數(shù)字信號(hào)處理(程佩青)第五章 數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)

第五章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

DF（DigitalFilter)1內(nèi)容提要5.1引言5.2無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)5.3有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)本章小結(jié)2一、濾波器的概念：濾波器是對(duì)輸入信號(hào)起濾波的作用的裝置。當(dāng)輸入、輸出是離散信號(hào)，濾波器的沖激響應(yīng)是單位抽樣響應(yīng)h（n）時(shí)，這樣的濾波器稱作數(shù)字濾波器（DF）。DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時(shí)間系統(tǒng)。5.1引言3πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)為矩形窗時(shí)的情形4二、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)與差分方程H(z)X(z)Y(z)1、系統(tǒng)函數(shù)

2、差分方程對(duì)上式進(jìn)行

Z反變換，即得5

3、濾波器的功能與實(shí)現(xiàn)濾波就是對(duì)輸入序列x(n)進(jìn)行一定的運(yùn)算操作，從而得到輸出序列y(n)。實(shí)現(xiàn)濾波從運(yùn)算上看,只需三種運(yùn)算：

加法、單位延遲、乘常數(shù)。實(shí)現(xiàn)的方法有兩種：（1）利用通用計(jì)算機(jī)編程，即軟件實(shí)現(xiàn);

（2）數(shù)字信號(hào)處理器（DSP）,即專用硬件實(shí)現(xiàn)。61、方框圖法

方框圖法簡明且直觀，其三種基本運(yùn)算如下圖所示：

乘常數(shù)

三、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法單位延時(shí)z-1a加法

7

x(n)b0b0x(n)

y(n)82、信號(hào)流圖法z-1a乘常數(shù)

單位延時(shí)這種表示法更加簡單方便。加法

9x(n)y(n)b0a1a2z-1z-110

幾個(gè)基本概念：

a）輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)，x(n)所處的節(jié)點(diǎn)；

b）輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)，y(n)所處的節(jié)點(diǎn)；

c）分支節(jié)點(diǎn)，一個(gè)輸入，一個(gè)或一個(gè)以上輸出的節(jié)點(diǎn)；將值分配到每一支路;d）相加器（節(jié)點(diǎn))或和點(diǎn)，有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入的節(jié)點(diǎn)。*支路不標(biāo)傳輸系數(shù)時(shí)，就認(rèn)為其傳輸系數(shù)為1；任何一節(jié)點(diǎn)值等于所有輸入支路的信號(hào)之和。

111例如，235467a1y(n-1)y(n)和點(diǎn)：1，5；分支節(jié)點(diǎn)：2，3，4；源點(diǎn)：6；阱點(diǎn)：712若

中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶,通過一個(gè)線性系統(tǒng)可將有效去除.從功能上又可分為:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)加法性噪聲經(jīng)典濾波器四、數(shù)字濾波器的分類13每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對(duì)數(shù)字濾波器,從實(shí)現(xiàn)方法上,有IIR濾波器和FIR濾波器之分,系統(tǒng)函數(shù)分別為:FIRDF:IIRDF:14現(xiàn)代濾波器維納濾波器是這類濾波器的典型代表種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù) 測(cè)、自適應(yīng)濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號(hào)的頻譜和噪聲的頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時(shí)間序列)中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。15五、研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的意義1.濾波器的基本特性（如有限長沖激響應(yīng)FIR與無限長沖激響應(yīng)IIR）決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn)。2.不同結(jié)構(gòu)所需的存儲(chǔ)單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。3.在有限精度（有限字長）的情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實(shí)現(xiàn)，便于時(shí)分復(fù)用。返回本章16IIRDF特點(diǎn)單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的。系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上（0<|z|<∞)有極點(diǎn)存在。結(jié)構(gòu)上是遞歸型的，即存在著輸出到輸入的反饋。

5.2IIRDF的基本結(jié)構(gòu)171.直接I型4.并聯(lián)型3.級(jí)聯(lián)型2.直接II型基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)18IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程

一個(gè)N階IIRDF有理系統(tǒng)函數(shù)為：則表示這一輸入輸出關(guān)系的N階差分方程為：以下我們討論M<=N情況。191、直接I型(1)直接I型流圖由差分方程直接實(shí)現(xiàn)方程看出：y(n)由兩部分組成：第一部分是一個(gè)對(duì)輸入x(n)的M節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)，每個(gè)延時(shí)抽頭后加權(quán)相加，是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò)。第二部分是一個(gè)N節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。不過它是對(duì)y(n)延時(shí)，因而是個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)。2021兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)：第一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，第二個(gè)有反饋的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。共需(N+M)級(jí)延時(shí)單元系數(shù)ak,bk不是直接決定單個(gè)零極點(diǎn)，因而不能很好地對(duì)濾波器的性能進(jìn)行控制。極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)變化過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。(2)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)222、直接II型（典范型）將上面直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)的兩部分看成兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)（即兩個(gè)子系統(tǒng)）。原理：一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，若交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變，也就是總的輸入輸出關(guān)系不改變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：（1）交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序（2）合并兩個(gè)具有相同輸入的延時(shí)支路。得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型。(1)直接II型原理23(2)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖對(duì)調(diào)y(n)z-1z-1z-1b0b1b2bM+1bMx(n)z-1z-1a1a2z-1aN-1aNy(n)x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-124(3)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖

由于對(duì)調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時(shí)鏈，可以合并為一條即可。x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0y(n)a1a2z-1z-1aN-1b1b2bM+1bMz-1aNz-1合并這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖25(4)直接II型特點(diǎn)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)。第一個(gè)有反饋的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)；第二個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)N階濾波器（一般N>=M)只需N級(jí)延時(shí)單元，所需延時(shí)單元最少。故稱典范型。同直接I型一樣，具有直接型實(shí)現(xiàn)的一般缺點(diǎn)。26已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：為了得到直接I、II型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)化為z-1的有理式；例子27x(n)8-411z-1z-1y(n)5/4-3/4z-1z-1z-11/8z-125/4z-1z-1z-1-3/41/8-41128y(n)x(n)直接I型直接II型注意反饋部分系數(shù)的符號(hào)283、級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)一個(gè)N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)來表示，即系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解：(1)系統(tǒng)函數(shù)因式分解因?yàn)镠(z)的系數(shù)ak、bk都是實(shí)數(shù)，所以零、極點(diǎn)ck、dk只有兩種情況（a）或者是實(shí)根（b）或者是共軛復(fù)根29(2)系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)分析式中：gk、pk為實(shí)根；hk、qk為復(fù)根。其中：N1+2N2=N；M1+2M2=M。若將每一對(duì)共軛因子合并起來構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階因子。則：3、級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)30(3)基本二階節(jié)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)31(4)濾波器的基本二階節(jié)所以，濾波器就可以用若干個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成。這每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)稱作濾波器的基本二階節(jié)（即濾波器的二階節(jié)）。一個(gè)基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為：一般用直接II型（典范型）表示x(n)β1ka2kz-1z-1a1kβ2ky(n)32(5)用二階節(jié)級(jí)聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng)整個(gè)濾波器則是多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)y(n)x(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22β1Ma2Mz-1z-1a1Mβ2M…...33設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：例子:1z-1111z-1z-111y(n)x(n)34它的每一個(gè)基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對(duì)極點(diǎn)和一對(duì)零點(diǎn)。調(diào)整β1k,β2k,只單獨(dú)調(diào)整濾波器第k對(duì)零點(diǎn)，而不影響其它零點(diǎn)。同樣，調(diào)整a1k,a2k,只單獨(dú)調(diào)整濾波器第k對(duì)極點(diǎn)，而不影響其它極點(diǎn)。(6)級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)35由于每個(gè)二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控制一對(duì)零點(diǎn)或一對(duì)極點(diǎn)，所以有利于控制頻率響應(yīng)。分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式不同，以及各二階節(jié)的排列次序不同，可以得到不同結(jié)構(gòu)的濾波器。所以存在著最優(yōu)化問題。(6)級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)364、并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式：用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF。如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù)，那么一定有另一個(gè)為共軛復(fù)數(shù)，將它們合并為二階實(shí)數(shù)的部分分式。(1)系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開37(2)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)流圖其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為：AN1z-1a1x(n)aN1a11z-1z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2z-1z-1z-138(3)并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu)并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)β0ka2kz-1z-1a1kβ1ky(n)39(4)并聯(lián)型特點(diǎn)可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置，但不能象級(jí)聯(lián)那樣直接控制零點(diǎn)(因?yàn)橹粸楦鞫A節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，并非整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn))。其誤差最小。因?yàn)椴⒙?lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響，所以比級(jí)聯(lián)誤差小。注意:(a)為什么二階節(jié)是最基本的？因?yàn)槎A節(jié)是實(shí)系數(shù)，而一階節(jié)一般為復(fù)系數(shù)。

(b)級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)的基本二階節(jié)是不同的。40例子:其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為：x(n)Z-1Z-114y(n)161-6-1Z-141

如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入x(n)和輸出y(n)互相交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不變。轉(zhuǎn)置定理42（原網(wǎng)絡(luò)）43（轉(zhuǎn)置后的網(wǎng)絡(luò)）返回本章44

5.3FIRDF的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零。即h(n)是個(gè)有限長序列。系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，有限z平面只有零點(diǎn)，極點(diǎn)全部在z=0處（因果系統(tǒng)）。結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入反饋。但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。FIRDF的特點(diǎn)451.直接型4.快速卷積型結(jié)構(gòu)2.級(jí)聯(lián)型3.線性相位型主要結(jié)構(gòu)5.頻率抽樣型結(jié)構(gòu)46FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程長度為N的單位沖激響應(yīng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)為：它實(shí)際上為一般ai=0，即無反饋情況，其差分方程為471.直接型（卷積型、橫截型結(jié)構(gòu)）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)(1)流圖FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)48Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)（2）方框圖492.級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形式：即可以由多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，每個(gè)二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。x(n)β11z-1z-1β21β12z-1z-1β22β1(N/2)z-1z-1β2(N/2)y(n)…...β01β02β0(N/2）（1）流圖50由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多，所需乘法運(yùn)算也比直接型多，很少用。由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)用。（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)513.線性相位FIR的結(jié)構(gòu)所謂線性相位：是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號(hào)頻率成線性關(guān)系。（1）線性相位的定義FIR的線性相位是非常重要的，因?yàn)閿?shù)據(jù)傳輸以及圖像處理都要求系統(tǒng)具有線性相位，而FIR濾波器由于它的沖激響應(yīng)是有限長的,因而有可能做成嚴(yán)格線性相位的。52若FIRDF的h(n)是實(shí)數(shù)，且滿足對(duì)稱性。即滿足約束條件：偶對(duì)稱h(n)=h(N-1-n);奇對(duì)稱h(n)=-h(N-1-n);

也就是說h(n)的對(duì)稱中心在（N-1）/2，則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位。

下面我們針對(duì)h(n）的奇、偶進(jìn)行討論。53令n’=N-1-n代入用n=n’并應(yīng)用線性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)（2）h(n)為偶，N=偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性54其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……(2)

h(n)為偶，N=偶數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1共有（N/2-1）項(xiàng)55當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，有一中間項(xiàng)h((N-1)/2)無法合并，需提出來：（3）h(n)為偶，N=奇數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性56其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2項(xiàng)(3)

h(n)為偶，N=奇數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….57當(dāng)h(n)=偶對(duì)稱時(shí)，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇數(shù)時(shí)（4）總結(jié)：h(n)為偶對(duì)稱，N=奇、偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性N=偶數(shù)時(shí)58當(dāng)h(n)=奇對(duì)稱時(shí)，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇數(shù)時(shí)（5）h(n)為奇對(duì)稱，N=奇、偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性N=偶數(shù)時(shí)59Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1-1-1-1-1-1-1h(n)為奇對(duì)稱，N=偶數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖60h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….-1-1-1-1-1h(n)為奇對(duì)稱，N=奇數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖614.快速卷積結(jié)構(gòu)設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h(n)的非零值長度為M，輸入x(n)的非零值長度為N。則輸出

y(n)=x(n)*h(n),

且長度N+M-1選擇L≥N+M-1。若將x(n)補(bǔ)零加長至L，補(bǔ)L-N個(gè)零點(diǎn)，將h(n)補(bǔ)零加長至L，補(bǔ)L-M個(gè)零點(diǎn)。（1）原理62

而由圓周卷積可用DFT和IDFT來計(jì)算，即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu)。L這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積，可代替x(n)*h(n)線卷積。63L點(diǎn)DFTL點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)當(dāng)N，M中夠大時(shí)，比直接計(jì)算線性卷積快多了。此時(shí)（2）快速卷積結(jié)構(gòu)框圖L645、頻率抽樣型結(jié)構(gòu)若FIRDF的沖激響應(yīng)為有限長（N點(diǎn)）序列h(n),則有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽樣單位園上頻率響應(yīng)z變換內(nèi)插所以，對(duì)h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用內(nèi)插公式：來表示系統(tǒng)函數(shù)。

(1)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入65由：得到FIR濾波器的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。它由兩部分級(jí)聯(lián)而成。

其中：第一部分為梳狀濾波器第二部分由N個(gè)諧振器組成的諧振柜（2）頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu)66它是一個(gè)由N節(jié)延時(shí)單元所組成的梳狀濾波器。由看出：(3)梳狀濾波器：令零、極點(diǎn)特性67而等