自動控制原理北航課件八章全教學(xué)提綱

自動控制原理北航課件八章全下面通過具體例子來說明自動控制和自動控制系統(tǒng)的概念控制器氣動閥門流入Q1浮子水箱流出Q2H水位自動控制系統(tǒng)控制任務(wù)：維持水箱內(nèi)水位恒定；控制裝置：氣動閥門、控制器；受控對象：水箱、供水系統(tǒng)；被控量：水箱內(nèi)水位的高度；給定值：控制器刻度盤指針標(biāo)定的預(yù)定水位高度；測量裝置：浮子；比較裝置：控制器刻度盤；干擾：水的流出量和流入量的變化都將破壞水位保持恒定；自動控制即沒有人直接參與的控制，其基本任務(wù)是：在無人直接參與的情況下，只利用控制裝置操縱被控對象，使被控制量等于給定值。自動控制系統(tǒng)：指能夠完成自動控制任務(wù)的設(shè)備，一般由控制裝置和被控對象組成。由此可見：1-２自動控制的基本方式被控量比較執(zhí)行測量被控對象實測值干擾測量給定值H自動控制方框圖返回子目錄在上圖中，除被控對象外的其余部分統(tǒng)稱為控制裝置，它必須具備以下三種職能部件。測量元件：用以測量被控量或干擾量。比較元件：將被控量與給定值進(jìn)行比較。執(zhí)行元件：根據(jù)比較后的偏差，產(chǎn)生執(zhí)行作用，去操縱被控對象

參與控制的信號來自三條通道，即給定值、干擾量、被控量。開環(huán)控制按給定值操縱的開環(huán)控制按干擾補(bǔ)償?shù)拈_環(huán)控制按偏差調(diào)節(jié)的閉環(huán)控制復(fù)合控制下面根據(jù)不同的信號源來分析自動控制的幾種基本控制方式一、按給定值操縱的開環(huán)控制計算執(zhí)行受控對象給定值干擾被控量按給定值操縱的開環(huán)控制系統(tǒng)原理方框圖開環(huán)控制——系統(tǒng)的輸出端與輸入端之間不存在反饋回路，輸出量對系統(tǒng)的控制作用沒有影響。爐溫控制系統(tǒng)爐溫控制系統(tǒng)原理方框圖定時開關(guān)爐子電阻絲按給定值操縱的開環(huán)控制特點：控制裝置只按給定值來控制受控對象優(yōu)點：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，相對來說成本低。缺點：對可能出現(xiàn)的被控量偏離給定值的偏差沒有任何修正能力，抗干擾能力差，控制精度不高。二、按干擾補(bǔ)償?shù)拈_環(huán)控制定義：利用干擾信號產(chǎn)生控制作用，以及時補(bǔ)償干擾對被控量的直接影響。計算測量受控對象執(zhí)行干擾被控量特點：只能對可測干擾進(jìn)行補(bǔ)償，對不可測干擾以及受控對象、各功能部件內(nèi)部參數(shù)變化對被控量的影響，系統(tǒng)自身無法控制。適用于：存在強(qiáng)干擾且變化比較劇烈的場合。水位高度控制系統(tǒng)原理圖水位高度控制系統(tǒng)原理方框圖三、按偏差調(diào)節(jié)的閉環(huán)控制特點：通過計算被控量和給定值的差值來控制被控對象。優(yōu)點：可以自動調(diào)節(jié)由于干擾和內(nèi)部參數(shù)的變化而引起的變動。計算比較給定值E執(zhí)行被控對象干擾被控量測量－按偏差調(diào)節(jié)的系統(tǒng)原理方框圖如上圖所示，反饋回來的信號與給定值相減，即根據(jù)偏差進(jìn)行控制，稱為負(fù)反饋，反之稱為正反饋。這種控制方式控制精度較高，因為無論是干擾的作用，還是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，只要被控量偏離給定值，系統(tǒng)就會自行糾偏。但是閉環(huán)控制系統(tǒng)的參數(shù)如果匹配得不好，會造成被控量的較大擺動，甚至系統(tǒng)無法正常工作。飛機(jī)自動駕駛系統(tǒng)原理圖控制任務(wù)：系統(tǒng)在任何擾動作用下，保持飛機(jī)俯仰角不變。被控對象：飛機(jī)。被控量：飛機(jī)的俯仰角。俯仰角控制系統(tǒng)原理方框圖四、復(fù)合控制復(fù)合控制就是開環(huán)控制和閉環(huán)控制相結(jié)合的一種控制。實質(zhì)上，它是在閉環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，附加了一個輸入信號或擾動作用的順饋通路，來提高系統(tǒng)的控制精度。控制裝置被控對象

CR—補(bǔ)償裝置a.按輸入作用補(bǔ)償b.按擾動作用補(bǔ)償n控制裝置被控對象

CR—補(bǔ)償裝置1-３對控制系統(tǒng)的性能要求定義：通常將系統(tǒng)受到給定值或干擾信號作用后，控制被控量變化的全過程稱為系統(tǒng)的動態(tài)過程。工程上常從穩(wěn)、快、準(zhǔn)三個方面來評價控制系統(tǒng)。穩(wěn)：指動態(tài)過程的平穩(wěn)性。快：指動態(tài)過程的快速性。準(zhǔn)：指動態(tài)過程的最終精度。返回子目錄穩(wěn)：指動態(tài)過程的平穩(wěn)性控制系統(tǒng)動態(tài)過程曲線如上圖所示，系統(tǒng)在外力作用下，輸出逐漸與期望值一致，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如曲線①所示；反之，輸出如曲線②所示，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？欤褐竸討B(tài)過程的快速性快速性即動態(tài)過程進(jìn)行的時間的長短。過程時間越短，說明系統(tǒng)快速性越好，反之說明系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，如曲線①所示。穩(wěn)和快反映了系統(tǒng)動態(tài)過程性能的好壞。既快又穩(wěn)，表明系統(tǒng)的動態(tài)精度高。準(zhǔn)：指系統(tǒng)在動態(tài)過程結(jié)束后，其被控量（或反饋量）與給定值的偏差，這一偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，是衡量穩(wěn)態(tài)精度的指標(biāo)，反映了系統(tǒng)后期穩(wěn)態(tài)的性能。以上分析的穩(wěn)、快、準(zhǔn)三方面的性能指標(biāo)往往由于被控對象的具體情況不同，各系統(tǒng)要求也有所側(cè)重，而且同一個系統(tǒng)的穩(wěn)、快、準(zhǔn)的要求是相互制約的。第二章

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立2-2非線性微分方程的線性化2-3

傳遞函數(shù)(transferfunction)2-4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2-5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)2-6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)返回主目錄基本要求基本要求1.了解建立系統(tǒng)動態(tài)微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。3.掌握用拉氏變換求解微分方程的方法。4.掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)。5.掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式。返回子目錄6.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法。7.掌握用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式求傳遞函數(shù)的方法。8.掌握系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念。分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實驗法解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實驗驗證。實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？偨Y(jié)：解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系消去中間變量標(biāo)準(zhǔn)化微分方程返回子目錄列寫微分方程的一般方法例1.列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。RCuruci解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時間常數(shù)），則微分方程為：例2.設(shè)有一彈簧質(zhì)量阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將式(2-4)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化T稱為時間常數(shù)，為阻尼比。顯然，上式描述了m－K－f系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。令，即，則式可寫成2－2非線性微分方程的線性化在實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。返回子目錄于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。在平衡點A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化?？傻?，簡記為y=kx。若非線性函數(shù)由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點處可展成（忽略高次項）經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設(shè)線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時，必存在解為，即為可疊加性。

上述結(jié)果表明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。若時，為實數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。2－3傳遞函數(shù)

(transferfunction)傳遞函數(shù)的概念與定義

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。返回子目錄這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的。一、傳遞函數(shù)的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章）傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因為當(dāng)時，，所以，一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。三、傳遞函數(shù)舉例說明例1.

如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)。解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動態(tài)方程，對其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接求的方法。因為電阻、電容、電感的復(fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為四、典型環(huán)節(jié)一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：，T

為時間常數(shù)。二階振蕩環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：T為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)。二階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)此外，還經(jīng)常遇到一種延遲環(huán)節(jié)，設(shè)延遲時間為，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：2－4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。返回子目錄一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點和引出點。信號線

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。2.傳遞方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。3.綜合點綜合點亦稱加減點，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負(fù)信號需在信號線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號。＋省略時也表示＋4.引出點表示同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1.串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。2.并聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。3.反饋連接一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－C(s)H(s)三、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則：

按照動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。以機(jī)電隨動系統(tǒng)為例，如下圖所示舉例說明系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成其象方程組如下：系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(1)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(2)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(5)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(6))(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+1系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(7))(smqsfJs+21mC)(sMm系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(8))(smqsfJs+21mC)(sMm四結(jié)構(gòu)圖的等效變換思路：

在保證總體動態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（１）串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（２）等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（３）串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（４）2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效變換證明推導(dǎo)(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)4.綜合點的移動（后移）綜合點后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點后移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點后移證明推導(dǎo)（移動后）移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移動后綜合點后移證明推導(dǎo)（移動前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點后移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點后移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)綜合點前移G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點前移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點前移證明推導(dǎo)（移動后）移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移動后綜合點前移證明推導(dǎo)（移動前后）4.綜合點的移動（前移）綜合點前移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4.綜合點的移動（前移）綜合點前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)綜合點之間的移動R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)4.綜合點之間的移動結(jié)論：結(jié)論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5.引出點的移動引出點后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，

？等于什么。引出點后移等效變換圖G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出點前移問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出點前移等效變換圖G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出點之間的移動ABR(s)BAR(s)引出點之間的移動相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)五舉例說明（例1）例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)。例題分析由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入r，ML（干擾）。我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求c對r的關(guān)系時，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩

ML＝0，即認(rèn)為ML不存在。要點：結(jié)構(gòu)變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進(jìn)行。例題化簡步驟（1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（5)求傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)

：五舉例說明（例2）例2：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。例2（例題分析）本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結(jié)構(gòu)。例2（解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。例2（解題方法一之步驟1）將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。例2（解題方法一之步驟2）例2（解題方法一之步驟3）例2（解題方法一之步驟4）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟5）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟6）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟7）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟8）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟9）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟10）反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟11）等效變換化簡結(jié)果例2（解題方法二）將綜合點③前移，然后與綜合點②交換。例2（解題方法三）引出點A后移例2（解題方法四）引出點B前移結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應(yīng)的綜合點盡量不要移動；盡量避免綜合點和引出點之間的移動。五、用梅森（S.J.Mason）

公式求傳遞函數(shù)梅森公式的一般式為：梅森公式參數(shù)解釋：注意事項：“回路傳遞函數(shù)”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積，并且包含代表反饋極性的正、負(fù)號。舉例說明（梅森公式）例1：試求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)求解步驟之一（例1）找出前向通路數(shù)n求解步驟之一（例1）前向通路數(shù)：n＝1求解步驟之二（例1）確定系統(tǒng)中的反饋回路數(shù)1.尋找反饋回路之一1.尋找反饋回路之二1.尋找反饋回路之三1.尋找反饋回路之四利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)利用梅森公式求傳遞函數(shù)(2)求余子式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式的求法，計算求余式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖圖中不再有回路，故1=1利用梅森公式求傳遞函數(shù)(3)例2：用梅森公式求傳遞函數(shù)試求如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之二：確定前向通路求解步驟之二：確定前向通路求解步驟之三：求總傳遞函數(shù)例3：對例2做簡單的修改①求反饋回路1②求反饋回路2③求反饋回路3④求反饋回路42.①兩兩互不相關(guān)的回路1②兩兩互不相關(guān)的回路2３.①求前向通路13.②求前向通路24.求系統(tǒng)總傳遞函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)即脈沖過渡函數(shù)，就是系統(tǒng)對單位脈沖函數(shù)輸入的響應(yīng)，用k(t)表示。2－5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)由此可知系統(tǒng)（或元件）的傳函的拉氏反變換就等于它的脈沖響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)傳函為，而所以有概念和定義返回子目錄對于任意輸入信號r(t)，系統(tǒng)輸出為c(t)，則用拉氏變換的卷積定理可得：由此可知，對于線性系統(tǒng)，只要知道它的脈沖過渡函數(shù)k(t)，就可以計算出系統(tǒng)對任意輸入信號r(t)的時間響應(yīng)過程c(t)。注：傳遞函數(shù)簡稱傳函（下同）下面用線性系統(tǒng)的疊加原理說明式(2-5-1)的物理含義設(shè)任意輸入信號r(t)，如上圖所示，分成一系列寬度為的相鄰矩形脈沖。則一矩形脈沖可表為式中是發(fā)生在時刻的理想脈沖。則式表示的矩形脈沖引起的系統(tǒng)輸出為，由物理系統(tǒng)的因果關(guān)系，可知當(dāng)時，有。由疊加原理得：當(dāng)時，記，上式可寫為當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，則單位階躍響應(yīng)記作h(t)，由(2-5-1)式得所以知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，就可以惟一確定其單位階躍響應(yīng)，反之亦然，即2－6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸入：控制輸入干擾輸入輸出：由控制作用產(chǎn)生的輸出由干擾作用產(chǎn)生的輸出返回子目錄一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不含極性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：它是當(dāng)主反饋回路斷開時反饋信號B(s)與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。二、系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)＝0注：該系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)傳函中分母為1+開環(huán)傳遞函數(shù)，反之，若主反饋為正反饋時，則系統(tǒng)傳函為1－開環(huán)傳函三、系統(tǒng)在n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)＝0四、系統(tǒng)總輸出線性系統(tǒng)滿足疊加原理。系統(tǒng)總輸出的拉氏變換式為：五、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)按上圖規(guī)定誤差為：

e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)

1.r(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

此時令n(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示此時令n(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示

2.n(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

3.系統(tǒng)總誤差

六、閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式無論是系統(tǒng)傳遞函數(shù)還是誤差傳遞函數(shù)，它們都有一個共同的特點，擁有相同的分母，這就是閉環(huán)系統(tǒng)的本質(zhì)特征，我們將閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。它與輸入無關(guān)，僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。本章引入了傳遞函數(shù)這一基本概念，概念的引入過程、所介紹的主要內(nèi)容以及這些內(nèi)容間的關(guān)系可以用示意圖表示如下：考慮負(fù)載效應(yīng)拉氏變換(零初條件)(零初條件)(零初條件)拉氏變換消元法抽象物理、化學(xué)定律簡化假定克萊姆法則線性化方法自動控制系統(tǒng)物理模型系統(tǒng)部件微分方程組系統(tǒng)增量動態(tài)方程組系統(tǒng)象函數(shù)方程組系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(信號流圖)梅森公式結(jié)構(gòu)圖等效變換法則C(s)系統(tǒng)原理方塊圖系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)關(guān)系式傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)概念與后幾章的關(guān)系可用下圖來表示。傳遞函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)第三章時域分析第四章根軌跡法第五章頻率域分析拉氏反變換第3章時域分析法3－1時域分析基礎(chǔ)3－2一、二階系統(tǒng)分析與計算3－3系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3－4穩(wěn)態(tài)誤差分析計算基本要求返回主目錄

基本要求1熟練掌握一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和階躍響應(yīng)的特點。熟練計算性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，特別是一階系統(tǒng)和典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能的計算方法。2了解一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的特點。3正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，能熟練運(yùn)用穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進(jìn)行有關(guān)的參數(shù)計算、分析。返回子目錄

4正確理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應(yīng)用條件。5熟練掌握計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。6掌握系統(tǒng)的型次和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析、研究和設(shè)計控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)，經(jīng)典控制論中三種分析（時域，根軌跡，頻域）、研究和設(shè)計控制系統(tǒng)的方法，都是建立在這個基礎(chǔ)上的。3－1時域分析基礎(chǔ)

一、時域分析法的特點它根據(jù)系統(tǒng)微分方程，通過拉氏變換，直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)。依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及時間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)控制性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。這是一種直接方法，而且比較準(zhǔn)確，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。返回子目錄二、典型初始狀態(tài)，典型外作用1.典型初始狀態(tài)通常規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)。即在外作用加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點的增量為零，系統(tǒng)處于相對平衡狀態(tài)。2.典型外作用單位階躍函數(shù)1(t)tf(t)0?íì<3==0t00t1)t(1)t(f其拉氏變換為：s1dte1)s(F)]t(f[L0st===ò￥-其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：t

單位斜坡函數(shù)0t0t0t)t(1t)t(f<3?íì=.=其拉氏變換為：20sts1dtet)s(F)]t(f[L===ò￥-f(t)0其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：單位脈沖函數(shù)000)()(=1?íì￥==ttttfd其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其拉氏變換為：1)()]([==sFtfLò+￥￥-=1)(dttd定義：圖中1代表了脈沖強(qiáng)度。單位脈沖作用在現(xiàn)實中是不存在的，它是某些物理現(xiàn)象經(jīng)數(shù)學(xué)抽象化的結(jié)果。正弦函數(shù)其拉氏變換為：220sin)()]([ωsωdteωtsFtfLst+===ò￥-000sin)(<3?íì=ttωttf其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(t)三、典型時間響應(yīng)初狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入作用下輸出量的動態(tài)過程，稱為典型時間響應(yīng)。1.單位階躍響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位階躍輸入[r(t)=1(t)]作用下的響應(yīng)，常用h(t)表示。若系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為，則h(t)的拉氏變換為故2.單位斜坡響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位斜坡輸入[r(t)=t·1(t)]作用下的響應(yīng)，常用表示。故則有3.單位脈沖響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位脈沖輸入r(t)=δ(t)作用下的響應(yīng)，常用k(t)表示。注：關(guān)于正弦響應(yīng)，將在第五章里討論故則有4.三種響應(yīng)之間的關(guān)系由式(3-1-3)可將式(3-1-1)和式(3-1-2)寫為：相應(yīng)的時域表達(dá)式為四、階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)t)(th)(pth1ptst誤差帶01、峰值時間tp：指h(t)曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個峰值所需的時間。2、超調(diào)量％：指h(t)中對穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。3、調(diào)節(jié)時間ts：指響應(yīng)曲線中，h(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近5%h()或2%h()誤差帶，而不再超出的最小時間。4、穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。注意事項：3－2一、二階系統(tǒng)分析與計算定義：由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)返回子目錄一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型微分方程：動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：傳遞函數(shù)：一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)輸入：輸出：單位階躍響應(yīng)曲線初始斜率：性能指標(biāo)1.平穩(wěn)性：2.快速性ts：3.準(zhǔn)確性ess：非周期、無振蕩，＝0舉例說明（一階系統(tǒng)）一階系統(tǒng)如圖所示，試求：當(dāng)KH＝0.1時，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，放大倍數(shù)K，穩(wěn)態(tài)誤差ess；如果要求ts＝0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)KH應(yīng)調(diào)整為何值？討論KH的大小對系統(tǒng)性能的影響及KH與ess的關(guān)系?？炊}3-1并回答上述各題二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的微分方程一般式為：二階系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)圖二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)的特征方程為解方程求得特征根：當(dāng)輸入為階躍信號時，則微分方程解的形式為：式中為由r(t)和初始條件確定的待定的系數(shù)。s1,s2完全取決于，n兩個參數(shù)。此時s1,s2為一對共軛復(fù)根，且位于復(fù)平面的左半部。①特征根分析—

（欠阻尼）②特征根分析—（臨界阻尼）此時s1,s2為一對相等的負(fù)實根。

s1=s2=-n⑷特征根分析—（過阻尼）此時s1,s2為兩個負(fù)實根，且位于復(fù)平面的負(fù)實軸上。⑤特征根分析—（零阻尼）此時s1,s2為一對純虛根，位于虛軸上。S1,2=jn⑥特征根分析—（負(fù)阻尼）此時s1,s2為一對實部為正的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的右半部。⑦特征根分析—（負(fù)阻尼）此時s1,s2為兩個正實根，且位于復(fù)平面的正實軸上。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)取C(s)拉氏反變換得：過阻尼系統(tǒng)分析衰減項的冪指數(shù)的絕對值一個大，一個小。絕對值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對值小的離虛軸近，衰減速度慢；衰減項前的系數(shù)一個大，一個??；二階過阻尼系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)；離虛軸近的極點所決定的分量對響應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點所決定的分量對響應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時甚至可以忽略不計。過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應(yīng)1二階過阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)分析對于過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)，只著重討論，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應(yīng)快速性的一個方面，但確定的表達(dá)式是很困難的，一般根據(jù)（3－1－4）取相對量及經(jīng)計算機(jī)計算后制成曲線或表格。2.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階欠阻尼系統(tǒng)的輸出拉氏反變換得：二階欠阻尼系統(tǒng)輸出分析二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1，暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為ωd。下圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線。下面根據(jù)上圖來分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、對階躍響應(yīng)的影響平穩(wěn)性（％）結(jié)論：越大，ωd越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，越小，ωd越大，振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性越差。當(dāng)＝0時，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為的不衰減（等幅）振蕩。阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示結(jié)論：對于二階欠阻尼系統(tǒng)而言，大，

小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。在一定的情況下，越大，振蕩頻率

也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。快速性從圖中看出，對于5％誤差帶，當(dāng)時，調(diào)節(jié)時間最短，即快速性最好。同時，其超調(diào)量<5％，平穩(wěn)性也較好，故稱為最佳阻尼比?？偨Y(jié)：越大，調(diào)節(jié)時間越短；當(dāng)一定時，越大，快速性越好。穩(wěn)態(tài)精度從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時間t的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。欠阻尼二階系統(tǒng)

單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)1.上升時間：令，則所以：根據(jù)極值定理有：該項不可能為零2.峰值時間：取n=1得:3.超調(diào)量：將峰值時間代入下式得:所以:4.調(diào)節(jié)時間寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式相當(dāng)困難。在分析設(shè)計系統(tǒng)十，經(jīng)常采用下列近似公式。當(dāng)阻尼比時三、二階系統(tǒng)舉例2設(shè)位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)給定輸入為單位階躍時，試計算放大器增益KA＝200，1500，13.5時，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時間tp，調(diào)節(jié)時間ts和超調(diào)量，并分析比較之。例題解析(1)輸入：單位階躍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：例題解析(2)當(dāng)KA＝200時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：例題解析(3)當(dāng)KA＝1500時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：例題解析(4)當(dāng)KA＝13.5時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：無系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線四改善二階系統(tǒng)響應(yīng)的措施1.誤差信號的比例－微分控制系統(tǒng)開環(huán)傳函為：閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動態(tài)性能，因為它產(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個修正作用。前面圖的相應(yīng)的等效結(jié)構(gòu)由此知道：和及的大致形狀如下一方面，增加項，增大了等效阻尼比，使曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使加上了它的微分信號，加速了c(t)的響應(yīng)速度，但同時削弱了等效阻尼比的平穩(wěn)作用?？偨Y(jié)：引入誤差信號的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，還需要適當(dāng)選擇微分時間常數(shù)。若大一些，使具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點的微分作用，將在保證響應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。2.輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號c(t)采用負(fù)反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。3.比例－微分控制和速度反饋控制比較從實現(xiàn)角度看，比例－微分控制的線路結(jié)構(gòu)比較簡單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。五高階系統(tǒng)的時域分析定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于求高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。通常對于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個或兩個閉環(huán)極點在時間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠(yuǎn)的極點，他們在時間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。這時，高階系統(tǒng)的時域分析就轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一、二階系統(tǒng)。這就是所謂的主導(dǎo)極點的概念，將在第四章中詳細(xì)介紹。一、二階系統(tǒng)的極點分布如下：3－3系統(tǒng)穩(wěn)定性分析本節(jié)主要內(nèi)容：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和穩(wěn)定性的判定方法。返回子目錄一、系統(tǒng)穩(wěn)定的概念是指系統(tǒng)當(dāng)擾動作用消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài)，就稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若系統(tǒng)在擾動作用消失后不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。二、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件設(shè)系統(tǒng)的線形化增量方程為：對上式進(jìn)行拉氏變換得：其中：D(s)為系統(tǒng)閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子式；M(s)稱為輸入端算子式。R(s)為輸入，C(s)為輸出，M0(s)為總的初始條件，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項式?；蚝唽憺椋簞t有：假定：將C(s)等式右的兩項分別展開成部分分式，可得再進(jìn)行拉氏反變換，得該部分為穩(wěn)態(tài)分量，即微分方程的特解，取決于輸入作用。該為瞬態(tài)分量，即微分方程的通解，運(yùn)動規(guī)律取決于，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。系統(tǒng)去掉擾動后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)分量決定。此時，系統(tǒng)的輸入為零。故：穩(wěn)定性定義可轉(zhuǎn)化為：式中：Ai，Ci均為常值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根si的性質(zhì)。特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響當(dāng)si為實根時，即si＝i，特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系(2)當(dāng)si為共軛復(fù)根時，即si，i+1＝i±

jωi共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負(fù)實部，或者說都位于S平面的虛軸之左。注：拉氏變換性質(zhì)中的終值定理的適用條件：SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面穩(wěn)定條件的另一種表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虛軸之左。三、穩(wěn)定性判據(jù)判據(jù)之一：赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的赫爾維茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部為正。赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)特征方程的一般形式為：各階赫爾維茨行列式為：（一般規(guī)定）舉例：系統(tǒng)的特征方程為：試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：第一步：由特征方程得到各項系數(shù)２１３５第二步：計算各階赫爾維茨行列式結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定。１０三、穩(wěn)定性判據(jù)判據(jù)之二：林納德－奇帕特（Lienard-Chipard)判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：１．系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)大于零，即２．奇數(shù)階或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。即或必要條件舉例：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求開環(huán)增益Ｋ的穩(wěn)定域。解：第一步：求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程第二步：列出特征方程的各項系數(shù)。第三步：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。解得：Ｋ＜１４開環(huán)增益Ｋ的穩(wěn)定域為：由此例可見，K越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。上述判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可根據(jù)穩(wěn)定性的要求確定系統(tǒng)參數(shù)的允許范圍（即穩(wěn)定域）。三、穩(wěn)定性判據(jù)判據(jù)之三：勞斯(Routh)判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列所有元素的計算值均大于零。若系統(tǒng)的特征方程為：則勞思表中各項系數(shù)如下圖：關(guān)于勞斯判據(jù)的幾點說明如果第一列中出現(xiàn)一個小于零的值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；如果第一列中有等于零的值，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；第一列中數(shù)據(jù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目，即系統(tǒng)中不穩(wěn)定根的個數(shù)。例1設(shè)系統(tǒng)特征方程如下：試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實部根的數(shù)目。解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)特征方程有兩個正實部的根。勞斯表判據(jù)的特殊情況在勞斯表的某一行中，第一列項為零。在勞斯表的某一行中，所有元素均為零。在這兩種情況下，都要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)處理，原則是不影響勞斯判據(jù)的結(jié)果。例2設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：試用勞斯判據(jù)確定正實部根的個數(shù)。解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表由表可見，第二行中的第一列項為零，所以第三行的第一列項出現(xiàn)無窮大。為避免這種情況，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可為任意正數(shù)，這里取a=1。于是得到新的特征方程為：將特征方程系數(shù)列成勞斯表：結(jié)論：第一列有兩次符號變化，故方程有兩個正實部根。例3設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：試用勞思判據(jù)確定正實部根的個數(shù)。解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表勞思表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。這時，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程，對其求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)下去直到得到全部勞思表。用行的系數(shù)構(gòu)造系列輔助方程求導(dǎo)得：用上述方程的系數(shù)代替原表中全零行，然后按正常規(guī)則計算下去，得到表中的第一列各系數(shù)中，只有符號的變化，所以該特征方程只有一個正實部根。求解輔助方程，可知產(chǎn)生全零行的根為。再可求出特征方程的其它兩個根為。四.結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及改進(jìn)措施某些系統(tǒng)，僅僅靠調(diào)整參數(shù)仍無法穩(wěn)定，稱結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。如下圖液位可能控制系統(tǒng)。消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施有兩種改變積分性質(zhì)引入比例－微分控制，補(bǔ)上特征方程中的缺項。該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系數(shù)缺項，顯然不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，且無論怎么調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。1.改變積分性質(zhì)用反饋包圍積分環(huán)節(jié)或者包圍電動機(jī)的傳遞函數(shù)，破壞其積分性質(zhì)。2.引入比例－微分控制在原系統(tǒng)的前向通路中引入比例－微分控制。其閉環(huán)特征方程為：由穩(wěn)定的充分必要條件：引入比例－微分控制后，補(bǔ)上了特征方程中s的一次項系數(shù)。只要適當(dāng)匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可以穩(wěn)定。3－4穩(wěn)態(tài)誤差分析計算一.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的誤差e(t)常定義為：e(t)=期望值－實際值誤差:(1)e(t)=r(t)-c(t)(2)e(t)=r(t)-b(t)返回子目錄穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)時間t趨于無窮時，e(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為二.穩(wěn)態(tài)誤差的計算若e(t)的拉普拉斯變換為E(s)，且在計算系統(tǒng)誤差的終值(穩(wěn)態(tài)誤差)時，遇到的誤差的象函數(shù)一般是s的有理分式函數(shù)，這時當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臉O點均在左半面，就可保證存在，式就成立。注：sE(s)的極點均在左半面的條件中，蘊(yùn)涵了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。對上述系統(tǒng)，若定義e(t)=r(t)-b(t),則E(s)=R(s)-B(s)稱之為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)。稱為系統(tǒng)對干擾的誤差傳遞函數(shù)。例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。當(dāng)輸入信號r(t)=1(t),干擾n(t)=1(t)時，求系統(tǒng)的總的穩(wěn)態(tài)誤差解：①判別穩(wěn)定性。由于是一階系統(tǒng)，所以只要參數(shù)大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。②求E(s)。根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可以求出：依題意：R(s)=N(s)=1/s,則③應(yīng)用終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差三輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系當(dāng)系統(tǒng)只有輸入r(t)作用時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：RECB將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式：當(dāng)sE(s)的極點全部在s平面的左半平面時，可用終值定理求得：上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除與輸入有關(guān)外，只與系統(tǒng)的開環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。1.階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有一個積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有兩個積分環(huán)節(jié)。3.等加速信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除等加速信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有三個積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。由以上分析可見，要消除系統(tǒng)在冪函數(shù)輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，要減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求提高開環(huán)增益。系統(tǒng)型別是針對系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)而言的。=０的系統(tǒng)稱為０型系統(tǒng)；＝１的系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)；＝２的系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)；例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：若輸入信號為試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：①判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為②

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系，可以直接求從結(jié)構(gòu)圖看出，該系統(tǒng)為單位反饋且屬Ⅱ型系統(tǒng)。因此注意事項系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，否則計算穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義；以上結(jié)論僅適用于輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不適用于干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；上述公式中Ｋ必須是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也即開環(huán)傳遞函數(shù)中，各典型環(huán)節(jié)的常數(shù)項均為１時的系數(shù)。以上規(guī)律是根據(jù)誤差定義E(s)=R(s)-B(s)推得的。四干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系用一待定的來代替上圖中的，然后找出消除系統(tǒng)在干擾n(t)作用下的誤差時，需具備的條件。以上分析表明，是誤差信號到干擾作用點之間的傳遞函數(shù)，系統(tǒng)在時間冪函數(shù)干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與干擾作用點到誤差信號之間的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小有關(guān)，而與干擾干擾作用點后面的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小無關(guān)。例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知干擾n(t)=1(t),試求干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差解：①判斷穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)傳函為所以閉環(huán)特征方程為②求穩(wěn)態(tài)誤差從圖中可以看出，誤差信號到干擾作用點之前的傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié)，所以可得出，系統(tǒng)在階躍干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。本章知識點及聯(lián)系

誤差的定義公式、圖線公式、圖線勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)一階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式閉環(huán)特征式穩(wěn)定性終值定理判穩(wěn)等效單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)判穩(wěn)誤差系數(shù)第四章根軌跡法第4章根軌跡法

基本要求4-1根軌跡與根軌跡方程4-2繪制根軌跡的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系4-5系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡返回主目錄基本要求

1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導(dǎo)極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運(yùn)用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。返回子目錄4.正確理解閉環(huán)零極點分布和階躍響應(yīng)的定性關(guān)系，初步掌握運(yùn)用根軌跡分析參數(shù)對響應(yīng)的影響。能熟練運(yùn)用主導(dǎo)極點、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。5.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。4－1根軌跡與根軌跡方程當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。一、根軌跡返回子目錄例子如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為從特征根的表達(dá)式中看出每個特征根都隨K的變化

而變化。例如，設(shè)K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。二、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－4）圖4－3控制系統(tǒng)將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－5）

為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－7）（4－6）（4－8）閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－10）比較式（4－8）和式（4－10）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。三、根軌跡方程根軌跡方程

G(s)H(s)=-1（4-12）式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關(guān)系。

閉環(huán)特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-11）閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時式（4－12）又可以寫成：（4－13）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程（4－15）模值方程（4－14）注意在實際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。

模值方程不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關(guān)。

相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。例4-1它們應(yīng)滿足相角方程（4－15）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試證明復(fù)平面上點是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。若系統(tǒng)閉環(huán)極點為證明：

該系統(tǒng)的開環(huán)極點圖4－4例4－1開環(huán)零、極點分布圖(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察圖4－4，可得圖4－4證畢可見，都滿足相角方程，所以，點是閉環(huán)極點。例4－2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時其根軌跡如圖4-5所示，求根軌跡上點所對應(yīng)的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程圖4-5根據(jù)圖4－5可得所以圖4-5上面兩個例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應(yīng)的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。4－2繪制根軌跡的基本法則一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點為實數(shù)→在實軸上復(fù)數(shù)→共軛→對稱于實軸返回子目錄起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。三、根軌跡的起點與終點由根軌跡方程有：

若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有個開環(huán)零點在無窮遠(yuǎn)處)

則有()條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點→→

起點→→終點四、實軸上的根軌跡

實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點。一般，設(shè)試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關(guān)系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。例4－3設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時的閉環(huán)根軌跡。最后繪制出根軌跡如圖4－7所示。法則一，有兩條根軌跡法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、－2，一條終于有限零點－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。法則四，在負(fù)實軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：圖4－7例4－3根軌跡法則五、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實軸相交點的坐標(biāo)為：例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則五，求出根軌跡的漸近線。極點解：零點按照公式得以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)法則六、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。起始角與終止角計算公式起始角計算公式：終止角計算公式：例4－5設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點畫在圖4－12的根平面上，逐步畫圖：圖4－12例4－5根軌跡

n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖4－13所示。例4－5根軌跡的起始角和終止角圖4－13定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個會合點。七、根軌跡的分離點坐標(biāo)d分離點的坐標(biāo)d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)值，為各開環(huán)極點的數(shù)值。例4－6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠(yuǎn)零點實軸上根軌跡位于有限零點－1和無窮零點之間，因此判斷有分離點離開復(fù)平面極點的初始角為漸近線（舍去）6、求分離點坐標(biāo)d此系統(tǒng)根軌跡如圖4-15所示圖4－15八、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式（4－45）所謂會合角是指根軌跡進(jìn)入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。會合角計算公式分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進(jìn)入d點，必有條根軌跡離開d點；條進(jìn)入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進(jìn)入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗點用相角條件來驗證。九、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零求得。例4－7設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點

0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)實軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線確定分離點d解方程得（舍去）確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為圖4－17例4－7根軌跡十、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。例4－8已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。解；根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為取根軌跡的起始角。解得分離點坐標(biāo)d。舍根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點圖4－19例4－8根軌跡圖圖4-18常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-59)閉環(huán)特征方程為(4-60)等效變換成返回子目錄令（4－61）顯然，利用式4－61就可以畫出關(guān)于零點變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)式（4－62）可畫出變化時的廣義根軌跡。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制當(dāng)開環(huán)增益K為時，時間常數(shù)變化時的根軌跡。例4-10解：

題目顯然是求廣義根軌跡問題。系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，即0，0，-1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡如圖4-21。圖4-21例4-10根軌跡圖分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡圖4-22