202X版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值課件文北師大版

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲底钚驴季V1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì).知

識(shí)

梳

理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義f(x1)<f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)定義在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A當(dāng)x1<x2時(shí)，都有___________，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的當(dāng)x1<x2時(shí)，都有___________，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的f(x1)>f(x2)圖像描述自左向右看圖像是_________自左向右看圖像是_________上升的下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是__________或_______，那么就稱A為單調(diào)區(qū)間.增加的減少的2.函數(shù)的最值f(x)≤M前提函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈條件(1)對(duì)于任意x∈D，都有__________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意x∈D，都有__________；(4)存在x0∈D，使得__________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≥Mf(x0)＝M[微點(diǎn)提醒]基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).(

)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(1)<f(3)，則f(x)為增函數(shù).(

)(4)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)解析

(2)此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號(hào)連接，取x1＝－1，x2＝1，則f(－1)＜f(1)，故應(yīng)說(shuō)成單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞).(3)應(yīng)對(duì)任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是R.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2.(必修1P37例1改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(

)答案A答案

24.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是(

)答案

D5.(2019·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函數(shù)，則f(m)與f(1)的大小關(guān)系是(

) A.f(m)>f(1) B.f(m)<f(1) C.f(m)≥f(1) D.f(m)≤f(1)

解析因?yàn)閒(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函數(shù)，則m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1).

答案

A6.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)

解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù).

要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間. ∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞).

答案

D考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4]C.[－4，4) D.[－4，4]∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函數(shù)，且在(2，＋∞)上t>0，答案D解f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，證明如下：從而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故當(dāng)a∈(1，3)時(shí)，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

1.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如例1(1).(2)單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表達(dá)，且圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要用“和”“，”連接.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：①定義法；②圖像法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)二求函數(shù)的最值【例2】(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為(

)解析

(1)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，則a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.(2)∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝0，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝0.規(guī)律方法求函數(shù)最值的四種常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.(2)(2018·邵陽(yáng)質(zhì)檢)定義max{a，b，c，}為a，b，c中的最大值，設(shè)M＝max{2x，2x－3，6－x}，則M的最小值是(

)A.2 B.3 C.4 D.6(2)畫(huà)出函數(shù)M＝{2x，2x－3，6－x}的圖像(如圖)，由圖可知，函數(shù)M在A(2，4)處取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值為4.答案

(1)A

(2)C考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

多維探究角度1利用單調(diào)性比較大小A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案

D角度2求解函數(shù)不等式A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)解析當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致圖像如圖所示，結(jié)合圖像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.答案D角度3求參數(shù)的值或取值范圍規(guī)律方法

1.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖像的升降，再結(jié)合圖像求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.2.(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，由條件脫去“f”.A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<bA.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1) D.(0，1]又log25>log24.1>2>20.8，且y＝f(x)在R上是增函數(shù)，所以a>b>c.(2)因?yàn)閒(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上為減函數(shù)，要使g(x)在[1，2]上為減函數(shù)，需g′(x)<0在[1，2]上恒成立，故有－a<0，因此a>0，綜上可知0<a≤1.答案