基于核心素養(yǎng)的全國卷數(shù)學(xué)解題研究

基于“核心素養(yǎng)”的

全國卷數(shù)學(xué)解題研究

漳州一中林新建一.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵二.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容三.數(shù)學(xué)思想之于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)四.思想立意，將數(shù)學(xué)全國卷的解答“臻于完美”

一.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認識論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認識一切客觀事物，具有這樣的哲學(xué)高度和認識特征。具體說，一個具有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的人在他認識世界和改造世界的活動中，常常表現(xiàn)出以下特點：1.在討論問題時，習(xí)慣于強調(diào)定義（界定概念），強調(diào)問題存在的條件；2.在觀察問題時，習(xí)慣于抓住其中的（函數(shù)）關(guān)系，在微觀（局部）認識基礎(chǔ)上進一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；3.在認識問題時，習(xí)慣于將已有的嚴格的數(shù)學(xué)概念如對偶、相關(guān)、隨機、泛函、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用于認識現(xiàn)實中的問題。1.數(shù)感數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。2.符號意識符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式。3.空間觀念空間概念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想像出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。4.幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。5.數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。6.運算能力運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。7.推理能力推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。8.模型思想模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

二.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容

博士生導(dǎo)師王尚志教授作了“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標準修訂”的專題報告，提出中國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”這六大核心素養(yǎng)。1.數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。2.邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本思維品質(zhì)。3.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。4.直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。

主要包括：借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。5.數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等。

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。數(shù)學(xué)運算是計算機解決問題的基礎(chǔ)。6.數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論。數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學(xué)研究的各個方面。在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗。

三.數(shù)學(xué)思想之于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂2.思想立意是培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題智慧、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素

《數(shù)學(xué)課程標準》在修訂的過程中，繼承了我國數(shù)學(xué)教學(xué)中傳統(tǒng)的“雙基”教學(xué)，同時提出了“基本思想、基本活動經(jīng)驗”，使“雙基”上升為“四基”。這樣突出了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，強調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和重要策略，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。

《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程……使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。在教學(xué)中，我們可以窺見數(shù)學(xué)思想是伴隨在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維活動之中的。數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)基本知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心體現(xiàn)。四.思想立意，

將數(shù)學(xué)全國卷的解答臻于完美為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡單的數(shù)學(xué)問題呢？——除了極少數(shù)的學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識外，絕大部分不是不會方法。——而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法?！蛘呤且驗樗枷氩幻鞔_而想不起來用什么方法來處理問題。因此，唯有思想立意，樹立起運用思想引領(lǐng)解題的意識，才能真正培養(yǎng)學(xué)生解題的策略與智慧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。1.立意于“特殊與一般思想”，

運用“特殊化策略”求解“一般性問題”在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常會設(shè)置一些具有“一般性”特征的試題，以此考查學(xué)生對“特殊與一般思想”的理解與應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“特殊與一般思想”，運用“特殊化策略”予以求解，能使問題獲得輕松解決。2.立意于“有限與無限思想”，

運用“極限化策略”求解“無限性問題”在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常會設(shè)置一些具有“無限性”特征的試題，以此考查學(xué)生對“有限與無限思想”的理解與應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“有限與無限思想”，運用“極限化策略”將元素極限化，可使問題輕松獲解。

3.立意于“函數(shù)與方程思想”，

運用“構(gòu)造策略”求解“三角問題”

在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常以三角函數(shù)為載體，考查求值、最值與取值范圍問題，以此考查學(xué)生對“函數(shù)與方程思想”的理解與應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“函數(shù)與方程思想”，運用“構(gòu)造策略”構(gòu)造出待求最值關(guān)于某個變量的函數(shù)，或關(guān)于待求值的方程，可使問題輕松得以解決。分析：本題也是個最值問題，同樣需引入變量，建立起目標函數(shù)關(guān)于這個變量的函數(shù)，問題方能得到解決。分析：本題也是三角形問題，無論在哪個三角形中，都因條件不足無法直接求解三角形，怎么辦？注意到本題是求值問題，若能將待求變量視為已知，則可運用余弦定理建立起關(guān)于這個變量的方程，問題可不難獲得解決。分析：本題也是三角形問題，也因條件不夠無法直接求解三角形，怎么辦？同樣，因為是求值問題，若能引入變量，建立起關(guān)于這個變量的方程，則問題不難獲得解決。分析：本題難在第（2）問，同樣已知一邊及其所對角，無法直接運用正、余弦定理求解，故需引入變量，建立起關(guān)于這個變量的方程，問題方能獲解。4.立意于“化歸與轉(zhuǎn)化思想”，

運用“轉(zhuǎn)化策略”求解“解幾問題”在數(shù)學(xué)全國卷中，常以解析幾何為載體，考查學(xué)生對圓錐曲線定義的理解和運用，考查學(xué)生對“化歸與轉(zhuǎn)化思想”的理解和應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“化歸與轉(zhuǎn)化思想”，運用“轉(zhuǎn)化策略”將問題轉(zhuǎn)化求解，可使問題輕松得以解決。5.立意于“數(shù)形結(jié)合思想”，

運用“直觀感知策略”求解“函數(shù)問題”在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)等知識為載體，考查學(xué)生運用圖形解決問題的能力，考查對“數(shù)形結(jié)合思想”的理解和應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“數(shù)形結(jié)合思想”，運用“直觀感知策略”予以求解，可使問題輕松得以解決。本題若立意于“化歸與轉(zhuǎn)化思想”，運用“直觀感知策略”予以求解，同樣簡單快捷。本題難在第（Ⅱ）問，若能立意于“數(shù)形結(jié)合思想”，運用“直觀感知策略”予以求解，可有效簡化求解途徑。與參考答案比較，上述第（Ⅱ）問的解法更加優(yōu)美，使我們感到：（1）立意于數(shù)形結(jié)合思想，運用直觀感知策略不但回避了分類討論帶來的麻煩，而且思維更加流暢、更容易接近問題的本質(zhì)；（2）思維的“拐點”，就是數(shù)學(xué)思想的“發(fā)源地”。數(shù)學(xué)解題時要關(guān)注細節(jié)、發(fā)掘隱含信息，在思維的“拐點”處下功夫，運用數(shù)學(xué)思想“解碼”，往往會有“踏破鐵鞋無覓處，柳暗花明又一村”的收獲。6.立意于“設(shè)而不求思想”，

運用“虛設(shè)反代策略”求解“零點問題”在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)零點知識為載體，考查學(xué)生對“設(shè)而不求思想”的理解和應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“設(shè)而不求思想”，運用“虛設(shè)反代策略”予以求解，可使問題輕松得以解決。本題的求解有個難點，即導(dǎo)函數(shù)的零點求不出來，怎么辦？這就必須在思想上立意，引領(lǐng)學(xué)生運用“函數(shù)與方程思想、設(shè)而不求思想”予以求解。

7.立意于“正難則反思想”，

運用“轉(zhuǎn)換策略”求解“正難問題”

在數(shù)學(xué)全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，命制一些正面難以求解的問題，以此考查學(xué)生對“正難則反思想”的理解和應(yīng)用。此時應(yīng)立意于“正難則反思想”，運用“轉(zhuǎn)換策略”將問題轉(zhuǎn)換求解，可使問題輕松得以解決。這就需要在思想上立意，引領(lǐng)學(xué)生運用“化歸與轉(zhuǎn)化思想”對待證函數(shù)的式子結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)換證明。

評析：本題是2010年新課標全國卷理科壓軸題，試題的第（Ⅱ）問難住了眾多學(xué)生。而高考標答同樣也讓人費解——這樣的解答是如何想到的