控制系統(tǒng)的微分方程說課材料

控制理論(lǐlùn)基礎第一頁，共36頁。第二章控制系統(tǒng)(kònɡzhìxìtǒnɡ)的微分方程本章(běnzhānɡ)主要內容:2.12.22.3建立系統(tǒng)微分方程的一般方法(fāngfǎ)和步驟線性系統(tǒng)及其齊次性和疊加性非線性數學模型線性化第二頁，共36頁。Part2.1建立系統(tǒng)(xìtǒng)微分方程的一般方法和步驟數學模型的定義(dìngyì)數學(shùxué)模型是指出系統(tǒng)內部物理量（或變量）之間動態(tài)關系的數學(shùxué)表達式。揭示系統(tǒng)結構、參數與性能特性的內在聯系。第三頁，共36頁?！窠?jiànlì)系統(tǒng)的數學模型，是分析和設計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎工作）。●自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機械的、液壓或氣動(qìdònɡ)的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數學模型來研究自動控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內在的共性運動規(guī)律。建立(jiànlì)數學模型的目的：第四頁，共36頁。建立(jiànlì)數學模型的方法：解析法（本課程研究）依據系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數學關系式，建立模型。實驗法(系統(tǒng)辨識課研究)人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行(jìnxíng)逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。第五頁，共36頁。常用(chánɡyònɡ)數學模型時間域： 微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)復數域： 傳遞函數頻率域： 頻率特性第六頁，共36頁。Part2.1.1微分方程的一般(yībān)特征第七頁，共36頁。Part2.1.2建立系統(tǒng)微分方程的一般(yībān)步驟簡化物理系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)寫出每或一環(huán)節(jié)(元件)運動(yùndòng)方程式消去中間變量寫成標準形式第八頁，共36頁。簡化物理(wùlǐ)系統(tǒng)簡忽略次要因素分布(fēnbù)參量集中化非線性因素線性化時變參量定常化第九頁，共36頁。分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量(必要(bìyào)時還要考慮擾動量)，并根據需要引進一些中間變量。劃分(huàfēn)環(huán)節(jié)按功能（測量、放大、執(zhí)行(zhíxíng)）劃分第十頁，共36頁。寫出每或一環(huán)節(jié)(huánjié)(元件)運動方程式從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(yījù)各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。負載(fùzài)效應第十一頁，共36頁。寫成標準(biāozhǔn)形式微分方程的標準化包含兩方面(fāngmiàn)的內容：①將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊；②各導數項按降冪排列第十二頁，共36頁。Part2.1.3理想元件的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)描述

電氣系統(tǒng)三元件電阻電容電感電學：歐姆(ōumǔ)定理、基爾霍夫定律。第十三頁，共36頁。機械運動(jīxièyùndòng)系統(tǒng)的三要素機械運動的實質：牛頓(niúdùn)定理、能量守恒定理阻尼(zǔní)μ質量M彈簧K第十四頁，共36頁。Part2.1.4機械系統(tǒng)的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量(zhìliàng)、彈簧和阻尼三個要素。第十五頁，共36頁。機械(jīxiè)平移系統(tǒng)1）微分方程的系數取決于系統(tǒng)的結構參數2）階次等于獨立儲能元件(yuánjiàn)的數量！靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響。第十六頁，共36頁。第十七頁，共36頁。第十八頁，共36頁。第十九頁，共36頁。機械(jīxiè)旋轉系統(tǒng)K——扭轉剛度(ɡānɡdù)系數μ——粘性(zhānxìnɡ)摩擦系數第二十頁，共36頁。例2.1：直線運動（機械平移(pínɡyí)系統(tǒng)）第二十一頁，共36頁。例2.2：轉動(zhuàndòng)系統(tǒng)第二十二頁，共36頁。Part2.1.5電氣系統(tǒng)的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)電氣系統(tǒng)分析主要根據基爾霍夫電流定律和電壓定律（克?；舴螂娏麟妷憾桑懗鑫⒎址匠淌?，進而建立系統(tǒng)的數學模型。1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數和應等于(děngyú)0（即流出節(jié)點的電流之和等于(děngyú)所有流進節(jié)點的電流之和）。2）基爾霍夫電壓定律電網絡的閉合回路中電勢的代數和等于(děngyú)沿回路的電壓降的代數和。第二十三頁，共36頁。電氣系統(tǒng)第二十四頁，共36頁。例2.3：uC為輸出電壓，ur為輸入(shūrù)電壓，寫出電氣系統(tǒng)的微分方程。第二十五頁，共36頁。Part2.1.6機電(jīdiàn)系統(tǒng)的微分方程第二十六頁，共36頁。Part2.2線性系統(tǒng)及其齊次性和疊加性線性微分方程：因變量或它的導數(dǎoshù)都不高于一次方，并且沒有因變量與其導數(dǎoshù)之積。線性系統(tǒng)：用線性微分方程描述(miáoshù)的系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(xìshù)是常數。線性時變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數是隨時間而變化的。第二十七頁，共36頁。線性系統(tǒng)的重要(zhòngyào)性質:2.疊加性，即：如果(rúguǒ)輸入r1(t)—>輸出y1(t)，輸入r2(t)—>輸出y2(t)則輸入r1(t)+r2(t)—>輸出y1(t)+y2(t)1.齊次性，即：如果(rúguǒ)輸入r1(t)—>輸出y1(t)，則輸入ar1(t—>輸出ay1(t)第二十八頁，共36頁。線形系統(tǒng)的一般(yībān)形式第二十九頁，共36頁。Part2.4

非線性數學模型線性化

非線性系統(tǒng)(xìtǒng)：如：帶鐵芯的電感線圈、機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度(sùdù)的平方成反比等。用非線性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)描述。第三十頁，共36頁。有條件(tiáojiàn)存在，只在一定的工作范圍內具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的?？梢詰茂B加原理(yuánlǐ)，以及應用線性理論對系統(tǒng)進行分析和設計。線性系統(tǒng)缺點(quēdiǎn)：線性系統(tǒng)優(yōu)點：線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。第三十一頁，共36頁。線性化方法(fāngfǎ)以微小偏差法為基礎，運動方程(fāngchéng)中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對平衡工作點的偏差。增量(zēnɡliànɡ)（小偏差法）假設：在控制系統(tǒng)整個調節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產生足夠微小的偏差。非線性方程局部線性增量方程第三十二頁，共36頁。增量(zēnɡliànɡ)方程增量方程的數學含義：將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是(jiùshì)以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。非線性微分方程的小偏差線性化：將非線性函數在平衡工作點鄰域展開成泰勒級數(jíshù)，并且略去高次項。第三十三頁，共36頁。單變量函數泰勒(tàilè)級數法函數(hánshù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數展開式為：略去含有(hányǒu)高于一次的增量?x=x-x0的項，則：注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程第三十四頁，共36頁。多變量函數泰勒(tàilè)級數法增量方程靜態(tài)方