隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣

1本章引言

數(shù)字化的時代產(chǎn)品的合格率農(nóng)作物的產(chǎn)量2產(chǎn)品的銷售量某地的氣溫3自然資源就業(yè)狀況4電視臺的收視率

我國是世界上的第13個貧水國,人均淡水占量排世界第109位5我國土地沙漠化問題非常嚴重,全國沙漠化土地面積已超過174000平方公里,并以每年3400平方公里的速度擴張。你知道這些數(shù)據(jù)是怎么來的嗎？通過調(diào)查獲得的。怎么調(diào)查？是對考察對象進行全面調(diào)查還是抽樣調(diào)查？6媽媽:“兒子，幫媽媽買盒火柴去?！眿寢?“這次注意點，上次你買的火柴好多劃不著?！薄瓋鹤痈吲d地跑回來。孩子：“媽媽，這次的火柴全劃得著，我每根都試過了?！毙^之后,談談你的看法

這個調(diào)查具有破壞性，不可能每根試過,不能展開全面調(diào)查?？匆豢?要了解全國高中生的視力情況：（1）對全國所有的高中生進行視力測試；（2）對某一所著名中學的高中生進行視力測試；（3）在全國按東、南、西、北、中分片，每個區(qū)域各抽３所中學，對這15所中學的全部高中生進行視力測試。你認為哪種調(diào)查方式較適合？

人們在研究某個自然現(xiàn)象或社會現(xiàn)象時，會遇到不方便、不可能或不必要對所有對象作調(diào)查的情況，往往采用抽樣調(diào)查的方法。議一議屬于普查，工作量太大，不方便，沒有必要

這種方法缺乏普遍性，不合適。

這種調(diào)查具有可操作性及代表性。

8議一議同學們覺得在什么時候用普查方式較好?什么時候用抽樣調(diào)查方式較好呢?（1）當調(diào)查的對象個數(shù)較少，調(diào)查容易進行時，我們一般采用普查的方式進行。（2）當調(diào)查的結(jié)果對調(diào)查對象具有破壞性時，或者會產(chǎn)生一定的危害性時，或不大經(jīng)濟可行我們通常采用抽樣調(diào)查的方式進行調(diào)查。（3）當調(diào)查對象的個數(shù)較多，調(diào)查不易進行時，我們常采用抽樣調(diào)查的方式進行調(diào)查。9

例如，為了了解一批計算器的壽命，我們能將它們逐一測試嗎？很明顯，這既不可能也沒必要。實踐中，由于所考察的總體中的個體數(shù)往往很多，而且許多考察帶有破壞性，因此，我們通常只考察總體中的一個樣本，通過樣本來了解總體的情況。提出問題進一步，從節(jié)約費用的角度考慮，在保證樣本估計總體達到一定的精度的前提下，樣本中包含的個體數(shù)越少越好。

于是，如何設計抽樣方法，使抽取的樣本能夠真正代表總體，就成為我們要關注的一個關鍵問題。否則，如果樣本的代表性不好，那么對總體的判斷就會出現(xiàn)錯誤。因此科學合理地采集樣本才能作出客觀的統(tǒng)計推斷。10

那么，怎樣從總體中抽取樣本呢？如何表示樣本數(shù)據(jù)？如何從樣本數(shù)據(jù)中提取基本信息（樣本分布、樣本數(shù)字特征等），來推斷總體的情況呢？這些正是本章要解決的問題。數(shù)理統(tǒng)計所要解決的問題是如何根據(jù)樣本來推斷總體。首先必須清楚地知道要收集的數(shù)據(jù)是什么；其次，我們檢驗樣本的目的是為了了解總體的情況；再次，我們要知道如何才能收集到高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)。在抽樣調(diào)查中要注意什么問題？11思考：

要了解全國高中生的視力情況，第三種調(diào)查方法：在全國①按東、西、南、北、中分片，②每個區(qū)域各抽3所中學，③對這15所中學的全部高中生15000人進行視力測試?？疾鞂ο笫鞘裁?在統(tǒng)計中，我們把所要考察的對象的全體叫做總體全國每位高中學生的視力情況。把組成總體的每一個考察的對象叫做個體這15000名學生的視力情況又組成一個集體從總體中取出的一部分個體的集體叫做這個總體的一個樣本。15000樣本中的個體的數(shù)目叫做樣本的容量。12１、如何刻畫一批袋裝牛奶的質(zhì)量是否合格？以下變量都可以作為衡量產(chǎn)品質(zhì)量的指標：（１）袋裝牛奶的細菌含量；（２）袋裝牛奶的重量；（３）袋裝牛奶的蛋白含量；（４）袋裝牛奶的脂肪含量；（５）袋裝牛奶的鈣含量……２、怎樣檢驗“一批袋裝牛奶的細菌含量是否超標？”是普查還是抽樣調(diào)查？各有什么優(yōu)缺點？應該采用哪種方法？思考與討論13普查的優(yōu)點：在普查的過程中不出錯的情況下可以得到這批袋裝牛奶的真實細菌含量。普查的弊病：１、需要打開每一袋牛奶進行檢驗，結(jié)果使得這批牛奶不能出售，失去了調(diào)查這批牛奶的質(zhì)量的意義；２、普查需要大量的人力、物力和財力；３、當普查的過程中出現(xiàn)很多數(shù)據(jù)測量、錄入等錯誤時，也會產(chǎn)生錯誤的結(jié)論。抽樣調(diào)查的優(yōu)點：容易操作，節(jié)省人力、物力和財力。抽樣調(diào)查的缺點：估計結(jié)果有誤差。14議一議為什么說一個好的抽樣調(diào)查勝過一次蹩腳的普查？15品嘗一勺湯,就可以知道一鍋湯的味道,你知道其中蘊涵的道理嗎?生活中的“數(shù)學”高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)來自“攪拌均勻”的總體。如果我們能夠設法將總體“攪拌均勻”，那么從中任意抽取一部分個體的樣本，它們含有與總體基本相同的信息。16閱讀一個著名的案例

在抽樣調(diào)查中，樣本的選擇是至關重要的，樣本能否代表總體，直接影響著統(tǒng)計結(jié)果的可靠性。下面的故事是一次著名的失敗的統(tǒng)計調(diào)查，被稱為抽樣中的泰坦尼克事件。它可以幫助我們理解為什么一個好的樣本如此重要。在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意調(diào)查。調(diào)查蘭頓（當時任堪薩斯州州長）和羅斯福（當時的總統(tǒng)）中誰將當選下一屆總統(tǒng)。為了了解公眾意向，調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表（注意在１９３６年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有）。通過分析收回的調(diào)查表，顯示蘭頓非常受歡迎，于是雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝。實際上選舉結(jié)果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝，其數(shù)據(jù)如下：候選人預測結(jié)果選舉結(jié)果羅斯福４３６２蘭頓５７３８17？思考你認為預期結(jié)果出錯的原因是什么？原因是：用于統(tǒng)計推斷的樣本來自少數(shù)富人，只能代表富人的觀點，不能代表全體選民的觀點（樣本不具有代表性）。

像本例中這樣容易得到的樣本稱為方便樣本。如果使用“方便樣本”，那么得出與事實不符的結(jié)論的可能性就會大大增加。結(jié)論：在抽樣時不能只圖方便。如果只從一些容易得到的個體中抽取樣本，那么所得到的樣本只是一個“方便樣本”，“方便樣本”的代表性差，基本這種方便樣本得出的結(jié)論就會與事實相左。18議一議中央電視臺需要在我市調(diào)查“春節(jié)聯(lián)歡晚會”的收視率。（1）每個看電視的人都要被問到嗎？（2）對我校學生的調(diào)查結(jié)果能否作為該節(jié)目的收視率？（3）你認為對不同社區(qū)、年齡層次、文化背景的人所做調(diào)查的結(jié)果會一樣嗎？答（1）中央電視臺在調(diào)查時不可能問到每一個看電視的人。（2）對一所中學學生的調(diào)查結(jié)果不能作為該節(jié)目的收視率，因為只有中學生，缺乏代表性。（3）不同社區(qū)、年齡層次、文化背景的人所做調(diào)查的結(jié)果不一樣，因為他們的興趣、愛好等方面情況相距甚遠。19為了了解學生對學?；锸车臐M意程度，小紅訪問了５０名女生；小聰訪問了５０名男生；小明訪問了２４名男生和２４名女生，其中高一、高二和高三的男生和女生各8名。你認為小紅、小聰、小明三人的不同抽樣方法那一種最好？為什么？學以致用答：小明的方法最好。小明抽得樣本既有男生，又有女生，而均勻分布在各年級，這樣的抽樣較具有代表性，反映的情況具有普遍意義。1.我們常常根據(jù)樣本得到結(jié)果來推測總體的結(jié)果。不同的抽樣可能得到不同的結(jié)果。2.為了使結(jié)果更具準確性，抽樣時，樣本的容量要合理，樣本的個體要有代表性。抽樣才具有普遍意義溫馨提示：20抽樣方法§2.1.1簡單隨機抽樣21——統(tǒng)計的基本思想方法：用樣本估計總體，即通常不直接去研究總體，而是通過從總體中抽取一個樣本，根據(jù)樣本的情況去估計總體的相應情況.22關于“總體和樣本”

總體通常是指我們需要考慮的對象的全體.其中每一個考察對象叫做個體.

樣本就是從總體中抽取的一個“部分”.樣本中個體的個數(shù)叫做樣本的容量.23

如：電燈泡廠要檢查一批燈泡的使用期限，其方法是給燈泡連續(xù)通電，直到燈泡不亮為止。顯然，工廠不能這樣一一檢查每個燈泡，而只能從中抽取一部分燈泡（比如80個）進行檢查，然后用這部分燈泡的使用期限，去估計這批燈泡的使用期限。

我們是把這批燈泡中每個燈泡的使用期限的全體看成是總體。

其中每一個燈泡的使用期限就是個體；

被抽取進行檢查的80個燈泡的每個燈泡的使用期限的集體，就叫做總體的一個樣本。24

為了了解高一（1）班50名同學的視力情況，從中抽取10名同學進行檢查。（2）如何抽取呢？請問：

實例一

（1）此例中總體、個體、樣本、樣本容量分別是什么？25簡單隨機抽樣

一般地，設一個總體的個體數(shù)為N，如果通過逐個不放回抽取的方法從中抽取n個個體作為樣本，且每個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣。簡單隨機抽樣的特點：它是一種不放回抽樣；它是逐個地進行抽??；它是一種等概率抽樣．它的總體個數(shù)有限的；有限性逐個性不回性等率性26開始抽簽法50名同學從1到50編號制作1到50個號簽將50個號簽攪拌均勻隨機從中抽出10個簽對號碼一致的學生檢查結(jié)束27抽簽法的一般步驟：（1）將總體中的N個個體編號；（2）將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，連續(xù)抽出n次；（5）將總體中與抽到的號簽編號一致的K個個體取出。開始51名同學從1到51編號制作1到51個號簽將51個號簽攪拌均勻隨機從中抽出10個簽對號碼一致的學生檢查結(jié)束（總體個數(shù)N，樣本容量n）28抽簽法的一般步驟：（1）將總體中的N個個體編號；（2）將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，連續(xù)抽出n次；（5）將總體中與抽到的號簽編號一致的k個個體取出。（總體個數(shù)N，樣本容量n）開始編號制簽攪勻抽簽取出個體結(jié)束292、用隨機數(shù)表法進行抽?。?）隨機數(shù)表是統(tǒng)計工作者用計算機生成的隨機數(shù)，并保證表中的每個位置上的數(shù)字是等可能出現(xiàn)的。（3）用隨機數(shù)表抽取樣本，可以任選一個數(shù)作為開始，讀數(shù)的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。因此并不是唯一的.（2）用隨機數(shù)表進行抽樣的步驟：將總體中個體編號；選定開始的數(shù)字；獲取樣本號碼。（4）由于隨機數(shù)表是等概率的，因此利用隨機數(shù)表抽取樣本保證了被抽取個體的概率是相等的。（5）步驟：編號選數(shù)取號抽取30

將全班同學按學號編號,制作相應的卡片號簽,放入同一個箱子里均勻攪拌,從中抽出15個號簽,就相應的15名學生對看足球比賽的喜愛程度(很喜愛、喜愛、一般、不喜愛、很不喜愛）進行調(diào)查。上述問題中抽取樣本的方法用隨機數(shù)表法來進行！規(guī)則1：從103頁表中第3行第11列的兩位數(shù)開始，依次向下讀數(shù)，到頭后再轉(zhuǎn)向它左面的兩位數(shù)號碼，并向上讀數(shù)，以此下去，直到取足樣本。練習:規(guī)則2：從103頁表中第12行第10列的兩位數(shù)開始，依次向左讀數(shù)，到頭后再轉(zhuǎn)向它下面的兩位數(shù)號碼，并向右讀數(shù)，以此下去，直到取足樣本。31

將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為等距抽樣）。解：（1）隨機將這1003個個體進行編號1，2，3，……1003。（2）利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體（可以隨機數(shù)表法），剩下的個體數(shù)1000能被100整除，然后按系統(tǒng)抽樣的方法進行。問題：如果個體總數(shù)不能被樣本容量整除時該怎么辦？32階段小結(jié)系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機的方式將總體中的N個體編號。③在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號l；④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將l加上間隔k，得到第2個編號l+k,第3個編號l+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本）。

②整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k。當（N為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，k=；當不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)N,能被n整除，這時k=；33請問：應該怎樣抽樣？

實例二

為了了解高一年級1000名同學的視力情況，從中抽取100名同學進行檢查。34（1）隨機將這1000名學生編號為1，2，3，……，1000；（2）將總體按編號順序平均分成100部分，每部分包含10個個體；（3）在第一部分的個體編號1，2，……，10中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如3；（4）以3為起始號，每間隔10抽取一個號碼，這樣就得到一個容量為100的樣本：3，13，23，33，……，973，983，993。方法：35例題：下列抽取樣本的方式是屬于簡單隨機抽樣的是（）①從無限多個個體中抽取100個個體作樣本；②盒子里有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后，再把它放回盒子里；③從8臺電腦中不放回的隨機抽取2臺進行質(zhì)量檢驗（假設8臺電腦已編好號，對編號隨機抽?。?/p>

A.①B.②C.③D.以上都不對四個特點：①總體個數(shù)有限；②逐個抽?。虎鄄环呕?；④每個個體機會均等，與