平行四邊形典型例題

...平行四邊形典型例題1.已知如圖12-1-19,所示UABCD的對角線AC、BD相交于點O,OE上AD于E,OFXBC于F.AE?12-i-19求證：四邊形AECF是平行四邊形錯證：在^AOE和^COF中??OEXAD,OFXBC../AEO=/CFO=90°??四邊形ABCD為平行四邊形.OA=OC,AD//BC.1?/EAC=/ACFAOE^ACOF(AAS) ，OF=OE???四邊形AECF是平行四邊形錯誤分析：上面證明由OF=OE,OA=OC不能說明EF與AC互相平分，因為原題設中沒有說明 E、0、F三點共線，因此先證E、0、F三點共線.正確證明：在^AOE和^COF中??OEXADOFXBC../AEO=/CFO=90°??四邊形ABCD為平行四邊形.OA=OC,AD//BC.1?/EAC=/ACF.△A0EQC0F(AAS) ，OF=OE又「AD//BC,OEXAD,OFXBC??E、O、F三點共線??四邊形AECF^平行四邊形2.如圖12-1-22所示，現(xiàn)有一塊等腰直角三角形的鐵板，通過切割焊接成一個含有 45。角的平行四邊形，請你設計一種最簡單的方案，并證明你的方案確實得到的是一個符合條件的平行四邊形.隅12-!-22分析：運用三角形全等，平行四邊形的識別方法來解答，在證明時不要忽略證明 F,E,D共線.解：取AC、BC的中點E、D連結(jié)ED,則沿ED切割下來，如圖使點E不變，點C與點A重合，再焊接上去最簡單.證明：在Rt△ABC中???AC=BC，/B=45°又???E、D分別為AC、BC的中點EC=DC /CED=/CDE=45°/AEF=/CED=45° ../AEF+/AED=/CED+/AED=180°???F、E、D在一條直線上 ?./EAF=ZC=90°..AF//CD又??,AF=CD=DB，四邊形AFDB是平行四邊形，且/B=45°3.如圖12-1-23,在DABCD的對角線上取兩點E、F,且BF=DE,請至少用兩種不同的方法證明四邊形AECF是平行四邊形，并指出哪種方法最簡便.國12-1口分析：可證兩組對邊分別相等，也可證對角線互相平分.證明方法（一）在4ABF和4CDE中，AB=CD,BF=DE,ZABF=ZCDE.△ABFCDEAF=CE同理可證AE=CF,故四邊形AECF是平行四邊形方法（二）連AC交BD于O在DABCD中，OA=OC,OB=OD?.BF=DE OE=OF二.四邊形AECF為平行四邊形.如果一塊木板兩邊是線段，把兩把曲尺的一邊緊靠木板邊緣，再看木板另一邊緣對曲尺另一邊上的刻度是否相等，就可以判斷木板的兩個邊緣是否平行，這是為什么？分析：這是一道生活實踐題，運用數(shù)學知識來解決和分析一些生活實踐問題，此題就是運用平行四邊形的識別方法來判斷兩邊是否平行.解：如果曲尺的刻度相等，則木板的兩個邊緣就平行， 因為，兩把曲尺與木板的兩個邊緣構(gòu)成一個四邊形，當曲尺的刻度相等，則四邊形中就有一組對邊平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，則木板的兩邊緣平行.如果曲尺的刻度不相等，則木板的兩個邊緣就不平行，因為曲尺與木板邊緣構(gòu)成的四邊形不是平行四邊形..已知如圖12-1-4所示，OABCD中，AB的延長線上取一點E,使BE=AB,在CE上取一點M使CM=CD,連結(jié)DM并延長交AE的延長線于點F求證：BD=BF0912-1-4分析：由于BD,BF是^BDF的兩邊，所以要證BD=BF,可由證△BDF中/BDF=/F入手，易知/F=/CDM=/CMD=/EMF,故只要證BD//CE,由此由證法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,從而只要證BD=CE,由此有證法二.證法（一）：二.四邊形ABCD為平行四邊形，AB=n=CD又E點在AB延長線上，且BE=AB AbTTcD??四邊形BECD是平行四形BD//CE/BDF=/EMF??/EMF=/CMD/BDF=/CMD又「CM=CD.CMD=ZCDM../BDF=ZCDM.AF//CD，/CDM=/F，BDF=/F即BD=BF證法（二）：二.四邊形ABCD為平行四邊形 ABTTCD又???E點在AB延長線上且BE=AB BeITCD??四邊形BECD是平行四邊形 BD=CE,BE=CD；....又?./又?./EMF=/CMDCD=CM CMD=/CDM，/EMF=/CDM-BE//CD，/F=/EMF..EF=EM，BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD即BF=BD習題精選、填空題.過UABCD勺頂點A、C分別作對角線BD的垂直線，垂足為E、F,則四邊形AECF是..延長△ABC勺中線AD到E,使DE=AD則四邊形ABECM四邊形..在四邊形ABCm/A=500欲使四邊形為平行四邊形，則/B=,/C=,/D..在四邊形中，任意相鄰兩個內(nèi)角互補，則這個四邊形是四邊形..如圖12-1-29,在UABCD^,E、F為ABCD的中點，連結(jié)DEEF、BF則圖中共有 個平行四邊形..在UABC時連結(jié)BD作AE，BRCF±BR垂足分別為E、F,連結(jié)CE>AF,點P、Q在線段BD上，且BP=DQ連結(jié)ARCRAQCQMN^b另1J交ABCDTMN連結(jié)AMCMNANC那么圖中平行四邊形（除UABCD/卜）有個，它們TOC\o"1-5"\h\z是 .二、判斷題.平行四邊形的對邊分別相等（ ）.平行四邊形的對角線相等（ ）.平行四邊形的鄰角互補（

.平行四邊形的對角相等（.平行四邊形的對角線互相平分一組對角（.對角線平分平行四邊形的四個三角形的面積相等（ ）三、選擇題.能判斷四邊形是平行四邊形的條件是（ ）一組對邊平行，另一組對邊相等一組對邊平行，一組對角相等一組對邊平行，一組鄰角互補一組對邊相等，一組鄰角相等.能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是（ ）A,已知平行四邊形的兩鄰邊B.已知平行四邊形的兩鄰角C.已知平形四邊形的兩對角線D.已知平行四邊形的兩邊及夾角.平行四邊形一邊為32,則它的兩條對角線長不可能為（A.20和1840和50C.60和3032和50.如圖12-1-30所示，已知UABCD勺對角線白交點是O,直直線GHMO且平行AB,則圖中有（ ）個平行四邊形.A.5個B.6個C.7個D.10個.能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）A.一組對角相等）B.）B.D.EF過O點且平行于BGB.兩條對角線互相C.兩條對角線互相平分 D.一對鄰角互補.以下結(jié)論正確的是（ ）A.對角線相等，且一組對角也相等的四邊形是平行四邊形.一邊長為5,兩條對角線分別是4和6的四邊形是平行四邊形.一組對邊平行，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.D.對角線相等的四邊形是平行四邊形.TOC\o"1-5"\h\z7.在口ABCm，點E、F分別在邊BCAD上，如果點E,F分別由下列各種情況得到的，那么四邊形AEC杯一定是平行四邊形的是（ ）AE、CF分另I」平分/DAB/BCDAE,CF使/BEA=/CFDE、F分別是BGAD的中點3 2D,BE=BGAF=ADUABCD寸角線交點為O,△OBC勺周長為59cmi且AD=28cmi兩對角線之差為14cm,則對角線長為（ ）A.12cm和9cm B.24cm和38cmC.8.5cm和22.5cm D.15.5cm和29.5cm四、解答題.如圖12-1-31所示，在UABCm，AE平分/BADCF平分/BCD四邊形AECF1平行四邊形嗎？[￥]12-1-31.如圖12-1-32所示，四邊形ABCm/B=/D,/1=/2,則四邊形ABC此平行四邊形嗎？為什么？...,,.圖1￡■】72.如圖12-1-33所示，四邊形ABCD勺對角線AGBD相交于點QE、F分別是ODOB上一點，若/EC氏/FABEOAF,則四邊形AEC笈平行四邊形嗎？為什么？.如圖12-1-34所示，四邊形ABCD^AB=CD/DBC=90°,FD±ADTD,求證四邊形ABC北平行四邊形.0S12-l-H0S12-l-H.如圖12-1-35所示，△ABC中DE在BC邊上，N、M在ABAC上，且EN與DM互相平分，MD/AB,NE//AC求證：BD=DE=CE圖13-1-33五、證明題.已知：如圖12-1-18,在UABCD^,E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF.求證：(1)AE=CF2)AE//CF陽12陽122.已知：如圖12-1-19,四邊形ABC時平行四邊形，E、F是直線BD延長線上的兩點,且DE=BF,求證AE=CF一、填空題.平行四邊形 點撥：由一組對邊平行且相等，即可判斷.平行四邊形.130°,50°,130°.平行四邊形 點撥：由題意可得兩組對邊分別平行.4個點撥：UABCDUADFEUEFCBUEDFB.3個UAECFDAPCQDAMCN二、判斷題1.V2.X點撥：對角線不一定相等，但互相平分3.V 4,V5.X點撥：對角線不平分一組對角，只是自己互相平分 6.V三、選擇題.B2.D3.A4.D5.C6.C7.B8.B四、解答題.解：四邊形AECF1平行四邊形點撥：由口ABC山口/BC氏/BAD又AE平分/BADCF平分/BCD故（EA已/ECF又/AF//EG故/AEC它EA已180°,即/AEC吆EC已180°,所以AE//CF,故四邊形AECF是平行四邊形..解：四邊形ABC比平行四邊形由/1=/2得DC//AB,所以/D+/DA氏180°,又/B=/D,所以/DAB它B=180°,所以AD//BC,即四邊形ABC師平行四邊形..解：是平行四邊形,,點撥：AB//CD故/ACD=/CAB又/EC氏/FA0故/ACD上EC氏/CAB上FAB即/ACE=/CAF所以CE=AFCE=AF,故AFCEt平行四邊形.4,證明：vBD±ADaZBDA=90?./DBC=90°,DC=AB,DB=DB..△AD皆ACBD..AD=BC一?四邊形ABCD1平行四邊形5,證明：:NE,MD互相平分「?四邊形MND的平行四邊形；mNdE又「MD/AB,NE//AC..四邊形MNBDMNEC；平行四邊形vMN=BRMN=CE..BD=DECE五、證明題1.證明：???四邊形ABC師平行四邊形aBJ=DC.?./ABE=/CDF在△ABE和△CDWAB=D