計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第六章教學(xué)文案

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第六章可以證明，由（5）（6）兩式組成的LQG系統(tǒng)仍然是最優(yōu)控制系統(tǒng)，它使如下的離散性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)：（7）其最小值為：（8）（9）其最小值為：（10）使如下的連續(xù)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)其中上述便是著名的分離性原理。（11）由分離性原理，LQG控制器的設(shè)計(jì)可以分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：（1）最優(yōu)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)最優(yōu)控制規(guī)律時(shí)，可以將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)而不考慮隨機(jī)的過(guò)程干擾何測(cè)量噪聲，同時(shí)認(rèn)為全部狀態(tài)可用于反饋。（2）狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的計(jì)算?？紤]隨機(jī)的過(guò)程干擾和測(cè)量噪聲，狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的計(jì)算與性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣的選擇無(wú)關(guān)。分離性原理的使用：LQ系統(tǒng)與LQG系統(tǒng)的區(qū)別：（1）在LQ系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)對(duì)非零初始條件的響應(yīng)性能，性能指標(biāo)Jd

由無(wú)窮多項(xiàng)相加，Jc

是在無(wú)窮大區(qū)間上積分，但Jd

和Jc皆為有限數(shù)；在LQG系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)抗隨機(jī)干擾和測(cè)量噪聲的性能，由于隨機(jī)干擾和測(cè)量噪聲的影響，因此在性能指標(biāo)中只取時(shí)的一項(xiàng)，在中只取時(shí)一個(gè)采樣周期內(nèi)積分的平均值。（2）LQ系統(tǒng)考慮的是確定性系統(tǒng)，Jd

和Jc

表達(dá)式中的各量均為確定量；

LQG系統(tǒng)考慮的是隨機(jī)系統(tǒng)，系統(tǒng)中各量均為隨機(jī)量，因此在性能指標(biāo)和均取數(shù)學(xué)期望。LQG

系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況：結(jié)合（5）（6）式并整理，得到整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（12）（13）其中從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：（第二列加到第一列）（第二行減去第一行）（14）其中為L(zhǎng)Q系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。由上節(jié)公式（9）（12）得到（15）顯然為狀態(tài)估計(jì)器的極點(diǎn)。因此LQG系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由兩部分組成：（1）LQ系統(tǒng)的極點(diǎn)；（2）狀態(tài)估計(jì)器的極點(diǎn)。二、積分控制的引入（PI控制器的設(shè)計(jì)）問(wèn)題的提出：前面所設(shè)計(jì)的調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制器（r(k)=0），其目的在于使系統(tǒng)從非零的初始條件回到零狀態(tài)時(shí)具有滿意的響應(yīng)性能，即所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對(duì)脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對(duì)于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析：控制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），控制器中沒(méi)有積分作用。解決方法：控制規(guī)律中引入積分作用，設(shè)計(jì)成PI控制器。設(shè)控制對(duì)象的離散狀態(tài)方程為：（16）其中為階躍型干擾，即（17）（18）定義各量的差分為：顯然，當(dāng)時(shí)，有。對(duì)式（16）兩邊取差分得到：（22）（19）（20）令，結(jié)合式（19）（21），得到關(guān)于z(k)的狀態(tài)方程：即：（21）其中：（23）設(shè)取二次型性能指標(biāo)為：（24）其中Q1

是非負(fù)定對(duì)稱陣，Q2

是正定對(duì)稱陣。假定是能穩(wěn)定的，且設(shè)D

為能使DTD=Q1

成立的任何矩陣，同時(shí)假定是能檢測(cè)的。式（22）和（24）是標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，根據(jù)定理1可以求得：（25）（26）（27）由式（25）得到其中是相應(yīng)的分塊矩陣。（28）由式（22）和（24）組成的標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，由于假設(shè)了是能穩(wěn)定的，是能檢測(cè)的，因此根據(jù)定理1，該最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即從而（29），即系統(tǒng)對(duì)常值干擾無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)（28）式兩邊做求和運(yùn)算，得到：（30）忽略初始條件x(0)與u(0)，實(shí)際控制規(guī)律為：（31）可見(jiàn)，u(k)由兩部分組成，一部分是狀態(tài)的比例調(diào)節(jié)，另一部分是輸出量的積分反饋，通常稱這樣的調(diào)節(jié)器為PI最優(yōu)調(diào)節(jié)器，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI調(diào)節(jié)器圖1采用最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器（Kalman濾波）來(lái)重構(gòu)系統(tǒng)的全部狀態(tài)后，PI調(diào)節(jié)器變?yōu)椋簎(k)+y(k)+-L2-L1PI調(diào)節(jié)器圖2最優(yōu)估計(jì)器控制對(duì)象基于二次型性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)PI控制器步驟如下：（1）按式（23）組成矩陣；（2）給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)，并合適地給定加權(quán)矩陣Q1，Q2；（3）針對(duì)狀態(tài)方程式（22），按最優(yōu)控制設(shè)計(jì)出控制規(guī)律；（4）選擇最優(yōu)估計(jì)器的類型（預(yù)報(bào)估計(jì)器，現(xiàn)時(shí)估計(jì)器）；（5）應(yīng)用Kalman濾波公式計(jì)算出最優(yōu)估計(jì)器增益矩陣K；（6）按圖2的結(jié)構(gòu)圖組成PI調(diào)節(jié)器。由第三章的內(nèi)容可知，引入?yún)⒖驾斎牒罂刂破鞯臉?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程為：（32）當(dāng)采用現(xiàn)時(shí)的Kalman濾波時(shí)（相當(dāng)于現(xiàn)時(shí)預(yù)報(bào)觀測(cè)器）有：（33）（一）一般跟蹤系統(tǒng)第五節(jié)跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)當(dāng)采用一步預(yù)報(bào)的Kalman濾波時(shí)有：（34）根據(jù)一般結(jié)構(gòu)控制器標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程，按如下三種方式引入?yún)⒖驾斎?，增益矩陣M和N的選擇方法如下：1、方式1，即參考輸入的引入不影響觀測(cè)器的狀態(tài)重構(gòu)的情況。對(duì)于現(xiàn)時(shí)Kalman濾波器，有（35）對(duì)于一步預(yù)報(bào)的Kalman濾波器，有（36）（1）的選擇：（2）N的選擇：（37）若對(duì)象中包含積分環(huán)節(jié)，上式簡(jiǎn)化為：（38）2、方式2，即僅用誤差進(jìn)行控制，此時(shí)有（39）3、方式3（只適合單輸入/輸出系統(tǒng)）：任意選擇M和N，以滿足零點(diǎn)配置及靜態(tài)精度的要求。若給定D1(z)的零點(diǎn)多項(xiàng)式，則有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）式確定。（二）積分控制的引入問(wèn)題的提出：系統(tǒng)對(duì)脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對(duì)于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析：控制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），控制器中沒(méi)有積分作用。解決方法：控制規(guī)律中引入積分作用。由前述積分控制的引入內(nèi)容（參考圖1），不考慮狀態(tài)估計(jì)器，可以得到引入?yún)⒖驾斎霑r(shí)相應(yīng)的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1控制器圖3包含積分控制的跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖ue(k)+_e(k)r(k)根據(jù)圖3，得到控制器方程為：（49）其中L1和L2仍按第一節(jié)介紹的PI調(diào)節(jié)器的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)于這樣的控制器結(jié)構(gòu)，對(duì)于常值參考輸入以及在常值干擾作用下，均不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖5中，仍然要求全部狀態(tài)直接反饋，這在實(shí)際中是不現(xiàn)實(shí)的，因此仿照前面類似的方法，通過(guò)構(gòu)造估計(jì)器來(lái)獲得狀態(tài)重構(gòu)