第2章-1 地震作用-單自由度課件

第2章地震作用內(nèi)容提要單自由度系統(tǒng)方程及其理論求解動(dòng)力特性與阻尼比問題自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)共振問題利用設(shè)計(jì)反應(yīng)譜求最大地震反應(yīng)地震作用與抗震驗(yàn)算抗震計(jì)算地震作用計(jì)算——S方法：反應(yīng)譜理論結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算——S<R小震：線彈性方法驗(yàn)算承載力和變形大震：用大震參數(shù)、驗(yàn)算彈塑性變形地震作用地震作用是由地震引起的慣性力，屬于間接作用。以前還稱為地震力。地震是動(dòng)力作用。它是一種地震對結(jié)構(gòu)影響的等效力(慣性力)，并不是直接作用于結(jié)構(gòu)上的荷載。設(shè)計(jì)中通過一系列簡化，把地震作用簡化為一個(gè)等效的靜力荷載，稱為等效地震荷載。影響地震作用效應(yīng)的因素：地震動(dòng)三要素：地震烈度、持續(xù)時(shí)間和頻率特性建筑物的動(dòng)力特性場地土的特性（場地類別）同一地點(diǎn)同樣的地震烈度時(shí)，各種結(jié)構(gòu)所受的地震作用一般是不同的。(結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性不同)所以本章考慮如何簡化這些影響因素，得到地震荷載結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)的基本動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m結(jié)構(gòu)的阻尼c:結(jié)構(gòu)的剛度k:結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性決定了結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的周期(頻率)－固有周期。固有周期和場地的特征周期決定了結(jié)構(gòu)所受地震力的大小。結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的計(jì)算簡圖ii+1m1m2mimn多層、高層結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算簡圖

把結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成一個(gè)多自由度體系樓板上下各取層高的一半，這個(gè)范圍內(nèi)的全部質(zhì)量集中到該層對應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)上。該層以下的全部抗側(cè)力構(gòu)件的剛度累加作為多質(zhì)點(diǎn)體系的剛度。2.1.1單自由度彈性體系的地震反應(yīng)

單自由度體系（SDF-SingleDegreeofFreedom）在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中占有極其重要的地位：很多結(jié)構(gòu)可以直接簡化為單自由度體積來計(jì)算。例如：單層廠房、高架橋、水塔等單自由度體系的處理方法和基本概念是結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的基礎(chǔ)。高層建筑、高聳結(jié)構(gòu)等可以簡化為多個(gè)自由度體系。而多自由度體系的振動(dòng)經(jīng)過振型分解法以后，可以作為分別的單自由度體系來處理。

2.2.1單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中以上面的點(diǎn)表示導(dǎo)數(shù)圓頻率與阻尼無關(guān)園頻率與振動(dòng)頻率f的關(guān)系為：單自由度體系振動(dòng)求解－結(jié)果匯總單自由度體系自由振動(dòng)（1）無阻尼時(shí)時(shí)（2）有阻尼時(shí)（3）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)自由振動(dòng)解加上：無阻尼自由振動(dòng)：系統(tǒng)只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)。其振動(dòng)的振幅不隨時(shí)間而改變，振動(dòng)過程將無限地進(jìn)行下去。有阻尼自由振動(dòng)：系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，除受恢復(fù)力外，還存在阻尼力，這種阻尼力的存在不斷消耗振動(dòng)的能量，使振幅不斷減小。強(qiáng)迫振動(dòng)：在外激振力作用下的振動(dòng)稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。（工程中的自由振動(dòng)，都會(huì)由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止。但實(shí)際上又存在有大量的持續(xù)振動(dòng)，這是由于外界有能量輸入以補(bǔ)充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）有阻尼受迫振動(dòng)由兩部分組成。第一部分是衰減的自由振動(dòng)；第二部分是受迫振動(dòng)。阻尼P.16

1、阻尼是結(jié)構(gòu)的重要?jiǎng)恿μ匦灾弧?、阻尼力是使得結(jié)構(gòu)振動(dòng)不斷衰減的力。這個(gè)力與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成正比，但是與速度的方向相反。也就是說，速度越大阻尼越大，如果質(zhì)點(diǎn)靜止，則阻尼也就為零。所以阻尼力是與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的力。而剛度提供的則是與質(zhì)點(diǎn)位移有關(guān)的力(彈性恢復(fù)力)。3、阻尼力表達(dá)為：其中負(fù)號(hào)表示與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向相反。c稱為阻尼系數(shù)。4、阻尼的大小在實(shí)用中用阻尼比來表示。阻尼比是一個(gè)小于1的無量綱數(shù)。阻尼比的測定是比較困難的，在實(shí)際工程中通常取為0.05確定阻尼比的實(shí)驗(yàn)原理參考教材P.5、阻尼比與阻尼系數(shù)之間的關(guān)系為：

阻尼對單自由度體系振動(dòng)的影響振幅衰減——阻尼越大振幅衰減越快減小自振頻率——增大自振周期減小最大加速度反應(yīng)固有周期和固有頻率

這說明在時(shí)間T以后，系統(tǒng)的位移又回到的原來的位置。T稱為自由振動(dòng)的周期或固有周期。它的倒數(shù)稱為固有頻率。f=1/T。固有頻率僅僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與外部激勵(lì)無關(guān)。這也就是“固有”的含義。也就是說，無論初始的外部激勵(lì)是什么樣子的，系統(tǒng)在自由振動(dòng)的情況下，就是按其固有頻率振動(dòng)的?？紤]自由振動(dòng)問題時(shí)，我們最關(guān)心的是系統(tǒng)的固有周期，而振幅是與初始條件有關(guān)的量，是非本質(zhì)的。給時(shí)間t一個(gè)增量

地面運(yùn)動(dòng)與建筑物的反應(yīng)深圳地王大廈在地震Kobel下的加速度響應(yīng)和反應(yīng)功率譜加速度的衰減是由阻尼決定的，帝王大廈的阻尼比較小，所以衰減比較慢。地震響應(yīng)頻率主要在0.52Hz左右，遠(yuǎn)離其基本頻率0.17。

自由振動(dòng)－齊次解

振動(dòng)方程的解表現(xiàn)為：齊次解＋特解。其中齊次解的物理意義是質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)。其方程為：

方程的解為(2-12)：

可見:如果阻尼比＝1則振動(dòng)的頻率為0。此時(shí)系統(tǒng)不振動(dòng)。阻尼使得系統(tǒng)的頻率變小。

齊次解的另外一種寫法

式中cos的系數(shù)稱為振動(dòng)的振幅。振動(dòng)幅度的大小(振幅)是隨時(shí)間變化的。如果阻尼比為零時(shí)，振幅不變。阻尼比越大振幅衰減得的越快。

所謂自由振動(dòng)可以假設(shè)為系統(tǒng)在初始時(shí)刻有一個(gè)初始位移、初始速度或初始的加速度。此后不再受任何其它外部作用，這時(shí)方程就是右端項(xiàng)為零的齊次方程。

強(qiáng)迫振動(dòng)－特解

非齊次微分方程的解是齊次解加上一個(gè)特解，此處的特解就是Duhamel積分杜哈美積分的物理意義是：初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度系統(tǒng)，在受地震作用的全部時(shí)間內(nèi)，任意時(shí)刻t的位移。在無阻尼時(shí)，該積分簡化為比較簡單的形式

Duhamel積分和時(shí)程分析法-逐步積分法杜哈美積分的特點(diǎn)：以一個(gè)含參變量的積分表達(dá)的，其中的參變量是時(shí)間t。杜哈美積分的物理意義是：初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度系統(tǒng)，在受地震作用的全部時(shí)間內(nèi)，任意時(shí)刻t的位移。地震激勵(lì)的特別困難：在地震問題中，上式中的積分是無法計(jì)算的。原因是其中的地面加速度在任何一個(gè)時(shí)刻都是一個(gè)隨機(jī)量，它本身又是時(shí)間的函數(shù)所以是隨機(jī)過程。時(shí)程分析法：用數(shù)值積分的方法獲得這個(gè)積分的近似解線性加速度法、威爾遜θ法共振問題

設(shè)系統(tǒng)無阻尼，初始時(shí)刻為靜止，地面加速度為

當(dāng)，x(t)的振幅為無窮大，這時(shí)就是所謂共振

在兩者比較接近時(shí)，由于分母中兩者之比的平方也十分接近于1，所以振幅也就十分大。此時(shí)結(jié)構(gòu)的破壞已經(jīng)是不可避免的了。以上結(jié)論對于有阻尼的情況也是成立的，所不同的是，在有阻尼的情況下，振幅不會(huì)達(dá)到無窮大。實(shí)際上，可以求出：

利用Duhamel積分得到：可見質(zhì)點(diǎn)的振幅取決于阻尼比，阻尼比越小，振幅就越大。如果阻尼比為零，則振幅為無窮大。

設(shè)計(jì)的特殊性：不需求任意時(shí)刻的位移解(需進(jìn)行Duhamel積分）。重要的是最大地震反應(yīng)。兩類方法：直接積分獲得時(shí)程曲線然后再用FFT獲得反應(yīng)譜。利用設(shè)計(jì)反應(yīng)譜(一條考慮多種因素的簡化曲線)。目的：把動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為等效的靜力問題。這個(gè)等效的靜荷載是考慮了地震的動(dòng)力作用效應(yīng)后獲得的。

2.1.2地震反應(yīng)譜

單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應(yīng)譜

高頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大加速度Sa中頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大速度Sv低頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大位移Sd

三種反應(yīng)之間存在一定關(guān)系，可以從一個(gè)求另兩個(gè)三種最大地震反應(yīng)反應(yīng)譜與設(shè)計(jì)反應(yīng)譜時(shí)程曲線：變量與時(shí)間的關(guān)系譜曲線：變量最大值與頻率(周期)的關(guān)系注意區(qū)別：地震動(dòng)的譜曲線和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的譜曲線地震反應(yīng)譜Sa(T)

：某個(gè)SDF體系的最大地震反應(yīng)與體系自振周期T的關(guān)系(與結(jié)構(gòu)特性以及具體地震動(dòng)有關(guān))。P.23(抗震)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜：統(tǒng)計(jì)得到的、近似的、用于抗震設(shè)計(jì)的最大地震影響系數(shù)(類似加速度)和周期的關(guān)系曲線(1/5)0.9=0.235場地土對加速度反應(yīng)的影響軟土的加速度反應(yīng)未必最大，但是峰值區(qū)域?qū)捵枘岜葘ψ畲蟮卣鸱磻?yīng)的影響阻尼不僅使振幅雖時(shí)間衰減，還使得α

max減小。設(shè)計(jì)反應(yīng)譜中，α

max不僅與烈度有關(guān)，還考慮了阻尼比的影響——阻尼增大α

max減小。最大地震作用計(jì)算

—反應(yīng)譜法回顧等效地震荷載是一個(gè)靜力。作用在質(zhì)點(diǎn)上。此地震力放到原靜力的計(jì)算簡圖上就可以計(jì)算結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件的地震作用效應(yīng)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜(P.63)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是地震影響系數(shù)的譜曲線。地震影響系數(shù)定義為結(jié)構(gòu)的最大加速度與重力加速度的比（無量綱的”加速度”）：地震反應(yīng)譜Sa(T)：單自由度體系的地震最大絕對加速度反應(yīng)a與其自振周期的比值。設(shè)計(jì)反應(yīng)譜：最大地震加速度反應(yīng)與基本周期的關(guān)系——用于設(shè)計(jì)目的。規(guī)范：除有專門規(guī)定外鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的阻尼比取0.05。此時(shí)：Tg值與具體場地有關(guān)曲線形狀與具體結(jié)構(gòu)有關(guān)最大值與烈度有關(guān)再論地震作用效應(yīng)的特點(diǎn)

結(jié)構(gòu)質(zhì)量：輕的結(jié)構(gòu)地震作用小，重的結(jié)構(gòu)地震作用大。所以，輕的結(jié)構(gòu)對抗震有利。

阻尼：阻尼明顯降低結(jié)構(gòu)反應(yīng)(包括峰值)。結(jié)構(gòu)自振周期：在地震時(shí)，結(jié)構(gòu)的基本周期地面不能與運(yùn)動(dòng)的周期接近，否則會(huì)產(chǎn)生共振。

場地土：土質(zhì)越軟，反應(yīng)譜上加速度峰值區(qū)域?qū)挾仍酱蟆f明有更多的結(jié)構(gòu)受較強(qiáng)地震作用。地震的持時(shí)：地震作用是持續(xù)時(shí)間很短的作用。但結(jié)構(gòu)的破壞與否，與地震的作用時(shí)間(稱為持時(shí))關(guān)系很大。SDF的等效地震力地震影響系數(shù)α相當(dāng)于加速度α與地震三要素有關(guān)，所以不能僅僅用烈度來決定，還需要用與地震動(dòng)頻率相關(guān)的因素——考慮地震是動(dòng)力作用。建筑物所感知的地震動(dòng)頻率與場地的頻率Tg相關(guān)。α與的確定——同時(shí)考慮最大幅度和共振頻率振幅(烈度)——α

max取決于烈度周期(烈度與場地)α取決于基本周期與Tg的關(guān)系1、求場地的特征周期Tg規(guī)范規(guī)定：設(shè)計(jì)地震烈度共分為三組，在II類場地的設(shè)計(jì)特征周期分別為0.35、0.4和0.45s(溫州屬于一組)。獲得了場地類別以后，通過表4-7得到Tg分組場地類別IIIIIIIV第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.902、求地震影響系數(shù)的最大值大震和小震的α

max相差大約5~6倍。表3-3中列出了阻尼比為0.05時(shí)的地震影響系數(shù)的最大值。其它阻尼比時(shí)，應(yīng)乘以一個(gè)調(diào)整系數(shù)注：括號(hào)中的數(shù)值用于設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.15g和0.30g的地區(qū)。溫州地區(qū)為0.05g。不用括號(hào)內(nèi)的數(shù)值6度不需驗(yàn)算大震阻尼比大于0.05時(shí)如何？3、求結(jié)構(gòu)的基本周期對單自由度體系結(jié)構(gòu)的基本周期為：MDF的基本周期另有近似估算方法注意：抗風(fēng)和抗震近似計(jì)算基本周期的公式不同。4.計(jì)算地震影響系數(shù)注意地震影響系數(shù)與T和Tg均有關(guān)。要根據(jù)這兩者的相對大小確定所用的公式。規(guī)范：除有專門規(guī)定外建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05。此時(shí)：解：（1）求特征周期Tg地震影響系數(shù)最大值1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度例:水塔，質(zhì)量m＝10000kg。結(jié)構(gòu)的自振周期為T=1.99s阻尼比為0.03;已知設(shè)防烈度為7度，設(shè)計(jì)地震分組為二組，II類場地；試求該結(jié)構(gòu)多遇地震時(shí)的水平地震作用。地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別（3）求水平地震影響系數(shù)（2）確定（4）水平地震作用在實(shí)測統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上，再忽略房