數(shù)學(xué)物理方程 第一章典型方程和定解條件

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系數(shù)理不分家☆數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程(有時也包括積分方程、微分方程等)，它們反映了物理量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對象。用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象☆特殊函數(shù)在求解某些類型的數(shù)理方程時，采用分離變量法所得到的方程的解是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)函數(shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們在“微積分”課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們在數(shù)理方程中的應(yīng)用問題。精選課件☆課程的內(nèi)容：三類方程、四種求解方法、二個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導(dǎo)傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù)☆參考書目：*《數(shù)學(xué)物理方法》，梁昆淼著，人民教育出版社*《數(shù)學(xué)物理方法》，邵惠民著，科學(xué)出版社*《數(shù)學(xué)物理方程》,戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社精選課件☆數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡介偏微分方程誕生于18世紀(jì)，19、20世紀(jì)是其迅速發(fā)展時期：

17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。1747年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)朗貝爾將弦振動問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了它的解法：(弦振動方程)(波動方程)1752年歐拉在論文中首先出現(xiàn)位勢方程，后來因為拉普拉斯(Laplace)的出色工作，稱為Laplace方程：(Laplace方程)(位勢（Possion）方程)精選課件

19世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉(Fourier)，當(dāng)時工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定物體內(nèi)部各點的溫度如何隨時間變化。Fourier對這種熱流動問題頗感興趣，1807年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文并創(chuàng)立了分離變量法：(熱傳導(dǎo)方程)精選課件一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)三、定解問題的概念精選課件一、基本方程的建立例1、均勻弦的微小橫振動假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線方向拉緊，只受弦本身的張力和重力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向運動時，弦上各點的運動規(guī)律。精選課件簡化假設(shè)：(1)柔軟：弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向；細(xì)：與張力相比可略去重力,弦的截面直徑與長度相比可忽略，弦視為曲線均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。(2)橫振動：振動發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為x軸，橫向是指弦上各點在同一平面內(nèi)垂直于x軸的方向運動；微?。赫穹鶚O小，張力與水平方向的夾角很小。精選課件牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：則精選課件其中：其中：精選課件……一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：（弦振動方程）精選課件一維非齊次波動方程弦的受迫振動精選課件(1)首先確定所要研究的物理量(2)根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用(抓住主要影響，忽略次要影響)，這種相互作用在一個短時間段里如何影響物理量數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：(3)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。精選課件例2、桿的縱振動考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動，假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點的振動情況（位移）完全相同。牛頓運動定律：精選課件精選課件例3、熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。問題：在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體，研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。簡化假設(shè)：均勻：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)所要研究的物理量：溫度精選課件熱場傅里葉實驗定律：在dt時間內(nèi)沿法線方向通過dS流入V的熱量為：k>0為熱傳導(dǎo)系數(shù)，與介質(zhì)材料有關(guān)。從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式精選課件熱場流入的熱量：流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化溫度發(fā)生變化需要的熱量為能量守恒定律（齊次）熱傳導(dǎo)方程精選課件非齊次熱傳導(dǎo)方程精選課件精選課件☆三種典型的數(shù)學(xué)物理方程精選課件同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)精選課件初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時間變量無關(guān)，不提初始條件A、弦振動方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)初位移初速度精選課件2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、弦振動方程的邊界條件(1)固定端：振動過程中端點(x=a)保持不動，其邊界條件為：或：(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選課件B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(以S表示某物體V的邊界)(1)邊界S上的溫度為已知函數(shù)f(x,y,z,t)(f是定義在邊界S上的函數(shù))(2)絕熱狀態(tài)(即在S上的熱量流速為零)或流速已知

(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)物體單位表面積與周圍介質(zhì)交換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。熱交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選課件邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選課件三、定解問題的概念1、定解問題把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。(1)初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。精選課件精選課件精選課件2、定解問題的檢驗

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：定解問題的解是否只有一個；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應(yīng)的微小變動。如果定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則稱問題是適定的。3、偏微分方程的解

古典解：如果將某個函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。形式解：未經(jīng)過驗證的解為形式解。精選課件4、偏微分方程一般分類

(1)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；(2)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。(3)線性微分方程按自由項是否為零，分為齊次方程和

非齊次方程思考判斷下列方程