第5章基本立體及交線(完整1)-20141115

5.1平面立體投影、表面取點(diǎn)及切割5.2曲面立體投影、表面取點(diǎn)及切割5.3立體與立體相交

第5章基本形體的投影與立體表面交線第5章基本形體的投影與立體表面交線本章學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解基本立體的形成、投影和表面取點(diǎn)；掌握平面切割立體所產(chǎn)生的截交線的性質(zhì)及投影特點(diǎn)；掌握立體與立體表面相交所產(chǎn)生的相貫線的性質(zhì)及投影特點(diǎn)。第5章基本形體的投影與立體表面交線本章學(xué)習(xí)內(nèi)容本章學(xué)習(xí)內(nèi)容基本形體（平面立體和曲面立體）的形成、投影特點(diǎn)和表面取點(diǎn)方法；

平面切割立體所產(chǎn)生的截交線的性質(zhì)及投影特點(diǎn)和作圖方法；

立體和立體表面相交所產(chǎn)生的相貫線的性質(zhì)、投影特點(diǎn)和作圖方法。第5章基本形體的投影與立體表面交線常見(jiàn)基本形體

常見(jiàn)的基本形體平面立體曲面立體第5章基本形體的投影與立體表面交線

平面立體：表面都由平面組成的立體，包括棱柱、棱錐。平面立體的表面由若干個(gè)多邊形平面所圍成，繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制它的各表面的投影。5.1平面立體投影、表面取點(diǎn)及切割

正三棱柱由頂面、底面和三個(gè)側(cè)面圍成。棱柱的形成

棱柱通常按它的底面邊數(shù)命名，如底面邊數(shù)為三邊形，則稱為三棱柱。點(diǎn)擊圖片播放視頻一、棱柱的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析棱柱投影分析與繪圖步驟

六棱柱的上底面和下底面與水平投影面H平行。六棱柱兩底面的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影積聚成水平直線。側(cè)面的投影積聚成直線或?yàn)轭愃菩巍?/p>

繪圖步驟：(1)繪棱柱的水平投影；(2)繪底面的投影；(3)繪頂面及側(cè)面。一、棱柱的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-1棱柱表面取點(diǎn)

在平面立體表面上取點(diǎn)，其原理和方法與在平面上取點(diǎn)相同。例5-1

如圖所示，已知點(diǎn)M、N在六棱柱表面上，并知點(diǎn)M的水平投影(m)和點(diǎn)N的正面投影n，求出點(diǎn)M、N的另外兩個(gè)投影。mmnn一、棱柱的投影及表面取點(diǎn)abn

a1b1(m)a(a1)b(b1)

正四棱錐由正方形的底面和四個(gè)相同的等腰三角形的側(cè)面圍成。棱錐的形成

棱錐由一個(gè)底面和若干側(cè)面組成。側(cè)棱交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)—錐頂。點(diǎn)擊圖片播放視頻二、棱錐的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析棱錐投影分析與繪圖步驟

棱錐底面平行于水平投影面，其正面投影和側(cè)面投影積聚成水平直線。側(cè)面投影積聚成直線或?yàn)轭愃迫切巍?/p>

繪圖步驟：(1)繪底面的水平投影；(2)繪底面的正面和側(cè)面投影；(3)繪錐頂及側(cè)面的投影。

babc

a(c)s

a

c

s

sb二、棱錐的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-2棱錐表面取點(diǎn)

在平面立體表面上取點(diǎn)，其原理和方法與在平面上取點(diǎn)相同。例5-2

如圖所示，已知點(diǎn)M、N在三棱錐表面上，并知它們的正面投影m

、n

，求出點(diǎn)M、N的另外兩個(gè)投影。m(n)nm二、棱錐的投影及表面取點(diǎn)平面與立體交線1、平面與立體的交線

截切：用平面與立體相交，截去體的一部分。截平面截交線截面截交線截平面截面截面截交線

截平面：切割基本形體的平面；

截交線：截平面與形體表面的交線；

截面：由截交線圍成的平面圖形。三、平面體切割截交線的性質(zhì)1、平面與立體的交線

截交線的性質(zhì)：(1)

共有性：是截平面與立體表面的共有線；(2)

封閉性：是封閉的平面多邊形。求截交線的方法：(1)

棱線法：求各棱線與截平面的交點(diǎn)；(2)

表面法：求各表面與截平面的交線。三、平面體切割例5-3求平面與棱柱的交線2、平面與棱柱的交線例5-3

如圖所示，六棱柱被截切，已知其正面投影，補(bǔ)全其水平投影和側(cè)面投影。1’2’(3’)4’(5’)6’(7”)53421766”4”5”7”2”3”1”三、平面體切割

作圖步驟：(1)求截切平面與棱線的交點(diǎn)的V面投影；(2)按一定的順序連接各個(gè)交點(diǎn)的V面投影；(3)繪制各棱線的V面投影。例5-4求平面與棱錐的交線3、平面與棱錐的交線

例5-4

如圖所示，三棱錐被一正垂面斜切，已知其正面投影，求水平投影。1’2’3’123三、平面體切割

作圖步驟(1)求截交線頂點(diǎn)的水平投影；(2)依次連接各頂點(diǎn)的水平投影；(3)繪制各棱線的的水平投影。

曲面立體：形體的表面都由曲面或曲面與平面組成的立體，包括圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)。5.2曲面立體投影、表面取點(diǎn)及切割圓柱的形成

圓柱由一平行于軸線的母線繞軸線旋轉(zhuǎn)一周形成。圓柱有兩個(gè)底面和一個(gè)回轉(zhuǎn)面。圓柱面的素線都與軸線平行，所有緯圓的直徑相同。(a)圓柱面的形成(b)圓柱的結(jié)構(gòu)特征(c)圓柱面的結(jié)構(gòu)特征圓柱的特征母線軸線底面圓柱面素線緯圓點(diǎn)擊圖片播放視頻一、圓柱的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析圓柱投影分析

圓柱的軸線垂直于H面。圓柱上、下底圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影積聚為一直線。

圓柱面的水平投影積聚為圓，與底圓的水平投影重合，其正面和側(cè)面投影為矩形。

圓柱面的輪廓素線AA1、BB1將圓柱面分成可見(jiàn)的前半部分與不可見(jiàn)的后半部分。輪廓素線CC1、DD1將圓柱面分成可見(jiàn)的左半部分與不可見(jiàn)的右半部分。一、圓柱的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析圓柱繪圖步驟

繪圖步驟：(1)

繪出圓柱的軸線和圓的對(duì)稱中心線；(2)

繪畫(huà)出具有積聚性的水平投影（圓）；(3)

繪根據(jù)投影關(guān)系畫(huà)出正面投影和側(cè)面投影（兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形）。一、圓柱的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-5圓柱表面取點(diǎn)

例5-5

如圖所示，已知點(diǎn)A、B、C在圓柱表面上，并知它們的正面投影a’、b’、(c’)，求出A、B、C的另外兩個(gè)投影。abcb”a”(c”)一、圓柱的投影及表面取點(diǎn)平面截切圓柱體的形式

截交線是截平面與形體表面的交線。按截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同，與圓柱的截交線可以有三種形式――兩平行直線、圓和橢圓。截平面位置平行于圓柱軸線垂直于圓柱軸線傾斜于圓柱軸線截交線直線圓橢圓立體圖投影圖四、圓柱體切割圓柱體切割與開(kāi)槽

生產(chǎn)實(shí)際中的機(jī)件，經(jīng)常有圓柱切割的結(jié)構(gòu)形式，在畫(huà)這些零件的視圖時(shí)經(jīng)常遇有求截交線的問(wèn)題。(a)切割(b)開(kāi)槽圓柱切割與開(kāi)槽點(diǎn)擊播放視頻四、圓柱體切割例：空心圓柱被切割，求俯視圖?！瘛瘛瘛窭嚎招膱A柱被切割，求俯視圖。例：空心圓柱被開(kāi)槽，求俯視圖。例：空心圓柱被開(kāi)槽，求俯視圖。分析、比較例5-8求圓柱體的截交線例5-8

如圖所示，圓柱被與圓柱軸線傾斜的正垂面截切，已知其正面投影和水平投影，求側(cè)面投影。1”2”3”4”1’2’(4’)3’1324繪圖步驟：(1)求特殊點(diǎn)：最低點(diǎn)Ⅰ

、最高點(diǎn)Ⅲ

、最前點(diǎn)Ⅱ、最后點(diǎn)Ⅳ；(2)求一般點(diǎn)：V、VI、VII、VIII；(3)光滑連接各點(diǎn)；(4)求輪廓素線投影。56785’(8’)6’(7’)5”7”6”8”點(diǎn)擊播放視頻四、圓柱體切割圓柱體截交線變化趨勢(shì)

截平面與軸線的不同夾角時(shí)，截交線形狀的變化趨勢(shì)。橢圓的長(zhǎng)、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。截平面與圓柱軸線成45°時(shí)，投影為圓。45°四、圓柱體切割圓錐的形成

圓錐是由一條母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)一周形成的，具有一個(gè)底面和一個(gè)回轉(zhuǎn)面（圓錐面）。圓錐面上所有素線相交于錐頂，所有緯圓平行。(a)

圓錐面的形成(b)

圓錐的結(jié)構(gòu)特征(c)

圓錐面的結(jié)構(gòu)特征圓錐的特征母線軸線底面圓錐面錐頂素線緯圓點(diǎn)擊圖片播放視頻二、圓錐的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析圓錐投影分析

圓錐的軸線垂直于H面。圓錐底圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影積聚為水平直線。

圓錐面的水平投影為圓，其正面和側(cè)面投影為三角形。

圓錐面的輪廓素線SA、SB將圓柱面分成可見(jiàn)的前半部分與不可見(jiàn)的后半部分。輪廓素線SC、SD將圓柱面分成可見(jiàn)的左半部分與不可見(jiàn)的右半部分。二、圓錐的投影及表面取點(diǎn)1、投影分析圓錐繪圖步驟

繪圖步驟：(1)繪制軸線和圓的對(duì)稱中心線的投影；(2)繪制圓錐的水平投影（圓）；(3)繪制圓錐的正面和側(cè)面投影（兩個(gè)一樣大小的三角形）。

s●

s●s二、圓錐的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-6圓錐表面取點(diǎn)

例5-6

如圖所示，已知點(diǎn)A在圓錐表面上，并知它的正面投影a’，可采用下列兩種方法求出點(diǎn)A的水平投影a和側(cè)面投影a”

。aa”ee’s’s”se”

素線法二、圓錐的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-6圓錐表面取點(diǎn)

例5-6

如圖所示，已知點(diǎn)A在圓錐表面上，并知它的正面投影a’，可采用下列兩種方法求出點(diǎn)A的水平投影a和側(cè)面投影a”

。aa”s’s”s

緯圓法二、圓錐的投影及表面取點(diǎn)五、圓錐體切割

根據(jù)截平面與圓錐軸線的位置不同，截交線有五種情況―圓、直線、雙曲線、橢圓和拋物線。截平面位置垂直于圓錐軸線通過(guò)錐頂平行于圓錐軸線與圓錐所有素線相交平行于圓錐一條素線截交線圓直線雙曲線橢圓拋物線立體圖投影圖例5-9求圓錐被側(cè)平面截切的截交線例5-9

如圖所示，圓錐被一側(cè)平面截切，求其側(cè)面投影。

繪圖步驟：(1)求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；(2)求一般點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ；(3)光滑連接各點(diǎn)；(4)求輪廓素線投影。13素線法21’2’(3’)2”3”1”454”5”4’(5’)五、圓錐體切割例5-10求圓錐被正垂面截切的截交線例5-10

圓錐被一正垂面截切，完成其水平投影和側(cè)面投影。

繪圖步驟：(1)求特殊點(diǎn)，最低點(diǎn)Ⅰ、最高點(diǎn)Ⅱ

、最前點(diǎn)Ⅲ、最后點(diǎn)Ⅳ，轉(zhuǎn)向輪廓素線上點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ；(2)求一般點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ；(3)光滑連接各點(diǎn)；(4)求輪廓素線投影。1’2’3’(4’)5’(6’)7’(8’)9’(10’)124387659102”1”10”9”4”3”6”5”8”7”點(diǎn)擊播放視頻五、圓錐體切割圓球的形成

一圓周繞自身的一直徑旋轉(zhuǎn)一周即形成圓球，形成的回轉(zhuǎn)面稱為圓球面。平面與球面的交線為一個(gè)圓，稱為緯圓。圓球的形成軸線圓母線緯圓點(diǎn)擊圖片播放視頻三、圓球的投影及表面取點(diǎn)

輪廓素線（圓周AECF）平行于正立投影面，把圓球分為前半球可見(jiàn)，后半球不可見(jiàn)；輪廓素線（圓周ABCD）平行于水平投影面，把圓球分為上半球可見(jiàn)，下半球不可見(jiàn)；輪廓素線（圓周BEDF）平行于側(cè)立投影面，把圓球分為左半球可見(jiàn)，右半球不可見(jiàn)。1、投影分析圓球投影分析

球的三個(gè)投影均為圓，其直徑與圓球的球面直徑相等。這三個(gè)圓是圓球上三個(gè)不同方向的輪廓緯圓的投影。三、圓球的投影及表面取點(diǎn)2、表面取點(diǎn)例5-7圓球表面取點(diǎn)

例5-7

已知點(diǎn)A在球面上，并知它的正面投影a’，求出點(diǎn)A的另外兩個(gè)投影。a”輔助圓法a三、圓球的投影及表面取點(diǎn)六、圓球體切割

平面與圓球的截交線為圓。當(dāng)截平面平行、垂直、和傾斜于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影分別為直線、圓和橢圓。截平面位置與V面平行與H面平行與W面垂直立體圖投影圖例5-11求圓球被正垂面截切的截交線例5-11

圓球被一正垂面截切，完成其水平投影和側(cè)面投影。

繪圖步驟：(1)截交線的投影為橢圓，投影橢圓上短軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ與長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅲ

、Ⅳ

；(2)求截交線與輪廓線的交點(diǎn)Ⅴ

、Ⅵ

；(3)求截交線與輪廓線的交點(diǎn)Ⅶ

、Ⅷ

；(4)依次光滑連接各點(diǎn)；(5)檢查并加粗可見(jiàn)輪廓線。點(diǎn)擊播放視頻六、圓球體切割例5-12求開(kāi)槽半圓柱的投影例5-12

半圓球開(kāi)槽，已知正面投影，求其水平投影和側(cè)面投影。點(diǎn)擊播放視頻六、圓球體切割例5-13畫(huà)頂尖的投影例5-13

畫(huà)頂尖的投影。

分析：頂尖由同軸的圓錐與兩個(gè)圓柱疊加而成。Q平面平行軸線切圓錐及兩圓柱，其與圓錐相交，得截交線為雙曲線，與圓柱相交的截交線為兩平行直線。正垂面P與圓柱相交的截交線為橢圓的一部分?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛馪Q七、復(fù)合回轉(zhuǎn)體切割兩立體相交——相貫。兩立體相交表面產(chǎn)生的交線——相貫線。5.3立體表面的相貫線相貫線的主要性質(zhì)：

求相貫線的作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。★共有性★表面性相貫線位于兩立體的表面上。相貫線是兩立體表面的共有線?！锓忾]性

相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。★相貫線是由若干段平面曲線或直線組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉(zhuǎn)體表面的交線。一、平面體與回轉(zhuǎn)體相貫★求相貫線的步驟：分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對(duì)位置，從而確定交線的形狀。求出各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線。連接各段交線，并判斷可見(jiàn)性?！锴蠼痪€的實(shí)質(zhì)是求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。例1：補(bǔ)全主視圖

空間分析：四棱柱的四個(gè)棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，其交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，其交線為兩段圓弧。投影分析：由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的側(cè)面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。例1：補(bǔ)全主視圖★相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。二、回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫★作圖方法

表面取點(diǎn)法輔助平面法先找特殊點(diǎn)。★作圖過(guò)程補(bǔ)充中間點(diǎn)。確定交線的彎曲趨勢(shì)確定交線的范圍例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛?/p>

空間及投影分析：

小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影積聚在該圓上。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影應(yīng)積聚在該圓上，為兩圓柱面共有的一段圓弧。求相貫線的投影：

利用積聚性，采用表面取點(diǎn)法。☆找特殊點(diǎn)☆補(bǔ)充中間點(diǎn)☆光滑連接例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。討論：