結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析-2

第十章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)ty鋼筋混凝土樓板自由振動(dòng)試驗(yàn)曲線因?yàn)樵谡穹恢媒Y(jié)構(gòu)的變形速度為零（動(dòng)能=0），故在振幅位置的變形勢能就代表體系全部機(jī)械能。振幅隨時(shí)間減小，變形隨時(shí)間減小，應(yīng)變能（全部機(jī)械能）隨時(shí)間減小。這表明在振動(dòng)過程中能量在損耗。

振動(dòng)過程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。振幅位置的應(yīng)變能（全部機(jī)械能）在減小§10-4阻尼對振動(dòng)的影響忽略阻尼影響時(shí)所得結(jié)果

能不能

反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律。大體上忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，阻尼對頻率影響很小。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。共振時(shí)的振幅趨于無窮大。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向;大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：①與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼力）。②與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。③與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。粘滯阻尼力的分析比較簡單，(因?yàn)镕c(t)=－cy).其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)考慮阻尼的振動(dòng)模型kyFP(t)動(dòng)平衡方程：1.有阻尼的自由振動(dòng)(阻尼比dampingratio）設(shè)解為：特征方程為：(characteristicequation)⑴ξ<1（低阻尼）情況..kFP(t)ymcy引入初始條件確定積分常數(shù)后為：單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)ae-ξωtty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.當(dāng)ξ<0.2，則0.96<ωr/ω<1在工程結(jié)構(gòu)問題中，0.01<ξ<0.1可近似取ty計(jì)算結(jié)構(gòu)的自振頻率可以不考慮阻尼的影響.單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)②阻尼對振幅的影響。振幅隨時(shí)間衰減,相鄰兩個(gè)振幅的比振幅按等比級(jí)數(shù)遞減。稱為振幅的對數(shù)遞減率.(logarithmicdecrement)

設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:經(jīng)過一個(gè)周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對數(shù)為:工程中常用此方法測定阻尼單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)舉例⑵ξ=1（臨界阻尼）情況tyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性.ξ=1的阻尼常數(shù)稱為臨界阻尼常數(shù)cr(criticaldampingcoefficient),（振與不振的分界點(diǎn)）的解為：引入初始條件后為：⑶ξ>1（強(qiáng)阻尼）情況特征方程的特征值為：體系不出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，實(shí)際問題中很少遇到，不討論。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)EI=∞m例10：圖示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m均集中在橫梁處。在FP=9.8kN作用下，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。再測得周期T=1.5s及一個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。9.8kN解：單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)返回2.有阻尼受迫振動(dòng)kyFP(t)..kFP(t)ymcy動(dòng)平衡方程：⑴簡諧荷載：

FP(t)=FPsinθt設(shè)特解為：代入微分方程，整理后得：荷載幅值引起的靜力位移單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解仍然由齊次解（具有頻率ωr的自由振動(dòng)）和特解（具有頻率θ的純強(qiáng)迫振動(dòng)）組成。由于阻尼的作用，頻率為ωr的自由振動(dòng)將逐漸衰減而最后消失，只有頻率為θ的純強(qiáng)迫振動(dòng)不衰減，這部分振動(dòng)成為平穩(wěn)振動(dòng)。4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)討論：①ξ對b的影響與q/w有關(guān)。隨ξ增大b

曲線漸趨平緩。特別是在q/w

=1附近ξ對

b的影響最為顯著。②q=w即共振時(shí)，xb21=共振時(shí)忽略阻尼時(shí)b=∞，考慮阻尼時(shí)b

=很大的有限值。在0.75<q/w

<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大地減小了強(qiáng)迫振動(dòng)的位移，阻尼不容忽略。

在共振區(qū)之外阻尼對b的影響較小，可按無阻尼計(jì)算。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)q<<w時(shí),

a→0°。體系振動(dòng)得很慢，荷載可作靜

荷載處理。慣性力FI、阻尼力R較小，荷載FP主要由

彈性力S平衡

(FP與S反向)，S與y反向，所以FP與y

同步。當(dāng)q>>w

時(shí),a→180°。體系振動(dòng)得很快，F(xiàn)I很大，F(xiàn)I、S相對較

小，F(xiàn)P主要由FI平衡，

FI與y同向，所以

y與FP反向。②ξ對相位差α的影響與θ/ω有關(guān)。SFP(t)當(dāng)q=w，a→90°，共振S與FI平衡，有無阻尼均如此，S與FP平衡。由此可見：共振時(shí)（q=w），彈性力與慣性力剛好互相平衡,有無阻尼均如此。動(dòng)荷載恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，不會(huì)出現(xiàn)位移為無窮大的情況。而在無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力來平衡動(dòng)荷載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)③彈性動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算。一般方法：由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值，內(nèi)力也達(dá)到幅值。將位移達(dá)到幅值時(shí)刻的荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學(xué)方法求解。慣性力與位移同時(shí)達(dá)到幅值。荷載與位移無阻尼時(shí)同時(shí)達(dá)到幅值。有阻尼時(shí)位移總滯后荷載一個(gè)相位角a

。比例算法：無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)上

(動(dòng)荷載與慣性力共線)時(shí)，產(chǎn)生振幅a的外力值為:這意味著，動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移幅值是荷載幅值FP產(chǎn)生的靜內(nèi)力和靜位移的b倍。注意：位移達(dá)幅值時(shí)，速度為零，故阻尼力為零，計(jì)算時(shí)不必考慮阻尼力。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)例11：圖示機(jī)器與基礎(chǔ)總重量W=60kN，基礎(chǔ)下土壤的抗壓剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基礎(chǔ)底面積

A=20m2。試求機(jī)器連同基礎(chǔ)作豎向振動(dòng)時(shí)①自振頻率。②機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生FPsinqt,FP=20kN，轉(zhuǎn)速為400r/min。求振幅及地基最大壓力。③如考慮阻尼，阻尼比ξ=0.15，求振幅及地基最大壓力。解:

①讓振動(dòng)質(zhì)量向下發(fā)生單位位移需施加的力為：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)W②求荷載頻率求動(dòng)力系數(shù)豎向振動(dòng)振幅地基最大壓力③求動(dòng)力系數(shù)豎向振動(dòng)振幅地基最大壓力單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)共振區(qū)，阻尼的影響不容忽視?、朴凶枘釙r(shí)的杜哈梅積分（ξ<1）FP(t)tFP在t=0時(shí)瞬時(shí)沖量dS=FPdt=v0m引起的振動(dòng)可視為由初始條件v0=FPdt/m，

y0=0引起的自由振動(dòng)：dtτtt't'在t=τ時(shí)有瞬時(shí)沖量作用。將荷載FP

(t)的加載過程看作一系列瞬時(shí)沖量，

dS=FP

(τ)

dτ引起的動(dòng)力反應(yīng)為：總反應(yīng)：有阻尼的杜哈梅積分在計(jì)算地震作用的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)有用。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)⑶突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π靜力平衡位置具有阻尼的體系在突加荷載作用下，最初所引起的最大位移接近于靜位移yst=FP0/mω2的2倍,然后逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)兩個(gè)自由度體系是最簡單的多自由度體系.但能清楚地反映多自由度體系動(dòng)力特征的計(jì)算特點(diǎn)。建立多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的方法有：剛度法：建立力的平衡方程。柔度法：建立位移協(xié)調(diào)方程。實(shí)際工程中，很多問題可以簡化為單自由度體系計(jì)算，也有很多結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題不能按單自由度體系計(jì)算。如多層房屋的側(cè)向振動(dòng)，不等高排架的振動(dòng)，柔性較大的高聳結(jié)構(gòu)在地震作用下的振動(dòng)等，都應(yīng)按多自由度體系計(jì)算?！?0-5兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)m2mmmm各有其適用范圍。y1(t)y2(t)1.剛度法r2r1y1(t)y2(t)r2r1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)平衡方程由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)平衡方程建立自由振動(dòng)微分方程。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211=+解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)平衡方程

兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)設(shè)：展開是ω2的二次方程，解得ω2兩個(gè)根為：這兩個(gè)根都是正根為了得到Y(jié)1、Y2的非零解，應(yīng)使系數(shù)行列式等于零。頻率方程兩個(gè)自由度體系有兩個(gè)自振頻率。特點(diǎn):①兩質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角。②兩質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化，但兩者的比值始終保持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型。證明幾點(diǎn)注意：

①自振頻率個(gè)數(shù)=自由度數(shù).②每個(gè)自振頻率相應(yīng)一個(gè)主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式.③自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。只與體系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量分布情形有關(guān)。位移幅值方程兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)求主振型：因?yàn)镈=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。與ω1相應(yīng)第一振型與ω2相應(yīng)第二振型振型階數(shù)振動(dòng)方向②故矩陣[k]為正定矩陣。矩陣[k]為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。因此有所以

于是得到ω2的兩個(gè)根均為正根。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)①將根號(hào)內(nèi)的式子變形成所以ω2

的兩個(gè)根均為

實(shí)根。返回k11例12：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2。求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和振型。m2m1k2k1k211解：求剛度系數(shù)：k22k121①當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=k，

兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)計(jì)算頻率求主振型第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第二主振型：第二主振型Y22=－0.618Y11=1

Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與計(jì)算剛度系數(shù)時(shí)置于其上的單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)②當(dāng)m1=nm2,k1=nk2，k11=(1+n)k2，k12=－k2，k22=k2求頻率：求振型：如n=90時(shí)當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂部位移很大。（鞭梢效應(yīng)）第一振型：第二振型：建筑物頂部的小閣樓、女兒墻、建筑物立面有較大的收進(jìn)或?yàn)榱思哟蠼ㄖ臻g而在頂部減少剪力墻等,都可能使結(jié)構(gòu)少數(shù)層剛度和質(zhì)量突然變小，加劇地震作用下的鞭稍效應(yīng)。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例13：試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率；如初始條件為Y10=0.02m,Y20=－0.00473m，初速為零，體系作何種振動(dòng)。①求剛度系數(shù)②代入頻率計(jì)算公式11兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)m2=m2體系按第二振型振動(dòng)③求主振型④初始條件為Y10=0.02m,Y20=－0.00473m,初速為零，體系的振動(dòng)情況。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移等于各質(zhì)點(diǎn)慣性力共同作用下產(chǎn)生的靜位移，建立自由振動(dòng)微分方程。12.柔度法1結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)δij

物理意義是：在第j

個(gè)位移方向加單位力時(shí)產(chǎn)生的第i個(gè)方向上的位移。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)y2(t)y1(t)δ11δ21δ22δ12質(zhì)點(diǎn)位移方程代入微分方程質(zhì)點(diǎn)慣性力幅值其中：λ=1/ω2兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)解質(zhì)點(diǎn)位移方程

設(shè)特點(diǎn):①兩質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角.②兩質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化，但兩者的比值始終保持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型

主振型的位移幅值是體系由此主振型慣性力幅值所引起的靜力位移。Y11Y21Y12Y22位移幅值方程為一關(guān)于λ的二次方程。解出λ的兩個(gè)根：頻率方程頻率頻率數(shù)目=自由度數(shù)目位移幅值方程其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。求主振型：因?yàn)镈=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。第一主振型第二主振型主振型的數(shù)目=自由度數(shù)目。因固有振動(dòng)的特解是簡諧振動(dòng)，所以位移和慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。主振型恰好為相應(yīng)慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。應(yīng)用功的互等定理：因?yàn)棣?≠ω2第一正交關(guān)系3.主振型的正交性(orthogonalityofnormalmodes)m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22在振動(dòng)過程中，某一主振型的慣性力不會(huì)在其他主振型上做功。即它的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會(huì)引起其他主振型的振動(dòng)。故各個(gè)主振型能單獨(dú)存在而不互相干擾。兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例14：求簡支梁的自振頻率和主振型。解：⑴求柔度系數(shù)⑵求得頻率：⑶主振型：l/3l/3l/311mm兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例14：求簡支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算：1對稱情況：l/91反對稱情況：對稱主振型：反對稱主振型：比較兩個(gè)頻率，較小的為第一頻率。驗(yàn)證主振型正交性：兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例15：計(jì)算體系的自振頻率和振型。并驗(yàn)證主振型的正交性。llmEIEI

1

1ll①求柔度系數(shù)②代頻率計(jì)算公式求頻率兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)③代振型公式求振型10.414第一振型第二振型12.414

Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與計(jì)算柔度系數(shù)時(shí)置于其上的單位力方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位力方向相反。④驗(yàn)證主振型正交性兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例16：求圖示集中質(zhì)量體系的自振頻率(各桿EI為常數(shù))。mlll1

1l/2l/2l⑵代入頻率方程解：⑴求柔度系數(shù)1l/2lmllm/2lm/2lEI/2l對稱振型反對稱振型

1例16：求圖示集中質(zhì)量體系的自振頻率(各桿EI為常數(shù))。另解：利用對稱性。

11.柔度法§10-6兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)⑴建立振動(dòng)微分方程因?yàn)楹奢d頻率在共振區(qū)之外時(shí)，阻尼影響很小；在共振區(qū)之內(nèi)時(shí)，計(jì)不計(jì)阻尼，都能反映共振現(xiàn)象。故忽略阻尼。并設(shè)各簡諧荷載的頻率相同、相位相同。ΔiP荷載幅值產(chǎn)生的質(zhì)點(diǎn)i靜位移m1m2tFPqsiny1y211FP通解=齊次解()＋特解()自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)⑵動(dòng)位移的解答及討論由于阻尼平穩(wěn)振動(dòng)n個(gè)自由度體系，存在n

個(gè)可能的共振點(diǎn)。⑶純強(qiáng)迫振動(dòng)解答設(shè)為：代入：⑷對振幅解答的討論兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)?=0⑸動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算

荷載、位移、慣性力同頻率、同相位、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大值時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大值。于是，可將動(dòng)荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求解。或：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：由位移幅值方程得到求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)位移慣性力荷載例17：簡支梁EI=常數(shù),θ=0.75ω1。求動(dòng)位移和動(dòng)彎矩幅值。解：①求柔度系數(shù)兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)②MP圖，求Δ1P,Δ2PtFPqsinl/4l/4l/2mm11FP③計(jì)算位移幅值④計(jì)算慣性力幅值兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)11FP⑤計(jì)算動(dòng)內(nèi)力I1=0.6808FPFP

I2=0.6051FP1.4119FP

0.2689FP0.8740FPFQd

圖0.3530FPl0.2180FPlMd

圖⑥比較動(dòng)力系數(shù)因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)1.4119FP1.6808FP0.6051FP0.8740FP1.4119FP2.剛度法平穩(wěn)階段質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng):FP2(t)FP1(t)FP2(t)FP1(t)兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211+求得位移幅值Y1、Y2，再求慣性力幅值將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力法計(jì)算。=0例18：求樓面處的側(cè)移、慣性力和柱底截面彎矩幅值。1k11k211k12k22解：①求剛度系數(shù)②求位移幅值hFPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)0.45FPh0.45FPh0.15FPh0.15FPh③求慣性力幅值0.10.075位移幅值FP1.6FP1.2FP0.9FP0.9FPA位移與荷載反向？兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)位移與荷載反向④求內(nèi)力幅值M說明k11質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度為k、k。求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和振型。mmk

k

k211解：求剛度系數(shù)：k22k121兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)計(jì)算頻率返回例19：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2，畫出橫梁振幅Y1、Y2與荷載頻率之間的關(guān)系曲線。解：荷載幅值：FP1=FP，F(xiàn)P2=0①求剛度系數(shù)m2m1k2k1FP/k兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)②求位移幅值③當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kFP/k是荷載幅值產(chǎn)生的靜位移。推導(dǎo)③當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=k即頻率方程由韋達(dá)定理返回3.0-2.0