《離散型隨機變量及其分布列》同步練習 全省一等獎

《離散型隨機變量及其分布列》同步練習考點隨機變量及其分布2.(2022天津,16,13分)為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,隨機變量X的分布列為X1234P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.3.(2022重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望.解析(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.綜上知,X的分布列為X012P故E(X)=0×+1×+2×=(個).4.(2022湖北,20,12分)某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品,生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利1000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶噸,使用設備小時,獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個隨機變量,其分布列為W121518P該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個隨機變量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.解析(1)設每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x噸,y噸,相應的獲利為z元,則有(1)目標函數(shù)為z=1000x+1200y.當W=12時,(1)表示的平面區(qū)域如圖1,三個頂點分別為A(0,0),B,,C(6,0).當z=1000x+1200y變形為y=-x+,當x=,y=時,直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=×1000+×1200=8160.當W=15時,(1)表示的平面區(qū)域如圖2,三個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C,0).將z=1000x+1200y變形為y=-x+,當x=3,y=6時,直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200.當W=18時,(1)表示的平面區(qū)域如圖3,四個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).將z=1000x+1200y變形為y=-x+,當x=6,y=4時,直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800.故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P因此,E(Z)=8160×+10200×+10800×=9708.(2)由(1)知,一天最大獲利超過10000元的概率p1=P(Z>10000)=+=,由二項分布,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p=1-(1-p1)3==.5.(2022湖南,18,12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球},B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎}.由題意,A1與A2相互獨立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因為P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望為E(X)=3×=.6.(2022陜西,19,12分)設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通狀況有關(guān),對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與數(shù)學期望ET;(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.解析(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P從而ET=25×+30×+35×+40×=32(分鐘).(2)設T1,T2分別表示往、返所需時間,T1,T2的取值相互獨立,且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”,由于講座時間為50分鐘,所以事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=×1+×1+×+×=.解法二:P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=×+×+×=.故P(A)=1-P()=.7.(2022四川,17,12分)某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦了3名男生、2名女生,B中學推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由題意,參加集訓的男、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學