自動控制原理第三講

2023年1月14日自動控制原理1

第三章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3.1控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

3.2線性控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

3.3結(jié)構(gòu)圖3.4信號流圖

3.5閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.1控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2023年1月14日自動控制原理23.1.1概述1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）:描述系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。動態(tài)模型：描述動態(tài)過程中各變量之間的關(guān)系。靜態(tài)模型：描述靜態(tài)條件下各變量之間的關(guān)系。2023年1月14日自動控制原理32數(shù)學(xué)模型種類時域：微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖；頻域：頻率特性等。3建模方法分析法（機理法）實驗法（辨識）2023年1月14日自動控制原理43.1.2線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立一般步驟：分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量和中間變量；根據(jù)系統(tǒng)的基本定律（物理、化學(xué)定律），從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的運動方程（微分方程）；2023年1月14日自動控制原理5聯(lián)立方程，消去中間變量，得到有關(guān)輸入量與輸出量之間關(guān)系的微分方程；標準化。即將與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊，與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊，等式兩邊的導(dǎo)數(shù)項按降冪排列。例1已知無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試寫出它的數(shù)學(xué)模型。2023年1月14日自動控制原理6解：根據(jù)基爾霍夫定律消去中間變量i，得例2

如圖所示。試列寫以ui為輸入量，uo為輸出量的微分方程。2023年1月14日自動控制原理7解：根據(jù)基爾霍夫定律消去中間變量i例3

設(shè)有由彈簧－質(zhì)量－阻尼器構(gòu)成的機械平移系統(tǒng)如圖所示。試列寫出質(zhì)量m在外力F作用下，位移x的微分方程2023年1月14日自動控制原理8解：根據(jù)牛頓定律

m2023年1月14日自動控制原理93.2線性控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.2.1傳遞函數(shù)定義1傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量c(t)與輸入量r(t)的拉氏變換之比。2023年1月14日自動控制原理10設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為零初始條件，即c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)初始值均為零則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2023年1月14日自動控制原理11例1

如圖所示。試列寫以ui為輸入量，uo為輸出量的傳遞函數(shù)。解：由上節(jié)結(jié)論2023年1月14日自動控制原理12例2

如圖所示。試列寫出質(zhì)量m在外力F作用下，位移x的傳遞函數(shù)。m解：由上節(jié)結(jié)論2023年1月14日自動控制原理133.2.2傳遞函數(shù)的說明傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)；由微分方程經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，拉氏變換是一種線性積分運算。傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律；傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)是處于相對靜止狀態(tài)。2023年1月14日自動控制原理14傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入量的大小和形式無關(guān)；傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式；分母多項式的最高階次n高于或等于分子多項式的最高階次m，即n≥m。一個傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系，對多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)陣表示。2023年1月14日自動控制原理15傳遞函數(shù)的表示形式基本形式零極點形式時間常數(shù)形式2023年1月14日自動控制原理163.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1比例環(huán)節(jié)(Proportional)R(s)C(s)R(s)KK—放大系數(shù)或增益。動態(tài)方程為輸出量與輸入量成正比，不失真也無時間滯后的環(huán)節(jié)。2023年1月14日自動控制原理17例：如圖所示為運算放大器。設(shè)輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。根據(jù)電路定律，可知該電路的微分方程為式中，K=-R2/R1傳遞函數(shù)為2023年1月14日自動控制原理182慣性環(huán)節(jié)T—慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

K—慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù)。

傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律。R(s)C(s)R(s)

慣性環(huán)節(jié)2023年1月14日自動控制原理19

如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)。設(shè)輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。根據(jù)基爾霍夫定律，可知該電路的微分方程為

RC電路消去中間變量I(s)，得到傳遞函數(shù)為熱電偶測量介質(zhì)溫度。輸入信號為被測介質(zhì)溫度θ，輸出信號為熱電勢E。介質(zhì)向熱電偶傳熱

Rθ:熱阻，假定為常數(shù)；熱電偶溫度變化

cθ:熱電偶熱容量；熱電勢

r：熱電偶特性常數(shù)；2023年1月14日自動控制原理20消去中間變量q、θh：拉氏變換得：傳遞函數(shù)：2023年1月14日自動控制原理212023年1月14日自動控制原理223.積分環(huán)節(jié)(Integral)Ti—積分時間常數(shù)。

傳遞函數(shù)為動態(tài)方程為R(s)C(s)R(s)2023年1月14日自動控制原理23如圖所示為運算放大器。設(shè)輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。根據(jù)電路定律，可知該電路的微分方程為傳遞函數(shù)為

運算放大器水箱系統(tǒng)。以流量q為輸入，水位h為輸出。2023年1月14日自動控制原理242023年1月14日自動控制原理25動態(tài)方程為4微分環(huán)節(jié)(Differential)Td—微分時間常數(shù)

傳遞函數(shù)為理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入對時間的微分呈正比。R(s)C(s)R(s)

微分環(huán)節(jié)2023年1月14日自動控制原理26如圖所示為一電感線圈。設(shè)輸入為i(t)，輸出為uo(t)。根據(jù)基爾霍夫定律，可知該電路的微分方程為傳遞函數(shù)為電感線圈2023年1月14日自動控制原理27理想微分環(huán)節(jié)在實際中難以得到，往往使用一些近似環(huán)節(jié)來執(zhí)行微分作用，稱為實際微分環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：當(dāng)T?1時，就能近似得到

2023年1月14日自動控制原理285.一階微分環(huán)節(jié)τ—時間常數(shù)

傳遞函數(shù)為一階環(huán)節(jié)的輸出等于輸入與其一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)和。動態(tài)方程為R(s)C(s)R(s)

一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)的并聯(lián)，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。2023年1月14日自動控制原理296二階振蕩環(huán)節(jié)ωn=1/T—無阻尼自然振蕩頻率；ξ—阻尼比。傳遞函數(shù)為動態(tài)方程為：R(s)C(s)R(s)二階振蕩環(huán)節(jié)2023年1月14日自動控制原理30

在振蕩環(huán)節(jié)里面常包含兩個儲能元件，如機械和電氣系統(tǒng)里的質(zhì)量和彈簧，電容和電感都有儲能的能力，而阻尼器和電阻則為耗能元件。當(dāng)系統(tǒng)受到輸入作用是，能量可能在兩個儲能元件之間相互轉(zhuǎn)換而形成振蕩。2023年1月14日自動控制原理31如圖所示RLC電路。設(shè)輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。解根據(jù)基爾霍夫定律，可知該電路的微分方程為

RLC電路uiuoRLCi2023年1月14日自動控制原理32消去中間變量I(s)，得到傳遞函數(shù)為2023年1月14日自動控制原理337二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為動態(tài)方程為R(s)C(s)R(s)

二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。2023年1月14日自動控制原理348延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為延遲(時滯)環(huán)節(jié)是在輸入信號作用后，輸出信號要延遲一段時間才重現(xiàn)輸入信號的環(huán)節(jié)。其動態(tài)方程為R(s)C(s)R(s)延遲環(huán)節(jié)2023年1月14日自動控制原理353.3結(jié)構(gòu)圖3.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成1結(jié)構(gòu)圖(方框圖、方塊圖)：將系統(tǒng)中所有的部件都用方框表示，在方框中標明其傳遞函數(shù)，按照信號傳遞方向把各方框依次連接組成的一種圖形。2023年1月14日自動控制原理362組成（結(jié)構(gòu)圖四要素）方框：又稱環(huán)節(jié)，表示對輸入信號所進行的數(shù)學(xué)變換。方框的輸出信號等于輸入信號乘以方框中的傳遞函數(shù)。信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞的方向，線上標記所對應(yīng)的變量；

r(t),R(s)2023年1月14日自動控制原理37

引出點:表示信號引出或測量的位置；從同一位置引出的信號，大小和性質(zhì)完全相同。比較點（或綜合點）:表示對兩個或兩個以上的信號進行加減運算。

2023年1月14日自動控制原理383.3.2結(jié)構(gòu)圖的建立一般步驟：寫出組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程；求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方塊圖內(nèi)，將信號的拉普拉斯變換標在信號線附近；按照系統(tǒng)中信號傳遞的順序，依次將各環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖連接起來，構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例1已知無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，畫出結(jié)構(gòu)圖。零初始條件下，拉氏變換得2023年1月14日自動控制原理39解：根據(jù)基爾霍夫定律3.3.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換框圖的變換：用一個框圖去代替與之等價的另一個框圖。2023年1月14日自動控制原理401串聯(lián)

串聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。2023年1月14日自動控制原理412并聯(lián)

并聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。2023年1月14日自動控制原理423反饋連接系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)2023年1月14日自動控制原理434比較點的移動移動原則：保持在移動前后信號的等效性。比較點后移

需要在R2(S)信號線上加上一個傳遞函數(shù)為G(s)的方框2023年1月14日自動控制原理44C(s)G(s)R1(s)R2(s)W（s)比較點前移

需要在R2(S)信號線上加上一個傳遞函數(shù)為1/G(s)的方框2023年1月14日自動控制原理45C(s)G(s)R1(s)R2(s)W(s)比較點互移

兩相鄰比較點之間的換位移動，無需作其它變換2023年1月14日自動控制原理46C(s)R1(s)R2(s)R3(s)C(s)R1(s)R3(s)R2(s)5分支點移動原則：分支點移動前后分支信號不變。分支點前移

需要在分支上加上一個傳遞函數(shù)為G(s)的方框2023年1月14日自動控制原理47C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)分支點后移需要在分支上加上一個傳遞函數(shù)為1/G(s)的方框2023年1月14日自動控制原理48C(s)G(s)R(s)R(s)例：簡化結(jié)構(gòu)圖，并計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。比較點A后移2023年1月14日自動控制原理49比較點互換位置W1與W2串聯(lián)

2023年1月14日自動控制原理502023年1月14日自動控制原理51例

試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。R(s)---C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)解2023年1月14日自動控制原理52R(s)---C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1第一步，將引出點后移。2023年1月14日自動控制原理53第二步，對由G3(s)、