要導(dǎo)致最大的能量散逸對于一定的應(yīng)變增量場，在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變增量場長符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大。…(10)除以dtM231Qθ10.4上、下限定理

下限定理剛塑性體，應(yīng)力球張量不做功…(11)虛功原理設(shè)有一應(yīng)力場，滿足靜可容條件與虛擬應(yīng)力場相對應(yīng)的表面力…(12)(11)減(12)得…(13)在力面上由最大逸散功原理∴∴在位移面上，由任一靜可容應(yīng)力場引起的表面力所做的功增量總是小于真實(shí)表面力所做的功增量可得到真實(shí)載荷的下限解…(14)滿足力平衡上限法從動(dòng)可容位移增量（速度）場，并不要求相應(yīng)的應(yīng)力場滿足靜可容條件現(xiàn)設(shè)有一動(dòng)可容位移場速度間斷面位移增量間斷值…(15)參照虛功方程（5）得在最大逸散功原理得按屈服準(zhǔn)則面上得剪切功虛位移功真實(shí)力虛功真實(shí)力功…(17)為上限定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在位移面上，與任一動(dòng)可容位移增量場對應(yīng)的表面力所做的功增量，總是大于或等于真實(shí)表面力在真實(shí)位移增量場上所做的功增量。若用分別代替和，則式（16）中的各項(xiàng)變?yōu)橄鄳?yīng)的功率，因而得…(18)由上所確定的載荷，總是大于或大于或等于真實(shí)表面力所確定的載荷P存在外摩擦?xí)r要計(jì)入摩擦功為自由表面時(shí)對于真實(shí)應(yīng)變場來說，真實(shí)應(yīng)力場與虛擬應(yīng)力場相比，真實(shí)應(yīng)力場所消耗的功（或功率）最大。但是，真實(shí)應(yīng)力場總是力圖引起最小的變形。因此，對真實(shí)應(yīng)力場來說，真實(shí)應(yīng)力場與虛擬應(yīng)變場相比，真實(shí)應(yīng)變場消耗的功最小。真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)具有最大的性質(zhì)，而真實(shí)應(yīng)變狀態(tài)具有最小的性質(zhì)，這就是剛塑性體的極值原理。10.5上限法的解題步驟和應(yīng)用實(shí)例一、解題步驟根據(jù)金屬流動(dòng)模式（變形規(guī)律）和解題要求（如缺陷分析），設(shè)計(jì)動(dòng)可容速度場；利用塑性理論中的幾何方程，由該速度場確定應(yīng)變速率場和等效應(yīng)變速度場；計(jì)算各項(xiàng)上限功率利用最優(yōu)化原理確定使總功率消耗為最小的準(zhǔn)獨(dú)立變量。求解上限載荷，并進(jìn)行各變量間相互關(guān)系的分析，從中得出用以指導(dǎo)工藝變形的參數(shù)的結(jié)論。選擇合量的流動(dòng)模式和設(shè)計(jì)盡可能接近實(shí)際情況的動(dòng)可容速度場，是關(guān)鍵。上限法中的動(dòng)可容速度場主要有三種模式平面應(yīng)變問題，參照相關(guān)的滑移線場，把變形體簡化成速度間斷面分隔的若干三角形剛性塊。含有連續(xù)速度場的上限流動(dòng)模式，即把塑變區(qū)設(shè)計(jì)為連續(xù)速度場，如平行速度場、各種形式的向心速度場等，只在剛-塑性邊界產(chǎn)生速度間斷。此外，還有用流函數(shù)求得的連續(xù)速度場?？捎糜谄矫鎽?yīng)變問題，也可用于軸對稱變形問題。上限單元技術(shù)。將變形體的單元?jiǎng)澐趾退俣葓龅拇_定規(guī)范化，進(jìn)而計(jì)算各單元內(nèi)部的功率消耗、各單元之間的剪