氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律課件

第三章氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律§3.3玻耳茲曼分布律重力場(chǎng)中微粒按高度的分布§3.4能量按自由度均分定理§3.3玻耳茲曼分布律

重力場(chǎng)中微粒按高度的分布

一、玻耳茲曼分布律

玻耳茲曼分子按能量分布定律，簡(jiǎn)稱玻耳茲曼分布律：當(dāng)氣體在外力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)，其中位置坐標(biāo)位于；；區(qū)間，同時(shí)速度坐標(biāo)位于:區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為：

(1)根據(jù)麥克斯韋分布函數(shù)所應(yīng)滿足的歸一化條件：可得：則有單位體積內(nèi)的分子數(shù)：上式是分子按勢(shì)能的分布律。(2)(3)(4)

玻耳茲曼分布律是一個(gè)普遍的規(guī)律，它對(duì)任何物質(zhì)的微粒在任何保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情形都成立。二、重力場(chǎng)中微粒按高度的分布

在重力場(chǎng)中，氣體分子受到兩種相互對(duì)立的作用：熱運(yùn)動(dòng)和重力作用。平衡態(tài)時(shí)，分子數(shù)密度隨高度的增加而減小。取坐標(biāo)軸z鉛直向上，在z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n0,則分布在高度為z處體積元內(nèi)的分子數(shù)為分布在高度z處單位體積內(nèi)的分子數(shù)則為：(5)(6)n0對(duì)于地面處，重力場(chǎng)中氣體分子數(shù)密度隨高度的增大按指數(shù)規(guī)律衰減。圖1、重力場(chǎng)中氣體分子數(shù)密度與高度的關(guān)系z(mì)z分子質(zhì)量m增大時(shí)，n隨高度變化的較快。T一定時(shí)，質(zhì)量大的分子容易聚集到地面附近?！@是大氣中氫氣含量少的原因之一。當(dāng)T升高時(shí)，n隨高度遞減的較慢。同種氣體高溫時(shí)，地面與高空的密度差較小。

圖2、n與T的關(guān)系圖3、n與分子質(zhì)量m的關(guān)系（6）又因?yàn)椋核裕夯虼耸椒Q為等溫氣壓公式。利用此式可以根據(jù)大氣壓強(qiáng)隨高度的減小，判斷上升的高度。（7）（8）（9）§3.4能量按自由度均分定理一、自由度

自由度：描述一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱為該物體的自由度。自由度數(shù)：決定一個(gè)物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，叫做這個(gè)物體的自由度數(shù)（記作N）。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)：（1）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間任意運(yùn)動(dòng)，需用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（x，y，z）確定其位置。所以自由質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)平動(dòng)自由度

i=3。（2）如果對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加以限制（約束），自由度將減少。如質(zhì)點(diǎn)被限制在平面或曲面上運(yùn)動(dòng)，則

i=2；如果質(zhì)點(diǎn)被限制在直線或平面曲線（不是空間曲線）上運(yùn)動(dòng)，則其自由度

i=1。

對(duì)于剛體：一個(gè)剛體在空間任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，可分解為質(zhì)心C的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以剛體的位置可決定如下：（1）確定剛體質(zhì)心C的位置，需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（x，y，z）──自由剛體有三個(gè)平動(dòng)自由度

t=3；（2）確定剛體通過質(zhì)心軸的空間方位──三個(gè)方位角（α，β，γ）中只有其中兩個(gè)是獨(dú)立的（因?yàn)椹ぉば鑳蓚€(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；（3）確定剛體繞通過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)過的角度θ──還需一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

這樣，確定剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，共有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度

r=3。所以，一個(gè)任意運(yùn)動(dòng)的剛體，總共有6個(gè)自由度，即3個(gè)平動(dòng)自由度和3（=2+1）個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。即：i=t+r=3+3=6當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)受到某種限制時(shí)，其自由度數(shù)也會(huì)減小，例如，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體只有一個(gè)自由度。對(duì)于分子：（1）單原子分子：如氦He、氖Ne、氬Ar等分子只有一個(gè)原子，可看成自由質(zhì)點(diǎn)，所以有3個(gè)平動(dòng)自由度

。（2）雙原子分子：如氫、氧、氮、一氧化碳CO等分子中的兩個(gè)原子是由一個(gè)鍵連接起來的，這種分子除整體做平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，兩個(gè)原子還沿著連線方向做微振動(dòng)。因此，雙原子分子共有六個(gè)自由度：三個(gè)平動(dòng)自由度，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，一個(gè)振動(dòng)自由度。（3）多原子分子（由三個(gè)或三個(gè)以上原子組成的分子）：需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)情況進(jìn)行具體分析才能確定。一般的，如果某一個(gè)分子由n個(gè)原子組成，則這個(gè)分子最多有3n個(gè)自由度，其中3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其余3n-6個(gè)是振動(dòng)自由度。

當(dāng)分子的運(yùn)動(dòng)受到某種限制時(shí)，其自由度數(shù)就會(huì)減小。二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動(dòng)能為：在平衡狀態(tài)下，大量氣體分沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等。所以有：因此：即每個(gè)自由度分配到相等的能量，其值為。（1）（2）（3）能量按自由度均分定理（簡(jiǎn)稱能量均分定理）：溫度為T的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)分子的每一個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能，其大小都等于。如果某種氣體的分子有t個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)由度，s個(gè)振動(dòng)自由度，則分子的平均平動(dòng)能，平均轉(zhuǎn)動(dòng)能和平均振動(dòng)能就分別為，和，而分子的平均總動(dòng)能即為。

由振動(dòng)學(xué)可知，諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能是相等的。

由于分子中的原子所進(jìn)行的振動(dòng)都是振幅非常小的微振動(dòng)，可把它看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。所以氣體分子的每個(gè)振動(dòng)自由度均分

的動(dòng)能，還有