電磁場(chǎng)與電磁波課件之分離變量法

§3.6分離變量法基本思想:方式：所求場(chǎng)域的邊界面應(yīng)與某一正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。①把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。②代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程。③分別求解這些常微分方程，并利用場(chǎng)域及邊界條件確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。應(yīng)用：求解二維拉普拉斯方程的邊界問題。精選ppt如果問題的邊界面與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面吻合，則可采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法。1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

在直角坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，得

無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程為兩邊再除以X(x)Y(y)，得

只與x有關(guān)只與y有關(guān)精選ppt此常數(shù)寫成。式中k稱為分離常數(shù)，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。由上可見，經(jīng)過變量分離后，二維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為二個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且二個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解也一定具有相同的形式。要使上式成立，式中每一項(xiàng)都必須為常數(shù)。當(dāng)k=0

時(shí)，二常微分方程的解為精選ppt當(dāng)k≠0

時(shí)，二常微分方程的解為雙曲函數(shù)含變量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。式中A,B,C,D為待定常數(shù)。為滿足給定的邊界條件，分離變量k通常取一系列特定的值kn

（n=1，2，┄）。

精選ppt位函數(shù)的通解為若令代替，可得另一形式通解解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個(gè)待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。精選ppt例橫截面為矩形的無限長(zhǎng)接地金屬導(dǎo)體槽，上部有電位為的金屬蓋板；導(dǎo)體槽的側(cè)壁與蓋板間有非常小的間隙以保證相互絕緣。試求此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。解:導(dǎo)體槽在方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，槽內(nèi)電位滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。（導(dǎo)體槽內(nèi)D域）精選ppt由于槽內(nèi)電位和，則其通解形式為代入上式，得為使上式對(duì)在內(nèi)成立，則則代入上式，得精選ppt為使上式對(duì)在內(nèi)成立，則則代入上式，得其中不能為零，否則，故有得精選ppt為使上式對(duì)在內(nèi)成立，且則則代入上式，得精選ppt為確定常數(shù)，將在區(qū)間上按展開為傅里葉級(jí)數(shù)，即導(dǎo)體槽內(nèi)電位函數(shù)為精選ppt導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布情況為精選ppt（D域內(nèi)）例一無限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長(zhǎng)為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系精選ppt例由四塊沿軸方向放置的金屬板圍成的矩形長(zhǎng)槽，四條棱線處有無限小間隙以保證相互絕緣。試求槽內(nèi)空間的電位分布。解:設(shè)金屬板沿方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，槽內(nèi)空間的電位函數(shù)滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。（矩形槽內(nèi)）精選ppt2.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項(xiàng)僅為變量

的函數(shù)，而第一項(xiàng)與無關(guān)，因此二項(xiàng)均應(yīng)為常數(shù)，令

具有圓柱面邊界的問題，可采用圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法求解。精選ppt即式中k為分離常數(shù)精選ppt通常變量

的變化范圍為，那么位函數(shù)隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數(shù)。因此分離常數(shù)k

一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為2。即且，則通解為xyaE0電場(chǎng)線等位面圓柱外電場(chǎng)線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：精選ppt3.球坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，得與前同理，的解應(yīng)為具有球面邊界的問題，可采用球坐標(biāo)系中的分離變量法求解。精選ppt可見，上式中第一項(xiàng)僅為r的函數(shù)，第二項(xiàng)與r無關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令

式中n為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為將此結(jié)果代入上式，得精選ppt令，則上式變?yōu)樯鲜綖檫B帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m<n

。

當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，及為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。因此，要求n為整數(shù)。

根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng)時(shí)，。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括

或

時(shí)，，此時(shí)只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令精選ppt那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合若靜電場(chǎng)與變量

無關(guān)，則m=0