隨機過程的基本概念和基本類型演示教學

第2章隨機過程(guòchéng)的基本

概念和基本類型2.1基本概念在概率論中，我們(wǒmen)研究了隨機變量，維隨機(suíjī)向量。在極限定理中，我們研究了無窮多個隨機變量，但局限在它們相互獨立的情形。將上述情形加以推廣，即研究一族無窮多個、相互有關的隨機變量，這就是隨機過程。定義2.1：設是一概率空間，

對每一個參數(shù)，

是一定義在概率空間上的隨機變量，則稱隨機變量族為該概率空間上的一隨機過程。稱為參數(shù)集。第一頁，共46頁。隨機過程的兩種描述(miáoshù)方法：用映射(yìngshè)表示即是一定義(dìngyì)在上的二元單值函數(shù)，

固定是一定義在樣本空間上的函數(shù)，

即為一隨機變量；對于固定的是一個關于參數(shù)的函數(shù)，或稱隨機過程的一次實現(xiàn)。記號通常稱為樣本函數(shù)，有時記為或簡記為參數(shù)一般表示時間或空間。參數(shù)常用的一般有：第二頁，共46頁。(1)(2)(3)當參數(shù)(cānshù)取可列集時，一般稱隨機過程(guòchéng)為隨機序列。 隨機(suíjī)過程可能取值的全體所構成的集合稱為此隨機過程的狀態(tài)空間，記作S.S中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復數(shù)、實數(shù)或更一般的抽象空間構成。第三頁，共46頁。第四頁，共46頁。隨機過程(guòchéng)分為以下四類：(1)離散參數(shù)(cānshù)離散型隨機過程；(2)連續(xù)參數(shù)離散(lísàn)型隨機過程；(3)連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；(4)離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。第五頁，共46頁。以隨機過程的統(tǒng)計特征(tèzhēng)或概率特征(tèzhēng)的分類，一般有：獨立(dúlì)增量過程；Markov過程(guòchéng)；二階矩過程；平穩(wěn)過程；更新過程；Poission過程；維納過程。鞅；第六頁，共46頁。隨機過程(guòchéng)舉例例2.1例2.2拋擲(pāozhì)一枚硬幣，樣本空間為定義(dìngyì)：隨機過程。第七頁，共46頁。例2.3第八頁，共46頁。2.2有限維分布(fēnbù)與Kolmogvrov定理一、隨機過程(guòchéng)的分布函數(shù)1.一維分布(fēnbù)函數(shù)第九頁，共46頁。2.二維分布(fēnbù)函數(shù)第十頁，共46頁。3.n維分布(fēnbù)函數(shù)第十一頁，共46頁。4.有限(yǒuxiàn)維分布族——稱為有限(yǒuxiàn)維分布族5.有限維分布(fēnbù)族的性質(1)對稱性第十二頁，共46頁。(2)相容性注1：隨機過程的統(tǒng)計特性(tèxìng)完全由它的有限維分布族決定。注2：有限維分布族與有限維特征函數(shù)族相互(xiānghù)唯一確定。問題(wèntí)：一個隨機過程是否描述了該過程的全部概率特性？的有限維分布族，第十三頁，共46頁。定理(dìnglǐ)：（Kolmogorov存在性定理(dìnglǐ)）設分布(fēnbù)函數(shù)族滿足(mǎnzú)以上提到的對稱性和相容性，則必有一隨機過程恰好是的有限維分布族，即：定理說明：的有限維分布族包含了的所有概率信息。第十四頁，共46頁。例2.4第十五頁，共46頁。例2.5第十六頁，共46頁。第十七頁，共46頁。二、隨機(suíjī)過程的數(shù)字特征1.均值(jūnzhí)函數(shù)隨機(suíjī)過程（假設是存在的）的均值函數(shù)定義為：2.方差函數(shù)隨機過程的方差函數(shù)定義為：第十八頁，共46頁。3.(自)協(xié)方差函數(shù)(hánshù)第十九頁，共46頁。4.(自)相關(xiāngguān)函數(shù)第二十頁，共46頁。5.(互)協(xié)方差函數(shù)(hánshù)6.互相(hùxiāng)關函數(shù)第二十一頁，共46頁。7.互不相關(xiāngguān)8.特征函數(shù)為隨機(suíjī)過程的有限(yǒuxiàn)維特征函數(shù)族。記：第二十二頁，共46頁。例2.6例2.7第二十三頁，共46頁。作業(yè)(zuòyè)1第二十四頁，共46頁。2.3隨機(suíjī)過程的基本類型一、嚴平穩(wěn)(píngwěn)過程定義(dìngyì)1：第二十五頁，共46頁。二、嚴平穩(wěn)(píngwěn)過程的特點則第二十六頁，共46頁。三、寬平穩(wěn)(píngwěn)過程(簡稱(jiǎnchēng)平穩(wěn)過程)定義(dìngyì)2：第二十七頁，共46頁。注1：注2：第二十八頁，共46頁。例2.8例2.9第二十九頁，共46頁。四、平穩(wěn)(píngwěn)過程相關函數(shù)的性質性質(xìngzhì)1：性質(xìngzhì)2：結論：性質3：第三十頁，共46頁。性質(xìngzhì)4：注：第三十一頁，共46頁。定義(dìngyì)：注：性質(xìngzhì)5：性質(xìngzhì)6：性質7：第三十二頁，共46頁。性質(xìngzhì)8：性質(xìngzhì)9：例2.10：第三十三頁，共46頁。五、獨立(dúlì)增量過程定義(dìngyì)1例2.11：第三十四頁，共46頁。定義(dìngyì)2第三十五頁，共46頁。六、遍歷性定理(dìnglǐ)第三十六頁，共46頁。第三十七頁，共46頁。第三十八頁，共46頁。定義(dìngyì)1:第三十九頁，共46頁。定義(dìngyì)2:第四十頁，共46頁。

例2.12:第四十一頁，共46頁。

例2.13:第四十二頁，共46頁。定理(dìnglǐ)2.2:(均值遍歷性定理(dìnglǐ))第四十三頁，共46頁。推論(tuīlùn)2.1:推論(tuīlùn)2.2: