電磁場(chǎng)理論電子教案

電磁場(chǎng)理論電子教案(第一章場(chǎng)論)制作者：李志剛遼寧科技大學(xué)電信學(xué)院§1.1矢量分析

§1.1.1矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)

一、基本概念1、標(biāo)量：只有大小沒(méi)有方向的量，也稱為數(shù)量。2、矢量：既有大小又有方向的量，也稱為向量。3、場(chǎng)：如果空間中的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，我們就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或矢量的位置函數(shù)（空間），即場(chǎng)中任意一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量。場(chǎng)由場(chǎng)源產(chǎn)生，分為源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)。矢量可采用有向線段、文字、單位矢量、分量表示等多種方式來(lái)描述。文字，單位矢量，各坐標(biāo)軸分量。4、標(biāo)量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。5、矢量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。

二、矢量描述方式三、場(chǎng)圖1、

意義：研究標(biāo)量和矢量場(chǎng)時(shí)，用“場(chǎng)圖”表示場(chǎng)變量在空間逐點(diǎn)演變的情況具有很大的意義，使抽象的概念具體化。使原來(lái)看不見(jiàn)的東西現(xiàn)在看的見(jiàn)了。2、標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)圖表示對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)，用等值面圖（或者等值線）表示?？臻g內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱為等值面，例如氣象圖上的等壓線，地圖上的等高線等。即其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：H(x,y,z)=const。

3、矢量場(chǎng)場(chǎng)圖表示對(duì)矢量場(chǎng)，則用一些有向曲線來(lái)形象表示矢量在空間的分布，稱為矢量線。四、結(jié)論：借助標(biāo)量和矢量，特別是標(biāo)量線和矢量線可以形象地將場(chǎng)的特性描繪出來(lái)?！?.1.2矢量代數(shù)

一、求和差

1、作圖法：遵循四邊形法則

2、分量法：二、求點(diǎn)積

1、公式：2、特點(diǎn)：三、求矢積

1、公式：2、特點(diǎn)：四、矢量代數(shù)的微分公式

§1.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度一、方向?qū)?shù)的概念（顧名思義，就是一個(gè)物理量在各方向的變化率）從標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)中任一點(diǎn)M0出發(fā)，引一條射線L，在L上任取一點(diǎn)M，用L表示M0到M的距離，則u＝u(M)-u(M0)。當(dāng)沿著L，M→M0時(shí)，的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿L方向的方向?qū)?shù)，記為

§1.2.1方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)的物理意義是標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)u(M)在一點(diǎn)M0處沿某一方向L對(duì)距離的變化率，它反映了函數(shù)u(M)沿L方向增減快慢的情況。三、方向?qū)?shù)的計(jì)算公式在直角坐標(biāo)系中，設(shè)標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)在點(diǎn)M0（X0,Y0,Z0）處可微，則函數(shù)u在點(diǎn)M0處沿L方向的方向?qū)?shù)存在。表達(dá)式為其中（α，β，γ為該射線分別與x,y,z軸的夾角，cosα,cosβ,cosγ為L(zhǎng)方向的方向余弦）。§1.2.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度（Gradient）

L方向的單位矢量表示為：即：。即L方向的方向余弦是L方向的單位矢量在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的投影。一、梯度定義如令矢量，則對(duì)于，令θ表示矢量與單位矢量之間的夾角，根據(jù)矢量點(diǎn)積的計(jì)算式可得。隨著L方向的變化，θ發(fā)生變化，方向?qū)?shù)值也隨之變化。當(dāng)L方向與方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大，最大的方向?qū)?shù)為G（G為矢量的模）。§1.2.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度（Gradient）

二、梯度物理意義標(biāo)量的梯度表示了標(biāo)量u增加率的最大值及方向。由梯度的定義和物理意義可以得出梯度是一個(gè)矢量。如果在標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)M處，存在矢量，其方向?yàn)閳?chǎng)函數(shù)u(x,y,z)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模|G|是這個(gè)最大變化率的值，則稱矢量為標(biāo)量場(chǎng)u(X,Y,Z)在點(diǎn)M處的梯度。表示方法為：gradu=

算子本身并無(wú)意義，而是一種微分運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)有被看作是矢量。它既是一個(gè)矢量,又對(duì)其后面的量進(jìn)行微分運(yùn)算（二重包括轉(zhuǎn)變矢量和進(jìn)行一階微分）。因而矢量微分算符符合矢量的標(biāo)量積和矢量積的乘法規(guī)則，在計(jì)算時(shí)，先按矢量乘法規(guī)則展開(kāi)，再做微分運(yùn)算。對(duì)于u，先分三個(gè)方向分量，然后再對(duì)X,Y,Z分別求偏導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，標(biāo)量函數(shù)的梯度是在空間某點(diǎn)矢量函數(shù)沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向變化率的矢量和，亦即梯度是標(biāo)量場(chǎng)的最大空間變化率矢量。梯度方向是其變化率最大的方向，它的模或其大小表示該函數(shù)的最大空間增加率。三、梯度的計(jì)算公式四、小結(jié)梯度運(yùn)算是分析標(biāo)量場(chǎng)的工具。梯度是描述標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)函數(shù)值在該點(diǎn)附近增減性質(zhì)的量。標(biāo)量場(chǎng)的每一點(diǎn)都有一個(gè)梯度，如果我們把數(shù)量場(chǎng)中每一點(diǎn)的梯度與場(chǎng)中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，就得到一個(gè)矢量場(chǎng)，稱為由此數(shù)量場(chǎng)產(chǎn)生的梯度場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)?！?.2.4梯度的運(yùn)算公式一、gradC=0(C為常數(shù))常數(shù)即向任何方向都不發(fā)生變化，其導(dǎo)數(shù)（變化率）為零二、grad(Cu)=Cgradu三、grad(u±v)=gradu±gradv四、grad(uv)=ugradv+vgradu

§1.2.3梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系一、兩者關(guān)系①梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。②標(biāo)量沿某一方向的方向?qū)?shù)等于標(biāo)量的梯度在該方向上的投影。課堂回顧一、方向?qū)?shù)的概念和計(jì)算公式；二、標(biāo)量場(chǎng)梯度的概念和計(jì)算公式；※

三、方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系?！?/p>

§1.3矢量場(chǎng)的通量和散度

§1.3.1矢量場(chǎng)的通量一、面元矢量1、定義在雙側(cè)曲面選定某一側(cè)。選定了一側(cè)的雙側(cè)曲面稱為定向曲面。定向曲面上很小的面積單位稱為面積元，考慮到向內(nèi)和向外，給面積元定義一個(gè)方向就稱之為面元矢量，它有以下兩種情況：圖1.3.1a開(kāi)表面面元圖1.3.1b閉合表面面元矢量沿一有向曲面的面積分為通過(guò)的通量，記做若Φ＝，則有

=0(無(wú)源)

<0(有負(fù)源)

>0(有正源)二、通量1、定義2、物理意義：矢量通過(guò)閉合面的通量是反映閉合面內(nèi)源性質(zhì)的物理量。圖1.3.2矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)中，圍繞P點(diǎn)做一閉合面，所圍體積為ΔV，若垂直穿過(guò)閉合面的通量與ΔV之比的極限存在，則該極限稱為矢量場(chǎng)在P點(diǎn)的散度。設(shè)矢量場(chǎng)的各分量在閉合曲面S所圍區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或

§1.3.2散度和散度定理一、散度定義：即散度(divergence)二、散度的物理意義：矢量的散度是通量的體密度，即通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量。三、散度定理（高斯公式：Gauss公式）§1.3.3散度定理示意圖1、div(C)=Cdiv()(C為常數(shù))2、div(±)=div±div3、div(u)=udiv+gradu·（u為線性函數(shù)）四、散度表示法1、哈密爾頓算子：兩重運(yùn)算，分別是求微分和變矢量運(yùn)算。將這個(gè)算子與一個(gè)標(biāo)量結(jié)合，將其定義為該標(biāo)量場(chǎng)的梯度。同樣，當(dāng)用這個(gè)算子與矢量相結(jié)合時(shí)，可以認(rèn)為是兩個(gè)矢量之間的運(yùn)算，矢量之間運(yùn)算分兩種情況，點(diǎn)積和叉積。這里就將哈密爾頓算子與一個(gè)矢量的點(diǎn)積定義為矢量的散度。五、矢量計(jì)算公式六、結(jié)論1、通量是描述一個(gè)閉合面內(nèi)整體源性質(zhì)的物理量2、散度是描述一個(gè)閉合面內(nèi)某一點(diǎn)的源性質(zhì)的物理量七、散度的運(yùn)算公式課堂回顧一、掌握通量的定義；二、掌握散度和散度定理；※

三、掌握散度計(jì)算公式?！?/p>

§1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度

§1.4.1矢量場(chǎng)的環(huán)量

一、定義：矢量沿空間有向閉合曲線L的線積分，稱為矢量按所取方向沿曲線L的環(huán)量。數(shù)學(xué)公式為：二、物理意義矢量沿閉合曲線的環(huán)流反映了閉合曲線內(nèi)源的性質(zhì)。從圖中可以看出，當(dāng)矢量A沿曲線L的彎曲程度越大，即沿曲線L

的分量越大，則積分值越大，所以環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。三、環(huán)量面密度

1、定義：過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面dS，它的邊界曲線記為dL，面的法線方向與曲線繞向滿足右手螺旋法則。當(dāng)dS點(diǎn)P時(shí)，存在極限

2、結(jié)論：由上式可以看出，當(dāng)積分路徑取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。我們此時(shí)要關(guān)注環(huán)量面密度的何種問(wèn)題？§1.4.2矢量場(chǎng)的旋度

一、定義：若在矢量場(chǎng)A中一點(diǎn)M處存在矢量R

，它的方向是A

在該點(diǎn)環(huán)量面密度最大的方向，它的模就是這個(gè)最大的環(huán)量面密度，則稱矢量R為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M的旋度。記為rotA

（rotation）或者記為CurlA，且有二、物理意義

矢量的旋度是環(huán)流面密度的最大值，方向與面元的取向有關(guān)，即為得到最大極限值時(shí)面元矢量S的法線方向。例1-4-1已知=a(),a為常數(shù),求rot

三、計(jì)算公式四、斯托克斯定理（Stokes）

設(shè)矢量場(chǎng)的分量在空間區(qū)域中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，閉合回路為曲面的邊界，與成右手螺旋關(guān)系，則證明思路：消多余項(xiàng)用定義構(gòu)造特殊曲面分矩形五、結(jié)論：旋度在曲面法線方向的投影就是沿法線方向的環(huán)量面密度（與梯度、散度哪個(gè)性質(zhì)相似）。將此面密度進(jìn)行面積分就得到這個(gè)曲面上的環(huán)量，也就是矢量沿曲面邊界的線積分。斯托克斯定理的意義在于給出了閉合曲線積分與面積分的等價(jià)互換關(guān)系。（一重積分和二重積分）課堂回顧一、掌握環(huán)量的定義；二、掌握旋度概念和斯托克斯定理；※

三、掌握旋度計(jì)算公式?！?/p>

階段小結(jié)：已經(jīng)學(xué)習(xí)了三個(gè)重要的基本概念。（三個(gè)度）梯度、散度和旋度。梯（度）子要散（度）架，請(qǐng)把螺絲旋（度）緊。梯度：針對(duì)標(biāo)量場(chǎng)，求標(biāo)量場(chǎng)各點(diǎn)的最大變化率大小及其方向散度：針對(duì)矢量場(chǎng)，求閉合面通量體密度。揭示極小閉合面內(nèi)（即空間各點(diǎn)）場(chǎng)的發(fā)散源的情況。旋度：針對(duì)矢量場(chǎng)，求環(huán)量最大面密度。揭示場(chǎng)的旋渦源的情況?！?.5哈密爾頓算子及矢量恒等式

§1.5.1哈密爾頓算子

一、在直角坐標(biāo)系中定義：哈密爾頓算子定義為：它是一個(gè)矢量形式的微分算子，兼有微分運(yùn)算和矢量運(yùn)算的雙重作用。它本身既不是一個(gè)函數(shù)，又不是表示某個(gè)物理量，它表示的只是一種運(yùn)算。當(dāng)它以一定方式作用于空間函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)）時(shí)，所得的矢量或標(biāo)量空間函數(shù)才具有一定的意義。二、哈密爾頓算子的作用規(guī)則1、算子直接作用于標(biāo)量函數(shù)，得矢量函數(shù)2、以點(diǎn)積方式作用于矢量函數(shù)，得標(biāo)量函數(shù)3、以叉積方式作用于矢量函數(shù)，得矢量函數(shù)

三、結(jié)論：算子具有矢量的形式，但不是完整的矢量，故A與A不同。前者為一個(gè)標(biāo)量，后者為一個(gè)算子。

2＝·＝（）?（）＝1、當(dāng)需要求一個(gè)矢量函數(shù)的散度，而該矢量函數(shù)又是一標(biāo)量函數(shù)的梯度時(shí)，就會(huì)用到此算子，即§1.5.2、拉普拉斯算子（Laplace）

在場(chǎng)的研究中，還常常用到二階微分算子2（或者用△表示），稱其為拉普拉斯算子。一、定義

二、應(yīng)用場(chǎng)合2、拉氏算子做為一個(gè)整體，也可以作用于矢量函數(shù)，即§1.5.3算子常用運(yùn)算公式三、▽╳（▽u）=0（標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)）

四、▽·（▽╳A）=0（矢量場(chǎng)的旋度場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)）

八、▽·（A╳B）=(▽╳A)·B-A·(▽╳B)

九、A╳（B╳C）＝(A·C)B-(A·B)C

§1.6亥姆霍茲定理一、定理內(nèi)容位于空間有限區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)，當(dāng)它的散度，旋度以及它在區(qū)域邊界上的場(chǎng)分布給定之后，該矢量場(chǎng)就被唯一確定；對(duì)于無(wú)限大空間，如果矢量在無(wú)限遠(yuǎn)處減少至零，則該矢量由其散度和旋度唯一確定。說(shuō)明：當(dāng)邊界條件一定時(shí)，如果區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的散度和旋度已被確定，則該點(diǎn)的向量被唯一確定。二、定理證明（何種方法？）證明：先假設(shè)對(duì)于矢量場(chǎng)F在某點(diǎn)處存在兩個(gè)不同的解F1和F2都滿足亥姆霍茲定理?xiàng)l件，則有▽?F1＝▽?F2，▽╳F1＝▽╳F2

移項(xiàng)合并得：▽?（F1－F2）＝0，▽╳（F1－F2）＝0設(shè)F3=F1－F2，則有：▽?F3＝0，▽╳F3＝0在邊界上已知矢量的法線分量或者已知矢量的切線分量，即在邊界點(diǎn)已知矢量的切線分量或者法線分量，因?yàn)榇藭r(shí)只有一個(gè)確定的值，所以在該點(diǎn)有F1n=F2n，或者F1t=F2t，但F1和F2沒(méi)有相等關(guān)系，寫(xiě)成向量形式為F3?en＝0或者F3╳en＝0

（1）針對(duì)第一種邊界條件，若已經(jīng)條件為F3?en＝0，則根據(jù)▽╳F3＝0，可以設(shè)F3＝▽。將其代入▽?F3＝0中，有▽2＝0，即滿足拉氏方程。（原因？）將上式代入恒等式▽?（▽）＝▽2＋|▽|2,有▽?（▽）＝|▽|2，在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)積分，并利用散度定理，得得▽＝0，因此有F3＝0，即F1=F2即F被唯一確定。

結(jié)論：亥姆霍茲定理表明，在一定的邊界條件下，空間矢量場(chǎng)由它的散度和旋度唯一地確定。換言之，對(duì)于一個(gè)矢量場(chǎng)，若它是無(wú)旋場(chǎng)，則它的散度不能處處為零（為何？），否則這個(gè)場(chǎng)就不存在；若矢量場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)（散度處處為零），則矢量場(chǎng)的旋度也不能處處為零。（2）針對(duì)第二種邊界條件，若已知▽╳F