線性代數(shù) 相似矩陣及二次型 第二課時

線性代數(shù)相似矩陣及二次型第2課時內積：

長度：標準正交基：兩兩正交的單位向量基。施密特(Schmidt)正交化方法:復習：正交矩陣A：ATA=Er

=r-1-2-…-r-1.[，]=

R

n，夾角：這里≠，≠?！?方陣的特征值與特征向量特征值問題是對方陣而言的,特征向量一定是非零向量.這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組A的特征值就是特征方程的解,A的特征向量就是齊次線性方程組的非零解向量.稱為A的特征方程.從上節(jié)例1,例2可以看到,同樣是二重特征值,屬于該特征值的線性無關的特征向量的個數(shù)卻是不一樣的,但不管有幾個都沒有超過它的重數(shù).三、特征值與特征向量的性質【性質1】n階方陣A的特征值滿足：（1）矩陣A的n個特征值之和等于A的n個對角線元素之和，即:（2）矩陣A的n個特征值的乘積等于A的行列式的值,即:a、由多項式的根與系數(shù)之間的關系,不難證明此性質.b、零是A的一個特征值|A|=0【性質2】矩陣

和

的特征值相同.【例3】是A

的特征值，證明是的特征值.設

n階方陣A可逆,【證】因A可逆,所以|A|0故0，故有維非零列向量，使于是用同時左乘上式的兩邊得由知，是的特征值.

證畢求一下A*的特征值？因是A

的特征值，一是根據(jù)定義，滿足

的

即是A的特征值.【例4】設是n階方陣A的特征值,證明的特征值.【分析】

求矩陣的特征值，一般有兩種途徑二是根據(jù)特征方程，滿足的是A的特征值.對抽象題目,用定義較多,對具體的數(shù)值矩陣(如前面例子)一般利用特征方程求特征值.(法一)用定義求

,由題設可知兩邊左乘A,并將上式代入,得故知的特征值為故結論成立(法二)用特征方程求由題設可知:此式兩邊同乘:1、若是方陣A的特征值，

則

的特征值.2、設是關于的多項式，A是n階方陣

,規(guī)定：若是方陣A的特征值,

則是的特征值,

其中自己證明設A是三階方陣，且【例5】【解】三階方陣A的特征值為1，-2，-3/2，【定理2】

利用數(shù)學歸納法加以證明.

利用特征值，特征向量理論及線性無關的定義也可證明本定理用反證法試一試方陣A的不同特征值對應的特征向量必線性無關。簡記為：【定理2】設是n階方陣A的m個特征值,依次是與之對應的特征向量.

如果互不相等,則線性無關.證：四、問題與思考1、問的解向量是否都是A對應于的特征向量?如果都是A對應于的特征向量,那么的任意線性組合是否都是A的特征向量?2、求的特征值與特征向量.3、已知矩陣求f(A)=A10-3A9+2A8思考題答案2、的特征值特征向量a為全部特征向量1、是的,只要不是零向量即可.3.已知矩陣求f(A)=A10-3A9+2A8分析:一般說,求矩陣的高次冪比較困難,但若A能表示為A=P-1P則Am=P-1mP,

對角陣的多項式矩陣計算起來相當容易,但如何判斷A能否表示為A=P-1P？若A=P-1P，那么如何求對角陣及可逆陣P？當為對角陣,相似矩陣的概念及性質方陣可對角化的條件及方法問題與思考§3

相似矩陣一、相似矩陣的概念及性質

定義7使:則稱是的相似矩陣，

或說矩陣與相似，對A進行運算稱為對A進行相似變換.可逆矩陣P稱為把變成的相似變換矩陣.矩陣的相似關系也是一種等價關系,具有以下三性(1)反身性;(2)對稱性;(3)傳遞性設

都是

階方陣，

若存在可逆矩陣，

【性質】由A與B相似，則：其中m為正整數(shù)(2)設

是一個一元多項式，

(3)若A可逆，則B也可逆，【證】由A與B相似，所以存在可逆矩陣P，

使于是有

=()…所以

這是很有用的計算方法!證明:因A與

B相似，即有可逆矩陣P，使:于是:|-|證畢注:相似矩陣有相同的特征值,相同的行列式,相同的的秩.【定理3】若n階方陣A與

B相似，

則A與B的特征多項式和特征值都相同.推論若n階矩陣A與對角矩陣相似，則

是A的全部n個特征值.反之是否成立？例題分析分析:一般說,求矩陣的高次冪比較困難,但若A能相似于對角陣,即若存在可逆陣P,使得對角陣則:…對角陣的n次冪計算起來相當容易,但如何求可逆陣P？方陣可對角化的條件有那些?我們繼續(xù)研究.

求矩陣的5次冪.

【例1】二、方陣相似對角化的條件及方法【定義】若方陣則稱可以相似對角化.

【證】必要性設與A相似的對角陣為:則存在一個可逆矩陣P，

使兩邊左乘P:

將矩陣按列分塊，記為：那么或故因為是可逆矩陣，所以線性無關.【定理4】充分性假設方陣A有個n線性無關的特征向量，

即:線性無關.令=則==由定理2知屬于A的不同特征值的特征向量是線性無關的.可逆矩陣P是由相應的特征向量作為列向量構成的.n

階方陣A有n個線性無關的特征向量.【推論1】若n

階方陣

A的n個特征值互不相等,則如果A有k重特征值,其重數(shù)與其對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等，則A一定可以相似對角化；如果A有k重特征值,而與其對應的線性無關的特征向量的個數(shù)少于k,則A一定不能對角化.【推論2】方陣A與對角矩陣相似的充要條件為A的所有特征值的重數(shù)與其對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等.

若

i是n階陣A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，其對應的線性無關的特征向量的個數(shù)=線性方程組(A-iE)x=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)，即解空間的維數(shù).而解空間的維數(shù)=n-R(A-iE),所以:

若

i是矩陣A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，則A與對角矩陣相似的充要條件為【推論3】例

判斷教材P118例5～例7所給的矩陣哪個與對角陣相似？【例2】設3階方陣A的特征值是1,-1,-1，

相對應的特征向量依次為:求與.解令由||0，知P可逆下面求=====【例3】解：三、思考題1、觀察書上【例5】【例6】【例7】中方陣A的特征值與特征向量，判斷方陣A可否相似對角化.

2、判斷能否相似對角化.3、

與特征多項式相同，它們是否相似.4、設A為三階矩陣,已知E－A,3E－A,E+A都不可逆,試問A是否相似于對角陣?說明理由思考題答案1、【例6】中A的特征方程有重根，但找不到3個線性無關的特征向量，因此，A不能對角化,【例5】【例7】中A能對角化.2、A不能相似對角化.3、A

和E不相似.相似矩陣的特征值一定相同,但它的逆命題不成立.4、A有三個不同的特征值,有三個線性無關的特征向量,A可相似于對角陣.四、小結

1、相似矩陣的概念；2、相似矩陣的性質及推論；3、方陣可對角化的問題:如果n階方陣A有n個不同的特征值，則A

一定可以對角化.相似矩陣有相同的特征值,相同的特征多項式,相同的行列式,相同的的秩.方陣A與對角矩陣相似的充要條件為A的所有特征值的重數(shù)與其對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等.

若

i是矩陣A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，則A與對角矩陣相似的充要條件為相似,求x、y.練習題1、求可逆矩陣P，使為對角陣，其中2、設矩陣與練習題答案1、2、x=4，y=5作業(yè)：P13512,13,15,21,22下節(jié)內容：§4、5請大家做好預習！向量的內積向量的長度向量的夾角標準正交基正交矩陣2、施密特正交化方法，正交矩陣的性質;1、五、本節(jié)課小結3、特征值與特征向量的概念；4、求特征值與特征向量的計算方法；5、特征值與特征向量的性質.六、練習題2.試用施密特正交化法把下列向量組正交單位化：(1)1

=(1,1,1)T，2

=(1,2,3)T，

3=(1,4,9)T；(2)1

=(1,2,2,-1)T，2

=(1,1,-5,3)T，3

=(3,2,8,-7)T.3.設A是一個n階正交矩陣，證明：

(1)A的行列式為1；

(2)A